Dirichlet-Funktion

Die Dirichlet-Funktion wird üblicherweise mit ${\displaystyle D}$ bezeichnet. Sie ist die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen. Somit ist sie definiert als:

${\displaystyle D\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto D(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ rational,}}\\0,&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ irrational.}}\end{cases}}}$

Die Dirichlet-Funktion ist ein Beispiel für

• eine an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches unstetige Funktion,
• eine Funktion der zweiten Klasse in der Klassifikation von Baire:

${\displaystyle D(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)}$,

• eine Lebesgue-integrierbare Funktion, die aber nicht Riemann-integrierbar ist.
• eine beschränkte Funktion, deren Supremum nicht mit ihrem wesentlichen Supremum (bzgl. des Lebesgue-Maßes) übereinstimmt.

Die Dirichlet-Funktion ist in keinem echten Intervall Riemann-integrierbar, da für jede Zerlegung ${\displaystyle Z}$ im Teilintervall ${\displaystyle \left[x_{k-1},x_{k}\right]}$ stets sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen und somit

die Untersumme ${\displaystyle U(Z)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\cdot \inf _{x_{k-1}<x<x_{k}}f(x)}$

stets 0 ist (weil das Infimum stets 0 ist) und

die Obersumme ${\displaystyle O(Z)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\cdot \sup _{x_{k-1}<x<x_{k}}f(x)}$

stets die Länge des Intervalls, über das integriert wird, ist (weil das Supremum immer 1 ist und somit einfach die Länge der einzelnen Teilintervalle addiert wird).

Riemann-Integrierbarkeit verlangt aber gerade die Gleichheit, also dass gilt:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Oberintegral}}&=&{\text{kl. Obersumme}}&=&{\text{gr. Untersumme}}&=&{\text{Unterintegral}}\\{\overline {\int \limits _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x&=&\inf _{Z}O(Z)&=&\sup _{Z}U(Z)&=&{\underline {\int \limits _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x\end{matrix}}}$

Da aber für jede beliebige Zerlegung die Unter- und Obersummen nicht gegen den gleichen Wert konvergieren, ist ${\displaystyle D}$ auf keinem Intervall Riemann-integrierbar.

Da die Dirichlet-Funktion eine einfache Funktion ist, also eine messbare Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt, die noch dazu nicht negativ sind, lässt sich das Lebesgue-Integral über ein beliebiges Intervall ${\displaystyle I}$ wie folgt schreiben:

${\displaystyle \int _{I}D\,{\mathrm {d} }\lambda =0\cdot \lambda (I\cap \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )+1\cdot \lambda (I\cap \mathbb {Q} )}$,

wobei ${\displaystyle \lambda }$ für das Lebesgue-Maß steht.

Bei jedem beliebigen Wert von ${\displaystyle \lambda (I\cap \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )}$ ergibt sich aus der Multiplikation mit 0 das Resultat 0. Das gilt aufgrund einer Konvention in der Maßtheorie auch dann, wenn der andere Faktor unendlich ist. Im Gegensatz dazu ist ${\displaystyle \lambda (I\cap \mathbb {Q} )}$ stets 0, da die Punktmenge ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ der rationalen Zahlen abzählbar und somit eine ${\displaystyle \lambda }$-Nullmenge ist.

Insgesamt ergibt sich damit für die Dirichlet-Funktion in jedem Intervall:

${\displaystyle \int _{I}D\,{\mathrm {d} }\lambda =0}$.

Eine verwandte Funktion ist auf ${\displaystyle [0;1]}$ wie folgt definiert:

${\displaystyle f(x):={\begin{cases}1,&{\mbox{wenn }}x=0,\\0,&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ irrational,}}\\{\frac {1}{q}},&{\mbox{wenn }}x={\frac {p}{q}}{\mbox{ mit }}p,q\in \mathbb {N} {\mbox{ und }}\operatorname {ggT} (p,q)=1.\end{cases}}}$

Sie ist an jeder rationalen Stelle ihres Definitionsbereichs unstetig und an jeder irrationalen Stelle stetig und im Gegensatz zur Dirichlet-Funktion auch Riemann-integrierbar:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}f(x){\mathrm {d} }x=0}$.

Sie wird unter anderem etwa Thomaesche Funktion genannt.

• Eric W. Weisstein: Dirichlet-Funktion. In: MathWorld (englisch).