Dirichletsche Betafunktion

Für eine komplexe Zahl ${\displaystyle s}$, deren Realteil größer als 0 ist, ist die Beta-Funktion definiert über die Dirichletreihe:

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}=1-{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}-+\ldots }$

Obwohl dieser Ausdruck nur auf der rechten Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H} =\{s\in \mathbb {C} |\mathrm {Re} \,s>0\}}$ konvergiert, stellt er die Basis für alle weiteren Darstellungen der Beta-Funktion dar. Zur Berechnung der Beta-Funktion für alle Zahlen der komplexen Ebene bedient man sich ihrer analytischen Fortsetzung.

Für die Betafunktion existiert eine Produktdarstellung, die für alle komplexen ${\displaystyle s}$, deren Realteil größer als 1 ist, konvergiert.

${\displaystyle \beta (s)=\prod _{p\equiv 1\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod _{p\equiv 3\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1+p^{-s}}}}$

Hierbei impliziert ${\displaystyle p\equiv 1\ \mathrm {mod} \ 4}$, dass über alle Primzahlen der Form ${\displaystyle p=4m+1}$ (also ${\displaystyle p=5,13,17,...}$) multipliziert wird. Analog bedeutet ${\displaystyle p\equiv 3\ \mathrm {mod} \ 4}$, dass über alle Primzahlen, welche die Form ${\displaystyle p=4m+3}$ besitzen (also ${\displaystyle p=3,7,11,...}$), multipliziert wird.

Für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ gilt die Funktionalgleichung:

${\displaystyle \beta (1-z)=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{z}\sin \left({\tfrac {1}{2}}\pi z\right)\Gamma (z)\beta (z).}$

Hierbei ist ${\displaystyle \Gamma (z)}$ die Gammafunktion.

Sie dehnt den Definitionsbereich der Beta-Funktion auf die gesamte komplexe Zahlenebene aus.

Über die Mellin-Transformation der Funktion ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{e^{x}+e^{-x}}}}$ erhält man die Integraldarstellung:

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+e^{-x}}}\,\mathrm {d} x,}$

wobei ${\displaystyle \Gamma (s)}$ wieder die Gammafunktion bezeichnet.

Zusammen mit der hurwitzschen Zetafunktion erhält man für alle komplexen ${\displaystyle s}$ die Relation:

${\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{\tfrac {1}{4}}\right)-\zeta \left(s,{\tfrac {3}{4}}\right)\right).}$

Eine andere gleichwertige Darstellung für alle komplexen ${\displaystyle s}$ schließt die transzendente lerchsche Zeta-Funktion ${\displaystyle \Phi }$ ein und lautet:

${\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{\tfrac {1}{2}}\right).}$

Ebenso kann die Dirichletsche Betafunktion mit Hilfe der Abel-Plana-Formel für alle Komplexen Zahlen ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ beschrieben werden:

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan(x)]}{2(x^{2}+1)^{s/2}\sinh(\pi \,x/2)}}\,\mathrm {d} x}$

Diese Formel geht aus folgendem Grundmuster hervor:

${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}\,f(0)+i\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(ix/2)-f(-ix/2)}{4\,\sinh(\pi \,x/2)}}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle f(n)={\frac {1}{(2n+1)^{s}}}}$

Nach der Eulerschen Formel gilt dieser Zusammenhang:

${\displaystyle i{\biggl [}{\frac {1}{(ix+1)^{s}}}-{\frac {1}{(-ix+1)^{s}}}{\biggr ]}={\frac {2\sin[s\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{s/2}}}}$

Einige spezielle Werte der ${\displaystyle \beta }$-Funktion sind

${\displaystyle \beta (0)={\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle \beta (1)=\arctan 1={\frac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle \beta (2)=G\ }$

${\displaystyle \beta (3)={\frac {\pi ^{3}}{32}}}$

${\displaystyle \beta (4)={\frac {1}{768}}\left(\psi _{3}({\tfrac {1}{4}})-8\pi ^{4}\right)}$

${\displaystyle \beta (5)={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}$

${\displaystyle \beta (7)={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle G}$ die catalansche Konstante und ${\displaystyle \psi _{3}(z)}$ ist die dritte Polygammafunktion.

Allgemein gilt für positive ganze Zahlen ${\displaystyle k\geq 0}$ die Darstellung:

${\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!},}$

wobei ${\displaystyle E_{n}}$ die ${\displaystyle n}$-te Euler-Zahl ist. Im Fall ${\displaystyle k\leq 0}$ gilt

${\displaystyle \beta (k)={{E_{-k}} \over {2}}.}$

Insbesondere gilt für natürliche ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle \!\ \beta (-2k-1)=0.}$

Zur Ermittlung der Dirichletschen Betafunktionswerte von ungeraden Zahlen dienen auch folgende zwei Formeln:

${\displaystyle \beta (2n+1)={\frac {1}{n}}\sum _{m=1}^{n}\beta (2m-1)\lambda (2n+2-2m)}$

${\displaystyle \lambda (v)={\frac {2^{v}-1}{2^{v}}}\,\zeta (v)}$

Die Dirichletsche Lambdafunktion ist das arithmetische Mittel aus Riemannscher Zetafunktion und Dirichletscher Etafunktion.

Auf diese Weise können kaskadenartig die Dirichletschen Betafunktionswerte hervorgebracht werden:

${\displaystyle \beta (3)=\beta (1)\lambda (2)={\frac {\pi }{4}}\,{\frac {\pi ^{2}}{8}}={\frac {\pi ^{3}}{32}}}$

${\displaystyle \beta (5)={\frac {1}{2}}{\bigl [}\beta (1)\lambda (4)+\beta (3)\lambda (2){\bigr ]}={\frac {1}{2}}{\bigl (}{\frac {\pi }{4}}\,{\frac {\pi ^{4}}{96}}+{\frac {\pi ^{3}}{32}}{\frac {\pi ^{2}}{8}}{\bigr )}={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}$

${\displaystyle \beta (7)={\frac {1}{3}}{\bigl [}\beta (1)\lambda (6)+\beta (3)\lambda (4)+\beta (5)\lambda (2){\bigr ]}={\frac {1}{3}}{\bigl (}{\frac {\pi }{4}}\,{\frac {\pi ^{6}}{960}}+{\frac {\pi ^{3}}{32}}{\frac {\pi ^{4}}{96}}+{\frac {5\pi ^{5}}{1536}}{\frac {\pi ^{2}}{8}}{\bigr )}={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}}$

Ein Ableitungsausdruck für alle ${\displaystyle \mathrm {Re} \,s>0}$ ist gegeben durch:

${\displaystyle \beta ^{\prime }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {\ln(2n+1)}{(2n+1)^{s}}}.}$

Spezielle Werte der Ableitungsfunktion sind:

${\displaystyle \beta ^{\prime }(-1)={\frac {2G}{\pi }}=0{,}583121\ldots }$

${\displaystyle \beta ^{\prime }(0)=\ln {\frac {\Gamma ^{2}(1/4)}{2\pi {\sqrt {2}}}}=0{,}391594\ldots }$

${\displaystyle \beta ^{\prime }(1)={\frac {\pi }{4}}\left(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}})\right)=0{,}192901\ldots }$

Mit den gezeigten Werten werden die Resultate der Kummerschen Reihe behandelt.

(vgl. Folge A113847 in OEIS und Folge A078127 in OEIS mit der Euler-Mascheroni-Konstante ${\displaystyle \gamma }$).

Außerdem gilt für positive ganze Zahlen ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\ln {\frac {(4k+1)^{1/(4k+1)^{n}}}{(4k-1)^{1/(4k-1)^{n}}}}=-\beta ^{\prime }(n).}$

Rivoal and Zudilin bewiesen 2003[3], dass mindestens einer der Werte ${\displaystyle \beta (2)}$, ${\displaystyle \beta (4)}$, ${\displaystyle \beta (6)}$, ${\displaystyle \beta (8)}$, ${\displaystyle \beta (10)}$ und ${\displaystyle \beta (12)}$ irrational ist.

Außerdem bewiesen Guillera und Sondow 2005[4] folgende Formel:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {[-\ln(xy)]^{s}}{1+x^{2}y^{2}}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\Gamma (s+2)\beta (s+2)}$

• Niels Henrik Abel: Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies. Magazin for Naturvidenskaberne, Argang I, Bind2, Christina, 1823
• Olver, Frank W. J.: Asymptotics and special functions. Reprint of the 1974 original. AKP Classics. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1997. ISBN 978-1-56881-069-0

• Eric W. Weisstein: Dirichlet Beta Function. In: MathWorld (englisch).

1. Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie. R. Oldenbourg, München 1958, S. 292.
2. arxiv: Prime Number Races
3. Tanguy Rivoal, Wadim Zudilin: Diophantine properties of numbers related to Catalan's constant. In: Mathematische Annalen, Bd. 326 (2003), Nummer 4, Seiten 705–721, ISSN 0025-5831; vgl. PDF des mathematischen Instituts der Universität Köln (Memento vom 13. Januar 2011 im Internet Archive)
4. Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan Journal. An international Journal devoted to the areas of mathematics, Bd. 16 (2008), Nummer 3, Seiten 247–270, ISSN 1382-4090; vgl. in arxiv