Dimension eines Moduls

Ist ${\displaystyle M}$ ein Modul über einem Ring ${\displaystyle R}$, so ist seine Dimension definiert als die Krulldimension des Ringes ${\displaystyle R}$ modulo des Annulators von ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle \mathrm {dim} (M):=\mathrm {dim} (R/\mathrm {Ann} (M))}$

Die Ähnlichkeit zwischen dem Begriff Dimension eines Moduls und dem Begriff Dimension eines Vektorraumes ist nur sprachlicher Natur: Als Modul hat jeder Vektorraum die Dimension 0, da ein Körper die Krulldimension 0 hat.

Ist ${\displaystyle M}$ ein Modul, so ist eine Normalreihe in ${\displaystyle M}$ eine Kette

${\displaystyle M=M_{0}\supsetneq M_{1}\supsetneq \dots \supsetneq M_{n}=0}$

Eine Normalreihe heißt Kompositionsreihe, wenn

${\displaystyle M_{i}/M_{i+1}(0\leq i<n)}$

ein einfacher Modul ist. (${\displaystyle N}$ ist ein einfacher Modul, wenn ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle N}$ die einzigen Untermoduln von ${\displaystyle N}$ sind.)

${\displaystyle M}$ heißt von endlicher Länge, wenn es eine Schranke für die Längen aller Normalreihen gibt. Das Maximum der Längen heißt die Länge von ${\displaystyle M}$ und wird mit

${\displaystyle \ell (M)}$

bezeichnet.

Der Satz von Jordan-Hölder besagt, dass ein Modul, der eine Kompositionsreihe besitzt, eine endliche Länge hat und dass alle Kompositionsreihen gleich lang sind.

Ist ${\displaystyle M}$ ein endlich erzeugter ${\displaystyle R}$-Modul, so wird mit ${\displaystyle \mu (M)}$ die Anzahl der Elemente eines kürzesten Erzeugendensystems von ${\displaystyle M}$ genannt.

Ist ${\displaystyle V}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler Vektorraum, dann ist

• ${\displaystyle \mathrm {dim} (V)=0}$ (seine Dimension als Modul)
• ${\displaystyle l(V)=n}$
• ${\displaystyle \mu (V)=n}$

Ist ${\displaystyle R}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal ${\displaystyle m}$, so ist ${\displaystyle R}$ genau dann regulär, wenn:

${\displaystyle \mu (m)=\mathrm {dim} (R)}$

Für alle Ringe gilt:

${\displaystyle \mu (m)\leq \mathrm {dim} (R)}$