Differenzkern

In einer Kategorie seien zwei Morphismen ${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y}$ gegeben. Ein Differenzkern von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ ist ein Morphismus ${\displaystyle i\colon Z\rightarrow X}$ mit folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle f\circ i=g\circ i}$ und
• zu jedem Morphismus ${\displaystyle i'\colon Z'\to X}$, für den ${\displaystyle f\circ i'=g\circ i'}$ gilt, gibt es genau einen Morphismus ${\displaystyle c\colon Z'\to Z}$, so dass ${\displaystyle i'=i\circ c}$.[1][2]

• In den Kategorien Set der Mengen, Top der topologischen Räume, ${\displaystyle R}$-Mod der Linksmoduln über einem Ring ${\displaystyle R}$ ist in der Situation obiger Definition die Inklusionsabbildung

${\displaystyle i\colon \{x\in X\mid f(x)=g(x)\}\hookrightarrow X}$

ein Differenzkern. Insbesondere in der zuletzt genannten Kategorie ist

${\displaystyle \{x\in X\mid f(x)=g(x)\}=\{x\in X\mid (f-g)(x)=0\}}$

automatisch ein Untermodul, der mit dem Kern der Differenz ${\displaystyle f-g}$ zusammenfällt, was die Bezeichnung Differenzkern erklärt.

• In den Kategorien der Gruppen, abelschen Gruppen, Vektorräume oder Ringe ist der Differenzkern zweier Morphismen durch den Differenzkern der zugrundeliegenden Mengenabbildungen gegeben.
• Hat die betrachtete Kategorie Nullobjekte und ist in der Situation obiger Definition ${\displaystyle g=0_{XY}}$ der Nullmorphismus ${\displaystyle X\rightarrow Y}$, so ist ein Differenzkern von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle 0_{XY}}$ nichts anderes als ein Kern von ${\displaystyle f}$. Damit ist jeder Kern ein Beispiel für einen Differenzkern.

• Differenzkerne sind nicht eindeutig bestimmt. Sind aber in der Situation obiger Definition ${\displaystyle i\colon Z\rightarrow X}$ und ${\displaystyle {\tilde {i}}\colon {\tilde {Z}}\rightarrow X}$ zwei Differenzkerne von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$, so folgt aus der Eindeutigkeiteigenschaft, dass es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus ${\displaystyle c\colon {\tilde {Z}}\rightarrow Z}$ mit ${\displaystyle {\tilde {i}}=i\circ c}$ gibt. Differenzkerne sind also bis auf (eindeutige) Isomorphie bestimmt, weshalb man oft von dem Differenzkern spricht und ihn mit ${\displaystyle \mathrm {ker} (f,g)}$ bezeichnet.
• In einer weiteren sprachlichen Ungenauigkeit nennt man das Objekt ${\displaystyle Z}$ den Differenzkern. Der eigentlich gemeinte Morphismus ist dann immer eine naheliegende Inklusionsabbildung, die unerwähnt bleiben kann.
• Man sagt, eine Kategorie habe Differenzkerne, wenn es zu je zwei Morphismen ${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y}$ einen Differenzkern gibt. Die in den obigen Beispielen genannten Kategorien Set, Top und ${\displaystyle R}$-Mod haben offenbar Differenzkerne. Die Unterkategorie Set₂ der mindestens zweielementigen Mengen von Set hat keine Differenzkerne.[3]
• Differenzkerne sind Monomorphismen.[4] Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Diejenigen Monomorphismen, die als Differenzkern auftreten, nennt man regulär.
• Differenzkerne sind spezielle Limites, nämlich die von Funktoren ${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ (auch ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$-förmige Diagramme genannt), in welchen die Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ aus zwei Objekten mit jeweiligen Identitäten und zwei parallelen Morphismen zwischen ihnen besteht.

Ein Differenzkern zweier Morphismen ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ in einer beliebigen Kategorie kann auch als das durch die folgenden äquivalenten Eigenschaften charakterisierte Unterobjekt ${\displaystyle i\colon \ker(f,g)\to X}$ von ${\displaystyle X}$ beschrieben werden:

${\displaystyle \operatorname {Hom} (T,\ker(f,g))\cong \ker(\operatorname {Hom} (T,f),\operatorname {Hom} (T,g))}$

wobei

${\displaystyle \operatorname {Hom} (T,f)\colon \operatorname {Hom} (T,X)\to \operatorname {Hom} (T,Y)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (T,f)(t):=ft}$

und der Differenzkern auf der rechten Seite der oben beschriebene Differenzkern in der Kategorie der Mengen ist, nicht der in der betrachteten Kategorie.

Des Weiteren soll der Isomorphismus in Punkt 2 natürlich in ${\displaystyle T}$ sein, das heißt: Nennen wir die Familie von Isomorphismen

${\displaystyle \varphi _{T}\colon \operatorname {Hom} (T,\ker(f,g))\to \ker(\operatorname {Hom} (T,f),\operatorname {Hom} (T,g))}$

dann gilt für alle ${\displaystyle a\colon T_{0}\to T}$ und alle ${\displaystyle t}$ für die der folgende Ausdruck definiert ist, dass

${\displaystyle \varphi _{T_{0}}(ta)=\varphi _{T}(t)a}$

• Differenzkokern

1. B. Pareigis: Kategorien und Funktoren, B. G. Teubner (1969), Kapitel 1.9: Differenzkerne und -kokerne
2. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 16.2
3. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiele 16.9
4. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Satz 16.4