Diracmaß

Es sei ein messbarer Raum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ gegeben, also eine Grundmenge ${\displaystyle \Omega }$ zusammen mit einer darauf definierten σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Zu jedem Punkt ${\displaystyle z\in \Omega }$ wird eine zugehörige Abbildung ${\displaystyle \delta _{z}}$ definiert, die jeder Menge ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ den Wert ${\displaystyle 1}$ zuordnet, wenn sie ${\displaystyle z}$ enthält, und den Wert ${\displaystyle 0}$, wenn sie ${\displaystyle z}$ nicht enthält:

${\displaystyle \delta _{z}(A):={\begin{cases}1\ ,&{\text{falls }}z\in A\ ,\\0\ ,&\mathrm {sonst} \ .\end{cases}}}$

Die Abbildung ${\displaystyle \delta _{z}\colon {\mathcal {A}}\to [0,1]}$ ist dann ein Maß und wird Diracmaß oder Punktmaß im Punkt ${\displaystyle z}$ genannt. Wegen ${\displaystyle \delta _{z}(\Omega )=1}$ ist ${\displaystyle \delta _{z}}$ sogar ein Wahrscheinlichkeitsmaß und ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\delta _{z})}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Damit lässt sich die Dirac-Verteilung definieren. Beim Diracmaß ${\displaystyle \delta _{z}}$ ist die Einheitsmasse im Punkt ${\displaystyle z}$ konzentriert. Es folgt, dass das Maß endlich ist, insbesondere ist der Maßraum σ-endlich.

Mit Hilfe der charakteristischen Funktion ${\displaystyle \chi }$ kann man die definierende Gleichung auch durch

${\displaystyle \,\delta _{z}(A)=\chi _{A}(z)}$

für alle ${\displaystyle z\in \Omega }$ und ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ausdrücken.

${\displaystyle \delta _{x}}$ sei das Dirac-Maß, das auf einem festen Punkt ${\displaystyle x}$ in einem messbaren Raum ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ zentriert ist.

• ${\displaystyle \delta _{x}}$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß und damit ein endliches Maß.

Angenommen, dass ${\displaystyle (X,T)}$ ein topologischer Raum ist und dass ${\displaystyle \Sigma }$ mindestens so fein ist wie die Borel-Algebra ${\displaystyle \sigma }$-Algebra ${\displaystyle \sigma (T)}$ auf ${\displaystyle X}$ ist, dann gilt:

• ${\displaystyle \delta _{x}}$ ist ein streng positives Maß, wenn und nur wenn die Topologie ${\displaystyle T}$ so ist, dass ${\displaystyle x}$ innerhalb jeder nichtleeren offenen Menge liegt, z. B. im Fall der trivialen Topologie ${\displaystyle \varnothing ,X\}}$.
• Da ${\displaystyle \delta _{x}}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, ist es auch ein lokal endliches Maß.
• Wenn ${\displaystyle X}$ ein topologischer Hausdorff-Raum mit seiner Borel ${\displaystyle \sigma }$-Algebra ist, dann erfüllt ${\displaystyle \delta _{x}}$ die Bedingung, ein inneres reguläres Maß zu sein, da Singleton-Mengen wie ${\displaystyle \{x\}}$ immer kompakt sind. Folglich ist ${\displaystyle \delta _{x}}$ auch ein Radon-Maß.
• Unter der Annahme, dass die Topologie ${\displaystyle T}$ fein genug ist, dass ${\displaystyle \{x\}}$ geschlossen ist, was in den meisten Anwendungen der Fall ist, ist die Unterstützung von ${\displaystyle \delta _{x}}$ gleich ${\displaystyle \{x\}}$. (Andernfalls ist ${\displaystyle \operatorname {supp} \left(\delta _{x}\right)}$ der Abschluss von ${\displaystyle \{x\}}$ in ${\displaystyle (X,T)}$). Außerdem ist ${\displaystyle \delta _{x}}$ das einzige Wahrscheinlichkeitsmaß, dessen Unterstützung ${\displaystyle \{x\}}$ ist.
• Wenn ${\displaystyle X}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler euklidischer Raum ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ mit seiner üblichen ${\displaystyle \sigma }$-Algebra und ${\displaystyle n}$-dimensionalem Lebesgue-Maß ${\displaystyle \lambda ^{n}}$ ist, dann ist ${\displaystyle \delta _{x}}$ ein singuläres Maß in Bezug auf ${\displaystyle \lambda ^{n}}$: Man zerlegen einfach ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ als ${\displaystyle A=\mathbf {R} ^{n}\backslash \{x\}}$ und ${\displaystyle B=\{x\}}$ und stellt fest, dass ${\displaystyle \delta _{x}(A)=\lambda ^{n}(B)=0}$.
• Das Dirac-Maß ist ein ${\displaystyle \sigma }$-finites Maß.

Das Dirac-Integral der Funktion ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ ist definiert als das Lebesgue-Integral unter dem Dirac-Maß. Anstelle des Lebesgue-Maßes wird zur Berechnung des Integrals das Dirac-Maß verwendet. Damit ergibt sich für das Integral einer beliebigen Funktion f.

${\displaystyle \int _{A}f\mathrm {d} \delta _{z}={\begin{cases}f(z)&z\in A\\0&z\not \in A\end{cases}}}$

Die Abbildung ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ sei eine nicht-negative messbare Funktion. Das Lebesgue-Integral der Funktion unter dem Dirac-Maß ist durch

${\displaystyle \int _{A}f\mathrm {d} \delta _{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{A}f_{n}\mathrm {d} \delta _{z}}$

definiert, wobei ${\displaystyle f_{n}}$ eine beliebige Folge einfacher Funktionen ist, die punktweise und monoton wachsend gegen ${\displaystyle f}$ konvergiert. Eine einfache Funktion ist eine nicht-negative messbare Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte ${\displaystyle \alpha _{i}}$ annimmt. ${\displaystyle m}$ sei die Anzahl der Funktionswerte ${\displaystyle \alpha _{i}}$; ${\displaystyle A_{i}}$ seien die (messbaren) Mengen, auf der die Funktion ${\displaystyle f_{n}}$ jeweils den Wert ${\displaystyle \alpha _{i}}$ annimmt. Das Integral einer einfachen Funktion ist damit folgendermaßen definiert:

${\displaystyle \int _{A}f_{n}\mathrm {d} \delta _{z}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}(n)\delta _{z}(A_{i}(n))}$

Ist ${\displaystyle z\notin A}$, dann ist ${\displaystyle z}$ erst recht nicht Element irgendeiner der Teilmengen ${\displaystyle A_{i}}$. Dann ist auch das Dirac-Maß von allen ${\displaystyle A_{i}}$ gleich Null. Folglich ist das Integral über ${\displaystyle A}$ insgesamt gleich Null.

Ist ${\displaystyle z\in A_{j}(n)}$ für irgendein ${\displaystyle j}$, so ist das Dirac-Maß von ${\displaystyle A_{j}(n)}$ gleich ${\displaystyle 1}$; das Dirac-Maß für alle anderen Mengen ${\displaystyle A_{i}(n)}$ ist dann gleich Null. Für das Integral der einfachen Funktionen ${\displaystyle f_{n}}$ ergibt sich somit:

${\displaystyle \int _{A}f_{n}\mathrm {d} \delta _{z}=\alpha _{j}(n)=f_{n}(z)}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{A}f_{n}\mathrm {d} \delta _{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(z)=f(z)}$

Also ist das Dirac-Integral gleich dem Funktionswert an der Stelle ${\displaystyle z}$, wenn ${\displaystyle z\in A}$ ist.

Eine andere Beweisführung erfolgt so:

Für alle ${\displaystyle z\in \Omega }$ und ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{A}f\,\mathrm {d} \delta _{z}&=\int \limits _{A\cap f^{-1}(\{f(z)\})}f\,\mathrm {d} \delta _{z}+\int \limits _{A\setminus f^{-1}(\{f(z)\})}f\,\mathrm {d} \delta _{z}\\&=\int \limits _{\{x\in A\mid f(x)=f(z)\}}f\,\mathrm {d} \delta _{z}+\int \limits _{\{x\in A\mid f(x)\neq f(z)\}}f\,\mathrm {d} \delta _{z}\\&=f(z)\delta _{z}(A)+0\\&=f(z)\delta _{z}(A)\\&={\begin{cases}f(z)&z\in A\\0&z\not \in A\end{cases}}\end{aligned}}}$

Als einelementige Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist ${\displaystyle \{f(z)\}\in {\mathcal {B}}}$. Urbilder messbarer Mengen sind messbar. Also ist ${\displaystyle f^{-1}(\{f(z)\})\in {\mathcal {A}}}$ und dementsprechend auch die Mengen, über die oben integriert wird.

Falls ${\displaystyle \{z\}\in {\mathcal {A}}}$, so ist auch eine Integration über ${\displaystyle A\cap \{z\}}$ und ${\displaystyle A\setminus \{z\}}$ möglich.

• Zählmaß
• Lebesgue-Maß
• Delta-Distribution

• Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 14). 2nd Edition. American Mathematical Society, Providence RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.
• Jean Dieudonnè 1976: Treatise on analysis, Part 2 (Seite 100), ISBN 0-12-215502-5
• Benedetto, John (1997): "§2.1.3 Definition, δ" Harmonic analysis and applications. CRC Press (Seite 72), ISBN 0-8493-7879-6