Dirichletreihe

In ihrer Konvergenzhalbebene ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\sigma _{0}}$ ist die Dirichletreihe kompakt konvergent und stellt dort eine holomorphe Funktion ${\displaystyle F(s)}$ dar.

Die Ableitungen der so bestimmten holomorphen Funktion ${\displaystyle F}$ können durch gliedweise Differentiation gewonnen werden. Ihre ${\displaystyle k}$-te Ableitung ist die Dirichletreihe

${\displaystyle F^{(k)}(s)=(-1)^{k}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\cdot (\log n)^{k}}{n^{s}}}}$.

Die berühmteste Dirichletreihe ist die Riemannsche ζ-Funktion:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$.

Sie wird von der zahlentheoretischen 1-Funktion ${\displaystyle I^{0}}$ (mit ${\displaystyle I^{0}(n)=1}$ für alle ${\displaystyle n}$) erzeugt. Da diese Funktion vollständig multiplikativ ist, hat die Zeta-Funktion die Eulerproduktdarstellung

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prim}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}$

Die Teilerfunktion (auch genauer Teileranzahlfunktion) ${\displaystyle d(n)}$, die einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ die Anzahl ihrer positiven Teiler zuordnet, ist das „Faltungsquadrat“ der 1-Funktion.

${\displaystyle d(n)=\sum _{d|n}1=(I^{0}*I^{0})(n)}$,

die ihr zugeordnete Dirichletreihe ist also das Quadrat der Zetafunktion:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)}$.

Die Möbiusfunktion ${\displaystyle \mu (n)}$ ist multiplikativ mit ${\displaystyle \mu (p^{k})=0}$ für ${\displaystyle k>1}$. Also hat die von ihr erzeugte Dirichletreihe ${\displaystyle M(s)}$ das Eulerprodukt

${\displaystyle M(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prim}}}(1-p^{-s})={\frac {1}{\zeta (s)}}}$.

Die Relation ${\displaystyle M(s)\cdot \zeta (s)=1}$ überträgt sich auf die zugehörigen zahlentheoretischen Funktionen und bedeutet dort:

${\displaystyle \mu *I^{0}(n)=\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{falls}}\ n=1\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}$.

Die ebenfalls von Dirichlet eingeführten L-Reihen

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},}$

werden von einem Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \chi }$ erzeugt. Diese Reihen spielen eine wichtige Rolle beim Beweis des Dirichletschen Satzes über die Existenz unendlich vieler Primzahlen in arithmetischen Progressionen. Da Dirichletcharaktere vollständig multiplikativ sind, kann man die L-Reihen als Eulerprodukte darstellen

${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p{\text{ prim}}}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}}$

und für ${\displaystyle \chi =\chi _{1}}$, den Hauptcharakter modulo ${\displaystyle k}$ gilt:

${\displaystyle L(s,\chi _{1})=\prod _{p|k}(1-p^{-s})\cdot \zeta (s).}$

Die L-Reihen verallgemeinern die Riemannsche Zetafunktion. → Über die Nullstellen von L-Reihen gibt es die bis heute unbewiesene verallgemeinerte Riemannsche Vermutung.

Hecke gab eine Verallgemeinerung an mit Größencharakteren statt Dirichlet-Charakteren (auch Hecke L-Reihe genannt, siehe aber unten für eine weitere Definition).

Die von Mangoldtsche Funktion ${\displaystyle \Lambda (n)}$ spielt eine Rolle beim Beweis des Primzahlsatzes. Diese zahlentheoretische Funktion ist definiert als

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log {p}&{\text{falls}}\ n=p^{m},\ p{\text{ prim}},\ m\in \mathbb {N} \\0&{\text{sonst,}}\end{cases}}}$,

die von ihr erzeugte Dirichletreihe lässt sich durch die Zeta-Funktion ausdrücken:

${\displaystyle -\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}}$.

Die Dirichletsche Lambda-Funktion ist die L-Reihe, die durch

${\displaystyle \lambda (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{s}}};\;s\neq 1}$ definiert wird.

Sie lässt sich durch die Riemannsche Zeta-Funktion darstellen als

${\displaystyle \lambda (s)=(1-2^{-s})\cdot \zeta (s).}$

Sie kann in geschlossener Form an den Stellen berechnet werden, an denen dies für die Zeta-Funktion möglich ist, das heißt für gerade positive Zahlen ${\displaystyle s\in 2\mathbb {N} .}$ Es besteht folgender Zusammenhang mit der Dirichletschen Eta-Funktion:

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{2^{s}}}={\frac {\lambda (s)}{2^{s}-1}}={\frac {\eta (s)}{2^{s}-2}}.}$

Zur Ermittlung der Dirichletschen Lambdafunktionswerte von geraden Zahlen dient auch folgende Formel:

${\displaystyle \lambda (2n+2)={\frac {1}{n}}\sum _{m=1}^{n}\eta (2m)\lambda (2n+2-2m)}$

Beispielsweise gilt:

${\displaystyle \lambda (4)=\eta (2)\lambda (2)={\frac {\pi ^{2}}{12}}\,{\frac {\pi ^{2}}{8}}={\frac {\pi ^{4}}{96}}}$

${\displaystyle \lambda (6)={\frac {1}{2}}{\bigl [}\eta (2)\lambda (4)+\eta (4)\lambda (2){\bigr ]}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\pi ^{2}}{12}}\,{\frac {\pi ^{4}}{96}}+{\frac {7\pi ^{4}}{720}}{\frac {\pi ^{2}}{8}}\right)={\frac {\pi ^{6}}{960}}}$

${\displaystyle \lambda (8)={\frac {1}{3}}\left[\eta (2)\lambda (6)+\eta (4)\lambda (4)+\eta (6)\lambda (2)\right]={\frac {1}{3}}\left({\frac {\pi ^{2}}{12}}\,{\frac {\pi ^{6}}{960}}+{\frac {7\pi ^{4}}{720}}{\frac {\pi ^{4}}{96}}+{\frac {31\pi ^{6}}{30240}}{\frac {\pi ^{2}}{8}}\right)={\frac {17\pi ^{8}}{161280}}}$

Die Eulersche φ-Funktion ist multiplikativ mit

${\displaystyle \varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}}$ für ${\displaystyle k\geq 1}$.

Das Eulerprodukt der von ihr erzeugten Dirichletreihe ist

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prim}}}{\frac {1-p^{-s}}{1-p^{1-s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}$.

Die verallgemeinerte Teilersummenfunktion ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$ ist multiplikativ und für Primzahlpotenzen ist

${\displaystyle \sigma _{k}(p^{m})={\frac {1-p^{k(m+1)}}{1-p^{k}}}}$.

Daher hat die Dirichletreihe von ${\displaystyle \sigma _{k}}$ die Eulerproduktdarstellung:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{k}(n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prim}}}{\frac {1}{(1-p^{-s})(1-p^{k-s})}}=\zeta (s)\zeta (s-k).}$

Erich Hecke fand einen Zusammenhang (Hecke-Korrespondenz) von Dirichletreihen, die bestimmte Eulerprodukt- und Funktionalgleichungen erfüllen, und Modulformen, siehe Hecke-Operator. Die von ihm definierten Hecke-L-Reihen werden mit den Fourierkoeffizienten der Modulformen gebildet. Diese sind aber zu unterscheiden von den mit Größencharakteren nach Hecke ähnlich Dirichlet-L-Reihen gebildeten Dirichletreihen, die auch Hecke-L-Reihen genannt werden.

Man findet beispielsweise die Relation:

${\displaystyle \zeta (s)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=1+{\frac {2}{2^{s}}}+{\frac {2}{3^{s}}}+{\frac {3}{4^{s}}}+{\frac {2}{5^{s}}}+{\frac {4}{6^{s}}}+{\frac {2}{7^{s}}}+\ldots ,}$

wobei ${\displaystyle d(n)}$ die Teileranzahlfunktion darstellt, die zählt, wie viele natürliche Teiler eine Zahl ${\displaystyle n}$ besitzt. Zu diesem Ergebnis gelangt man durch systematisches Ausmultiplizieren des Quadrates der Dirichlet-Reihe der Zeta-Funktion. Da es sich dabei um das Produkt zweier (konvergenter) Dirichlet-Reihen handelt, kann es, wie oben beschrieben, wiederum über eine Dirichlet-Reihe dargestellt werden.

${\displaystyle \zeta (s)^{2}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\right)^{2}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\cdot {\frac {1}{k^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(n\cdot k)^{s}}}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {d(m)}{m^{s}}}}$

Die aus dieser Faltung erzeugte Dirichlet-Reihe hat nun eine neue zahlentheoretische Funktion, die als ${\displaystyle d(m)}$ bezeichnet wird. Der Summenindex wird als ${\displaystyle m}$ gewählt, um Verwechslungen zu vermeiden. Der vorletzte Schritt der Auswertung zeigt nun, dass man den Wert von ${\displaystyle d(m)}$ über die Anzahl aller natürlichen Zahlenpaare ${\displaystyle (n,k)}$ gewinnen kann, für die ${\displaystyle n\cdot k=m}$ gilt. Somit reduziert sich die Frage nach dem Wert von ${\displaystyle d(m)}$ darauf, wie viele Teiler die betroffene Zahl ${\displaystyle m}$ besitzt.