Diskalgebra

Bezeichnet ${\displaystyle \mathbb {D}$ :=\{z\in \mathbb {C} ;\,|z|\leq 1\}} die Kreisscheibe, so sei ${\displaystyle A(\mathbb {D} )}$ die Menge aller stetigen Funktionen ${\displaystyle f:\mathbb {D} \rightarrow \mathbb {C} }$, die im Inneren ${\displaystyle \mathbb {D} ^{\circ }}$ holomorph sind.

Die Definitionen

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}(\lambda f)(z)&:=&\lambda f(z)\\(f+g)(z)&:=&f(z)+g(z)\\(fg)(z)&:=&f(z)g(z)\\(f^{*})(z)&:=&{\overline {f({\overline {z}})}}\\\end{array}}}$,

wobei ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ,z\in \mathbb {D} ,f,g\in A(\mathbb {D} )}$, machen ${\displaystyle A(\mathbb {D} )}$ zu einer komplexen Algebra mit Involution ${\displaystyle *}$. Diese wird Diskalgebra genannt.[1]

Offenbar ist ${\displaystyle A(\mathbb {D} )}$ eine Unteralgebra der Funktionenalgebra ${\displaystyle C(\mathbb {D} )}$ der stetigen Funktionen ${\displaystyle \mathbb {D} \rightarrow \mathbb {C} }$. Die Diskalgebra ${\displaystyle A(\mathbb {D} )}$ ist bezüglich der Maximumsnorm, die ${\displaystyle C(\mathbb {D} )}$ zu einer Banachalgebra macht, abgeschlossen, denn nach dem weierstraßschen Konvergenzsatz sind gleichmäßige Limiten holomorpher Funktionen ebenfalls holomorph. Der Funktionenraum ${\displaystyle A(\mathbb {D} )}$ ist daher selbst eine Banachalgebra, sogar mit isometrischer Involution, das heißt, es gilt ${\displaystyle \|f^{*}\|=\|f\|}$ für alle ${\displaystyle f\in A(\mathbb {D} )}$. Die Diskalgebra ist auch Unterbanachalgebra von ${\displaystyle H^{\infty }}$, der Banachalgebra aller auf ${\displaystyle \mathbb {D} ^{\circ }}$ holomorphen und beschränkten Funktionen mit der Supremumsnorm.

Mittels Einschränkung auf den Rand ${\displaystyle \partial \mathbb {D} }$ von ${\displaystyle \mathbb {D} }$ erhält man eine Abbildung ${\displaystyle A(\mathbb {D} )\rightarrow C(\partial \mathbb {D} ),\,f\mapsto f|_{\partial \mathbb {D} }}$. Diese Abbildung ist nach dem Maximumprinzip für holomorphe Funktionen ein isometrischer Homomorphismus. In diesem Sinne kann man ${\displaystyle A(\mathbb {D} )}$ auch als Unterbanachalgebra von ${\displaystyle C(\partial \mathbb {D} )}$ auffassen, das heißt die Diskalgebra wird zu einer uniformen Algebra über ${\displaystyle {\partial \mathbb {D} }}$. ${\displaystyle A(\mathbb {D} )}$ ist dann die Menge aller stetigen Funktionen auf ${\displaystyle \partial \mathbb {D} }$, die sich holomorph nach ${\displaystyle \mathbb {D} ^{\circ }}$ fortsetzen lassen. Dies wäre eine alternative Definition der Diskalgebra.

Die Diskalgebra wird von ${\displaystyle \mathrm {id} _{\mathbb {D} }}$ erzeugt, das heißt, die kleinste Unterbanachalgebra, die diese Funktion enthält, ist die Diskalgebra selbst.[2]

Für jedes ${\displaystyle z\in \mathbb {D} }$ ist die Punktauswertung ${\displaystyle \delta _{z}:A(\mathbb {D} )\rightarrow \mathbb {C} ,\,f\mapsto f(z)}$ ein Homomorphismus und damit ein Element des Gelfand-Raums ${\displaystyle X_{A(\mathbb {D} )}}$ der Diskalgebra. Man kann zeigen, dass mit den ${\displaystyle \delta _{z}}$ bereits alle Homomorphismen der Diskalgebra mit Werten in den komplexen Zahlen gefunden sind, und dass die Abbildung ${\displaystyle \delta \colon \mathbb {D} \rightarrow X_{A(\mathbb {D} )},\,z\mapsto \delta _{z}}$ ein Homöomorphismus ist, wobei die sogenannte Gelfandtopologie durch die relative schwach-*-Topologie auf ${\displaystyle X_{a}\subset A^{\prime }}$ gegeben ist. Der Gelfandraum der Diskalgebra kann daher mit der Kreisscheibe identifiziert werden. Bei dieser Identifikation ist die Gelfand-Transformation die Identität auf der Diskalgebra.

Auf dem Gelfandraum ${\displaystyle X_{A}}$ einer kommutativen Banachalgebra betrachtet man die sogenannte Hülle-Kern-Topologie, die durch die Abschlussoperation

${\displaystyle {\overline {E}}:=\{\delta \in X_{A};\,\ker(\delta )\supset \bigcap _{\varphi \in E}\ker(\varphi )\}}$

gegeben ist. Fällt diese mit der Gelfandtopologie zusammen, so nennt man die Banachalgebra regulär. Die Diskalgebra ist ein Beispiel für eine nicht-reguläre Banachalgebra.[3] In der Tat ist bei der Identifikation ${\displaystyle X_{A(\mathbb {D} )}=\mathbb {D} }$ die Menge ${\displaystyle E:=\{0\}\cup \{{\tfrac {1}{n}};\,n\in \mathbb {N} \}}$ abgeschlossen in der Gelfandtopologie. Ist nun ${\displaystyle \textstyle f\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }\ker(\delta _{\frac {1}{n}})}$, so folgt ${\displaystyle f({\tfrac {1}{n}})=0}$ für alle ${\displaystyle n}$, und aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen folgt ${\displaystyle f=0}$. Daher ist ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{\varphi \in E}\ker(\varphi )=\{0\}}$ und es folgt ${\displaystyle {\overline {E}}=X_{A}}$ bezüglich der Hülle-Kern-Topologie, letztere kann daher nicht mit der Gelfandtopologie übereinstimmen.

Identifiziert man ${\displaystyle X_{A(\mathbb {D} )}}$ mit ${\displaystyle \mathbb {D} }$, so fällt der topologische Rand ${\displaystyle \partial \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C}$ ;\,|z|=1\}} mit dem Schilow-Rand zusammen. Dazu ist zu zeigen, dass jede Funktion der Diskalgebra, die wegen der vorgenommenen Identifikation ja mit ihrer Gelfand-Transformierten übereinstimmt, ihr Betragsmaximum auf dem Rand der Kreisscheibe annimmt, aber das ist genau die Aussage des Maximumprinzips für holomorphe Funktionen.[4]

Wie oben erwähnt kann man ${\displaystyle A(\mathbb {D} )}$ mittels der Einschränkungsabbildung ${\displaystyle f\mapsto f|_{\partial \mathbb {D} }}$ als Unterbanachalgebra von ${\displaystyle C(\partial \mathbb {D} )}$ auffassen. Der Maximalitätssatz von Wermer sagt aus, dass ${\displaystyle A(\mathbb {D} )\subset C(\partial \mathbb {D} )}$ eine maximale Unterbanachalgebra ist.

1. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.16
2. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §19.3
3. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §23.9
4. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22.5 für n=1