Differentialrechnung

Fährt ein Auto auf einer Straße, so kann anhand dieses Sachverhalts eine Tabelle erstellt werden, in der zu jedem Zeitpunkt die Strecke, die seit dem Beginn der Aufzeichnung zurückgelegt wurde, eingetragen wird. In der Praxis ist es zweckmäßig, eine solche Tabelle nicht zu engmaschig zu führen, d. h. zum Beispiel in einem Zeitraum von 1 Minute nur alle 3 Sekunden einen neuen Eintrag zu machen, was lediglich 20 Messungen erfordern würde. Jedoch kann eine solche Tabelle theoretisch beliebig engmaschig gestaltet werden, wenn jeder Zeitpunkt berücksichtigt werden soll. Dabei gehen die vormals diskreten, also mit einem Abstand behafteten Daten, in ein Kontinuum über. Die Gegenwart wird dann als Zeitpunkt, d. h. als ein unendlich kurzer Zeitabschnitt, interpretiert. Gleichzeitig hat das Auto aber zu jedem Zeitpunkt eine theoretisch bekannte Strecke zurückgelegt, und wenn es nicht bis zum Stillstand abbremst oder gar zurück fährt, wird die Strecke kontinuierlich ansteigen, also zu keinem Zeitpunkt dieselbe sein wie zu einem anderen.

• 
  
  Exemplarische Darstellung einer Tabelle, alle 3 Sekunden wird eine neue Messung eingetragen. Unter solchen Voraussetzungen können lediglich durchschnittliche Geschwindigkeiten in den Zeiträumen 0 bis 3, 3 bis 6 usw. Sekunden berechnet werden. Da die zurückgelegte Strecke stets zunimmt, scheint der Wagen nur vorwärts zu fahren.
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  Übergang zu einer beliebig engmaschigen Tabelle, die nach Eintragung aller Punkte die Gestalt einer Kurve annimmt. Jedem Zeitpunkt zwischen 0 und 60 Sekunden wird ein Punkt auf der Kurve zugeordnet. Regionen, innerhalb derer die Kurve steiler nach oben verläuft, entsprechen Zeitabschnitten, in denen eine größere Strecke pro Zeitspanne zurückgelegt wird. In Regionen mit nahezu gleich bleibender Strecke, zum Beispiel im Bereich 15–20 Sekunden, fährt das Auto langsam und die Kurve verläuft flach.

Die Motivation hinter dem Begriff der Ableitung einer Weg-Zeit-Kurve oder -Funktion ist, dass nun angegeben werden kann, wie schnell sich das Auto zu einem momentanen Zeitpunkt bewegt. Aus einem Weg-Zeit-Verlauf soll also der passende Geschwindigkeit-Zeit-Verlauf abgeleitet werden. Hintergrund ist, dass die Geschwindigkeit ein Maß dafür ist, wie stark sich die zurückgelegte Strecke im Laufe der Zeit ändert. Bei einer hohen Geschwindigkeit ist ein starker Anstieg in der Kurve zu sehen, während eine niedrige Geschwindigkeit zu wenig Veränderung führt. Da jedem Messpunkt auch eine Strecke zugeordnet wurde, sollte eine solche Analyse grundsätzlich möglich sein, denn mit dem Wissen über die zurückgelegte Strecke ${\displaystyle \Delta s}$ innerhalb einem Zeitintervall ${\displaystyle \Delta t}$ gilt für die Geschwindigkeit

${\displaystyle v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.}$

Sind also ${\displaystyle t_{0}}$ und ${\displaystyle t_{1}}$ zwei unterschiedliche Zeitpunkte, so lautet „die Geschwindigkeit“ des Autos im Zeitintervall zwischen diesen

${\displaystyle v={\frac {s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}}.}$

Die Differenzen in Zähler und Nenner müssen gebildet werden, da man sich nur für die innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls ${\displaystyle t_{1}-t_{0}}$ zurückgelegte Strecke ${\displaystyle s(t_{1})-s(t_{0})}$ interessiert. Dennoch liefert dieser Ansatz kein vollständiges Bild, da zunächst nur Geschwindigkeiten für Zeitintervalle mit auseinander liegendem Anfangs- und Endpunkt gemessen wurden. Eine momentane Geschwindigkeit, vergleichbar mit einem Blitzerfoto, hingegen bezöge sich auf ein unendlich kurzes Zeitintervall. Dementsprechend ist der oben stehende Begriff „Geschwindigkeit“ durch „durchschnittliche Geschwindigkeit“ zu präzisieren. Auch wenn mit echten Zeitintervallen, also diskreten Daten, gearbeitet wird, vereinfacht sich das Modell insofern, als für ein Auto innerhalb der betrachteten Intervalle keine schlagartige Ortsänderung und keine schlagartige Geschwindigkeitsänderung möglich ist. (Auch eine Vollbremsung benötigt Zeit, und zwar länger als die Zeit, in der die Reifen quietschen.) Damit ist auch in der Zeichnung der stillschweigend durchgehend eingetragene Kurvenzug ohne Sprung und ohne Knick gerechtfertigt.

Zum Zeitpunkt 25 Sekunden bewegt sich das Auto momentan mit ca. 7,6 Metern pro Sekunde, umgerechnet 27 km/h. Dieser Wert entspricht der Steigung der Tangente der Weg-Zeit-Kurve an der entsprechenden Stelle. Weitere detailliertere Erklärungen zu dieser geometrischen Interpretation werden weiter unten gegeben.

Soll hingegen zu einem „perfekt passenden“ Geschwindigkeit-Zeit-Verlauf übergegangen werden, so muss der Terminus „durchschnittliche Geschwindigkeit in einem Zeitintervall“ durch „Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt“ ersetzt werden. Dazu muss zunächst ein Zeitpunkt ${\displaystyle t_{0}}$ gewählt werden. Die Idee ist nun, „ausgedehnte Zeitintervalle“ in einem Grenzwertprozess gegen ein unendlich kurzes Zeitintervall laufen zu lassen und zu studieren, was mit den betroffenen durchschnittlichen Geschwindigkeiten passiert. Obwohl der Nenner ${\displaystyle t_{1}-t_{0}}$ dabei gegen 0 strebt, ist dies anschaulich kein Problem, da sich das Auto in kürzer werdenden Zeitabschnitten bei stetigem Verlauf immer weniger weit bewegen kann, womit sich Zähler und Nenner gleichzeitig verkleinern, und im Grenzprozess ein unbestimmter Term „${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$“ entsteht. Dieser kann unter Umständen als Grenzwert Sinn ergeben, beispielsweise drücken

${\displaystyle {\tfrac {5\ \mathrm {Meter} }{\mathrm {Sekunde} }}\ {\text{ und }}\ {\tfrac {5\ \mathrm {Millimeter} }{\mathrm {Millisekunde} }}\ {\text{ und }}\ {\tfrac {5\ \mathrm {Nanometer} }{\mathrm {Nanosekunde} }}\ {\text{ usw.}}}$

exakt dieselben Geschwindigkeiten aus. Nun gibt es zwei Möglichkeiten beim Studium der Geschwindigkeiten. Entweder, sie lassen in dem betrachteten Grenzwertprozess keine Tendenz erkennen, sich einem bestimmten endlichen Wert anzunähern. In diesem Fall kann der Bewegung des Autos keine zum Zeitpunkt ${\displaystyle t_{0}}$ gültige Geschwindigkeit zugeordnet werden, d. h., der Term „${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$“ hat hier keinen eindeutigen Sinn. Gibt es hingegen eine zunehmende Stabilisierung in Richtung auf einen festen Wert, so existiert der Grenzwert

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}(t_{0}):=\lim _{t_{1}\to t_{0}}{\frac {s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})}{\Delta t}}}$

und drückt die exakt im Zeitpunkt ${\displaystyle t_{0}}$ bestehende Geschwindigkeit aus. Der unbestimmte Term „${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$“ nimmt in diesem Fall einen eindeutigen Wert an. Die dabei entstehende Momentangeschwindigkeit wird auch als Ableitung von ${\displaystyle s}$ an der Stelle ${\displaystyle t_{0}}$ bezeichnet; für diese wird häufig das Symbol ${\displaystyle s'(t_{0})}$ benutzt. Mit dem Grenzwert wird die Momentangeschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt definiert als

${\displaystyle v={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}.}$

Schaubild der Zeit-Strecke-Funktion ${\displaystyle s(t)=2t}$ (in Blau). Verstreicht eine Sekunde (in Rot), so nimmt die zurückgelegte Strecke um 2 Meter zu (in Orange). Daher bewegt sich das Auto mit „2 Meter pro Sekunde“. Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung. Das Steigungsdreieck lässt sich beliebig verkleinern, ohne dass sich an der Proportion von Höhe und Grundseite etwas ändert.

Das Beispiel des letzten Abschnitts ist dann besonders einfach, wenn die Zunahme der zurückgelegten Strecke mit der Zeit gleichförmig, also linear verläuft. Dann liegt speziell eine Proportionalität zwischen der Veränderung der Strecke und der Veränderung der Zeit vor. Die relative Veränderung der Strecke, also ihre Zunahme im Verhältnis zur Zunahme der Zeit, ist bei dieser Bewegung immer gleichbleibend. Die mittlere Geschwindigkeit ist zu jedem Zeitpunkt auch die momentane Geschwindigkeit. Beispielsweise legt das Auto zwischen 0 und 1 Sekunden eine gleich lange Strecke zurück wie zwischen 9 und 10 Sekunden und die zehnfache Strecke zwischen 0 und 10 Sekunden. Als Proportionalitätsfaktor über den ganzen Weg gilt die konstante Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$, wobei sie im nebenstehenden Bild ${\displaystyle v=2\,\mathrm {m/s} }$ beträgt. Die zwischen beliebig weit auseinanderliegenden Zeitpunkten ${\displaystyle t}$ und ${\displaystyle t+\Delta t}$ zurückgelegte Strecke beträgt

${\displaystyle \Delta s=s(t+\Delta t)-s(t)=v\cdot (t+\Delta t)-v\cdot t=v\cdot \Delta t}$.

Allgemein bewegt sich das Auto in der Zeitspanne ${\displaystyle \Delta t}$ um die Strecke ${\displaystyle \Delta s=v\,\Delta t}$ vorwärts. Speziell bei ${\displaystyle \Delta t=5\,\mathrm {s} }$ ergibt sich ein Wegstück ${\displaystyle \Delta s=v\,\Delta t=2\,\mathrm {{\tfrac {m}{s}}\cdot 5\,s=10\,m} }$.

Falls der Startwert bei ${\displaystyle t=0}$ nicht ${\displaystyle s(0)=0}$ sondern ${\displaystyle s(0)=c\neq 0}$ beträgt, ändert dies nichts, da sich in der Beziehung ${\displaystyle s=v\,t+c}$ die Konstante ${\displaystyle c}$ durch die Differenzbildung aus ${\displaystyle \Delta s}$ stets heraussubtrahiert. Auch anschaulich ist dies bekannt: Die Startposition des Autos ist unerheblich für seine Geschwindigkeit.

Werden statt der Variablen ${\displaystyle t}$ und ${\displaystyle s}$ allgemein die Variablen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ betrachtet, so lässt sich also festhalten:

• Lineare Funktionen: Bei Linearität hat die betrachtete Funktion die Gestalt ${\displaystyle y=f(x)=mx+c}$. (Für eine lineare Funktion ist nicht notwendig eine Ursprungsgerade erforderlich!) Als Ableitung gilt hieran die relative Veränderung, mit einem anderen Wort der Differenzenquotient ${\displaystyle {\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}}$. Sie hat in jedem Punkt denselben Wert ${\displaystyle m}$. Die Ableitung lässt sich aus dem Ausdruck ${\displaystyle mx+c}$ direkt ablesen. Insbesondere hat jede konstante Funktion ${\displaystyle f(x)=c}$ die Ableitung ${\displaystyle {\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}=0}$, da sich mit einer Änderung des Eingabewertes nichts am Ausgabewert ändert.

Schwieriger wird es, wenn eine Bewegung nicht gleichförmig verläuft. Dann ist das Diagramm der Zeit-Strecken-Funktion nicht geradlinig. Für derartige Verläufe muss der Ableitungsbegriff erweitert werden. Denn es gibt keinen Proportionalitätsfaktor, der überall die lokale relative Veränderung ausdrückt. Als einzig mögliche Strategie ist die Gewinnung einer linearen Näherung für die nicht-lineare Funktion gefunden worden, zumindest an einer interessierenden Stelle. (Im nächsten Bild ist das die Stelle ${\displaystyle x=1}$.) Damit wird das Problem auf eine wenigstens an dieser Stelle lineare Funktion zurückgeführt. Die Methode der Linearisierung ist die Grundlage für den eigentlichen Kalkül der Differentialrechnung. Sie ist in der Analysis von sehr großer Bedeutung, da sie dabei hilft, komplizierte Vorgänge lokal auf leichter verständliche Vorgänge, nämlich lineare Vorgänge, zu reduzieren.[1]

${\displaystyle x}$	0,5	0,9	0,99	0,999	1	1,001	1,01	1,1	1,5	2
${\displaystyle f=x^{2}}$	0,25	0,81	0,9801	0,998001	1	1,002001	1,0201	1,21	2,25	4
${\displaystyle g=2x-1}$	0	0,8	0,98	0,998	1	1,002	1,02	1,2	2	3
${\displaystyle g(x)-f(x)}$	−0,25	−0,01	−0,0001	−0,000001	0	−0,000001	−0,0001	−0,01	−0,25	−1
${\displaystyle {\Big |}{\tfrac {g(x)-f(x)}{x-1}}{\Big |}}$	50 %	10 %	1 %	0,1 %		0,1 %	1 %	10 %	50 %	100 %

Graphische Darstellung der Approximation von ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ an der Stelle ${\displaystyle x=1}$ durch ${\displaystyle g(x)=2x-1}$. Letztere ist die Gleichung der Tangente von ${\displaystyle f}$ an dieser Stelle.

Die Strategie soll exemplarisch an der nicht-linearen Funktion ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ erläutert werden.[2] Die Tabelle zeigt Werte für diese Funktion und für ihre Näherungsfunktion an der Stelle ${\displaystyle x=1}$, das ist ${\displaystyle g(x)=2x-1}$. Darunter enthält die Tabelle die Abweichung der Näherung von der ursprünglichen Funktion. (Die Werte sind negativ, weil in diesem Fall die Gerade immer unter der Kurve liegt – außer im Berührpunkt.) In der letzten Zeile steht der Betrag der relativen Abweichung, das ist die Abweichung bezogen auf die Entfernung der Stelle ${\displaystyle x}$ vom Berührpunkt bei ${\displaystyle x=1}$. Diese kann am Berührpunkt nicht berechnet werden. Aber die Werte in der Umgebung zeigen, wie sich die relative Abweichung einem Grenzwert nähert, hier dem Wert null. Diese Null bedeutet: Selbst wenn sich ${\displaystyle x}$ ein wenig (infinitesimal) vom Berührpunkt entfernt, entsteht noch kein Unterschied zwischen ${\displaystyle g(x)}$ und ${\displaystyle f(x)}$.

Die lineare Funktion ${\displaystyle g(x)}$ ahmt das Verhalten von ${\displaystyle f(x)}$ nahe der Stelle ${\displaystyle x=1}$ gut nach (besser als jede andere lineare Funktion). Die relative Veränderung ${\displaystyle {\tfrac {\Delta g}{\Delta x}}}$ hat überall den Wert ${\displaystyle m=2}$. Die nicht so einfach zu ermittelnde relative Veränderung ${\displaystyle {\tfrac {\Delta f}{\Delta x}}}$ stimmt aber im Berührpunkt mit dem Wert ${\displaystyle m=2}$ überein.

Es lässt sich also festhalten:

• Nicht-lineare Funktionen: Soll die relative Veränderung einer nicht-linearen Funktion in einem bestimmten Punkt ermittelt werden, so wird sie (wenn möglich) dort linear genähert. Die Steigung der linearen Näherungsfunktion ist die an dieser Stelle vorliegende Steigung der betrachteten nicht-linearen Funktion, und es gilt dieselbe Anschauung wie bei Ableitungen linearer Funktionen. Dabei ist nur zu beachten, dass sich die relative Veränderung einer nicht-linearen Funktion von Punkt zu Punkt ändert.

Während im Beispiel oben (Fahrzeugbewegung) für die durchschnittliche Geschwindigkeit die Zeitspanne ${\displaystyle \Delta t}$ angemessen willkürlich gewählt werden kann, ist die momentane Geschwindigkeit, wenn sie veränderlich ist, nur für kleine ${\displaystyle \Delta t}$ angebbar. Wie klein ${\displaystyle \Delta t}$ gewählt werden muss, hängt ab von der Anforderung an die Qualität der Näherung. In mathematischer Perfektion wird sie infinitesimal. Bei dieser wird für die relative Veränderung (wie schon oben angegeben) anstelle des Differenzenquotienten ${\displaystyle {\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}}$ der Differenzialquotient ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$ geschrieben (in vereinfachter Schreibweise ${\displaystyle y'}$ oder ${\displaystyle f'}$).

Die Gewinnung der linearen Näherung einer nicht-linearen Funktion an einer bestimmten Stelle ist zentrale Aufgabe des Kalküls der Differentialrechnung. Bei einer mathematisch angebbaren Funktion (im Beispiel war das ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$) sollte sich die Ableitung ausrechnen lassen. Im Idealfall ist diese Berechnung sogar so allgemein, dass sie auf alle Punkte des Definitionsbereichs angewendet werden kann. Im Falle von ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ kann gezeigt werden, dass an jeder Stelle ${\displaystyle x}$ die beste lineare Näherung die Steigung ${\displaystyle m=2x}$ besitzen muss. Mit der Zusatzinformation, dass die lineare Funktion mit der Kurve im Punkt ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ übereinstimmen muss, kann dann die vollständige Funktionsgleichung der linearen Näherungsfunktion aufgestellt werden.

Der Ansatz zur Bestimmung des Differentialquotienten liegt in der Berechnung des Grenzwerts (wie oben bei der momentanen Geschwindigkeit):

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=f'(x_{0})\quad }$ oder in anderer Schreibweise ${\displaystyle \quad \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x).}$

Bei einigen elementaren Funktionen wie Potenzfunktion, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion oder Sinusfunktion ist jeweils der Grenzwertprozess durchgeführt worden. Dabei ergibt sich jeweils eine Ableitungsfunktion. Darauf aufbauend sind Ableitungsregeln für die elementaren und auch für weitere Funktionen wie Summen, Produkte oder Verkettungen elementarer Funktionen aufgestellt worden.

Damit werden die Grenzübergänge nicht in jeder Anwendung neu vollzogen, sondern für die Rechenpraxis werden Ableitungsregeln angewendet. Die „Kunst“ der Differentialrechnung besteht „nur“ darin, kompliziertere Funktionen zu strukturieren und auf die Strukturelemente die jeweils zutreffende Ableitungsregel anzuwenden. Ein Beispiel folgt weiter hinten.

Jeder Differenzialquotient an einer vorgesehenen Stelle erscheint als unbestimmter Ausdruck vom Typ „${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$“. Zu seiner Berechnung wird vom Differenzenquotient ausgegangen, und dessen Verhalten in der Umgebung der vorgesehenen Stelle wird untersucht, ob er die Tendenz hat, einen bestimmten Wert anzunehmen. Einige Grenzwerte, die für Ableitungsregeln benötigt werden, werden nachfolgend hergeleitet. Selbstverständlich dürfen dazu keine Regeln der Differenzialrechnung verwendet werden, da diese erst nach der Kenntnis der Grenzwerte aufgestellt werden können.

Ein einfacher Fall 1 ${\displaystyle \quad f(x)=x^{2}}$

Ausgangspunkt ist der Differenzenquotient für die vorgesehene Funktion.

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}={\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}}$

Wird die binomische Formel ${\displaystyle (x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}}$ eingesetzt, so kürzt sich ein Summand heraus.

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}={\frac {2xh+h^{2}}{h}}}$

Für ${\displaystyle h=0}$ ist dieser Bruch unbestimmt. Aber für ${\displaystyle h\neq 0}$ (dann und nur dann!) können Zähler und Nenner durch ${\displaystyle h}$ dividiert werden.

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}=2x+h}$

Für jedes ${\displaystyle h\neq 0}$ ist dieser Ausdruck bestimmt, auch wenn man dem Wert ${\displaystyle h=0}$ nahe kommt. Er strebt im Grenzübergang nach

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}=2x}$

Im Weiteren werden hier nur Grenzwerte berechnet, und ihre Einsetzung in Differenzenquotienten erfolgt weiter hinten im Abschnitt Ableitungsberechnung.

Veranschaulichung zur Grenzwertableitung am Einheitskreis

Fall 2 ${\displaystyle \quad {\frac {\sin h}{h}}}$

Für ${\displaystyle h=0}$ ist dieser Bruch unbestimmt. Zur Berechnung bei ${\displaystyle h>0}$ wird die Fläche eines Kreissektors mit dem Bogen ${\displaystyle h}$ verglichen mit den Flächen eines innen liegenden und eines außen liegenden Dreiecks gemäß der Zeichnung. Im gezeigten Quadranten gilt offensichtlich[3]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sin h\cdot \cos h<\pi \cdot {\frac {h}{2\pi }}<{\frac {1}{2}}\tan h\cdot 1}$

Bei ${\displaystyle \sin h\neq 0}$ kann diese Ungleichung mit ${\displaystyle {\frac {2}{\sin h}}}$ multipliziert werden.

${\displaystyle \cos h<{\frac {h}{\sin h}}<{\frac {1}{\cos h}}}$

Für ${\displaystyle h\to 0}$ streben sowohl der linke als auch der rechte Ausdruck gegen eins. Damit muss auch der dazwischen liegende Ausdruck gegen eins streben. Für seinen Kehrwert gilt das ebenfalls. Für ${\displaystyle h>0}$ strebt er im Grenzübergang nach

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\sin h}{h}}=1}$

Zwischenüberlegung ${\displaystyle \quad \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Der Logarithmus dieses Ausdrucks, das ist ${\displaystyle n\cdot \log(1+{\frac {1}{n}})}$, strebt für ${\displaystyle n\to \infty }$ gegen „${\displaystyle \infty \cdot 0}$“. Dieser Logarithmus ist dort unbestimmt und damit auch der Ausdruck selber. Es ist aber bewiesen, dass

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

einen bestimmten endlichen Wert annimmt, der als Eulersche Zahl ${\displaystyle \mathrm {e} }$ bezeichnet wird. Dieses wird unter dem verlinkten Stichwort behandelt und hier als bekannt vorausgesetzt.

Fall 3 ${\displaystyle \quad {\frac {a^{h}-1}{h}}}$

Für ${\displaystyle h=0}$ ist dieser Bruch unbestimmt. Aber für ${\displaystyle a>1}$ und ${\displaystyle h>0}$ ist die Substitution[4]

${\displaystyle a^{h}-1={\frac {1}{z}}}$, ${\displaystyle \quad a^{h}=1+{\frac {1}{z}}}$

zulässig. Aufgelöst nach ${\displaystyle h}$ unter Verwendung des natürlichen Logarithmus ergibt das

${\displaystyle h={\frac {\ln(1+{\frac {1}{z}})}{\ln a}}}$

${\displaystyle {\frac {a^{h}-1}{h}}={\frac {\ln a}{z\,\ln(1+{\frac {1}{z}})}}={\frac {\ln a}{\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)^{z}}}}$

Für ${\displaystyle h\to 0}$ streben ${\displaystyle z\to \infty }$ und der Nenner gegen ${\displaystyle \ln \mathrm {e} =1}$. Für jedes ${\displaystyle h>0}$ ist dieser Ausdruck bestimmt, auch wenn man dem Wert ${\displaystyle h=0}$ nahe kommt. Er strebt im Grenzübergang nach

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=\ln a}$

Als Voraussetzung für diese Herleitung muss ${\displaystyle z}$ positiv sein. Für ${\displaystyle 0<a<1}$ ist dieses erfüllt mit negativem ${\displaystyle h}$. Nähert man sich bei ${\displaystyle 0<a<1}$ dem Wert ${\displaystyle h=0}$ von der Seite ${\displaystyle h<0}$ her, so gilt derselbe Grenzübergang.

Fall 4 ${\displaystyle \quad {\frac {\log(1+h)}{h}}}$

Für ${\displaystyle h=0}$ ist dieser Bruch unbestimmt. Aber für ${\displaystyle h>0}$ ist die Substitution ${\displaystyle h={\frac {1}{z}}}$ zulässig.[5]

${\displaystyle {\frac {\log(1+h)}{h}}=z\,\log \left(1+{\frac {1}{z}}\right)=\log \left(1+{\frac {1}{z}}\right)^{z}}$

Für ${\displaystyle h\to 0}$ strebt ${\displaystyle z\to \infty }$. Für jedes ${\displaystyle h>0}$ ist dieser Ausdruck bestimmt, auch wenn man dem Wert ${\displaystyle h=0}$ nahe kommt. Er strebt im Grenzübergang nach

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\log(1+h)}{h}}=\log \mathrm {e} }$

Eine wichtige Anwendung der Differentialrechnung besteht darin, dass mit Hilfe der Ableitung lokale Extremwerte einer Kurve bestimmt werden können. Anstatt also anhand einer Wertetabelle mechanisch nach Hoch- oder Tiefpunkten suchen zu müssen, liefert der Kalkül in einigen Fällen eine direkte Antwort. Liegt ein Hoch- oder Tiefpunkt vor, so besitzt die Kurve an dieser Stelle keinen „echten“ Anstieg, weshalb die optimale Linearisierung eine Steigung von 0 besitzt. Für die genaue Klassifizierung eines Extremwertes sind jedoch weitere lokale Daten der Kurve notwendig, denn eine Steigung von 0 ist nicht hinreichend für die Existenz eines Extremwertes (geschweige denn eines Hoch- oder Tiefpunktes).

In der Praxis treten Extremwertprobleme typischerweise dann auf, wenn Prozesse, zum Beispiel in der Wirtschaft, optimiert werden sollen. Oft liegen an den Randwerten jeweils ungünstige Ergebnisse, in Richtung „Mitte“ kommt es aber zu einer stetigen Steigerung, die dann irgendwo maximal werden muss. Zum Beispiel die optimale Wahl eines Verkaufspreises: Bei einem zu geringen Preis ist die Nachfrage nach einem Produkt zwar sehr groß, aber die Produktion kann nicht finanziert werden. Ist er andererseits zu hoch, so wird es im Extremfall gar nicht mehr gekauft. Daher liegt ein Optimum irgendwo „in der Mitte“. Voraussetzung dabei ist, dass der Zusammenhang in Form einer (stetig) differenzierbaren Funktion wiedergegeben werden kann.

Die Untersuchung einer Funktion auf Extremstellen ist Teil einer Kurvendiskussion. Die mathematischen Hintergründe sind im Abschnitt Anwendung höherer Ableitungen bereitgestellt.

In der mathematischen Modellierung sollen komplexe Probleme in mathematischer Sprache erfasst und analysiert werden. Je nach Fragestellung sind das Untersuchen von Korrelationen oder Kausalitäten oder auch das Geben von Prognosen im Rahmen dieses Modells zielführend.

Besonders im Umfeld sog. Differentialgleichungen ist die Differentialrechnung zentrales Werkzeug bei der Modellierung. Diese Gleichungen treten zum Beispiel auf, wenn es eine kausale Beziehung zwischen dem Bestand einer Größe und deren zeitlicher Veränderung gibt. Ein alltägliches Beispiel könnte sein:

Je mehr Einwohner eine Stadt besitzt, desto mehr Leute wollen dort hinziehen.

Etwas konkreter könnte dies zum Beispiel heißen, dass bei ${\displaystyle 1\,000\,000}$ jetzigen Einwohnern durchschnittlich ${\displaystyle 1\,000\,000}$ Personen in den kommenden 10 Jahren zuziehen werden, bei ${\displaystyle 1\,000\,001}$ Einwohnern durchschnittlich ${\displaystyle 1\,000\,001}$ Personen in den kommenden 10 Jahren usw. – um nicht alle Zahlen einzeln ausführen zu müssen: Leben ${\displaystyle n}$ Personen in der Stadt, so wollen so viele Menschen hinzuziehen, dass nach 10 Jahren weitere ${\displaystyle n}$ hinzukommen würden. Besteht eine derartige Kausalität zwischen Bestand und zeitlicher Veränderung, so kann gefragt werden, ob aus diesen Daten eine Prognose für die Einwohnerzahl nach 10 Jahren abgeleitet werden kann, wenn die Stadt im Jahr 2020 zum Beispiel ${\displaystyle 1\,000\,000}$ Einwohner hatte. Es wäre dabei falsch zu glauben, dass dies ${\displaystyle 2\,000\,000}$ sein werden, da sich mit steigender Einwohnerzahl auch die Nachfrage nach Wohnraum wiederum zunehmend steigern wird. Der Knackpunkt zum Verständnis des Zusammenhangs ist demnach erneut dessen Lokalität: Besitzt die Stadt ${\displaystyle 1\,000\,000}$ Einwohner, so wollen zu diesem Zeitpunkt ${\displaystyle 1\,000\,000}$ Menschen pro 10 Jahre hinzuziehen. Aber einen kurzen Augenblick später, wenn weitere Menschen hinzugezogen sind, sieht die Lage wieder anders aus. Wird dieses Phänomen zeitlich beliebig engmaschig gedacht, ergibt sich ein „differentieller“ Zusammenhang. Allerdings eignet sich die kontinuierliche Herangehensweise in vielen Fällen auch bei diskreten Problemstellungen.[6]

Mit Hilfe der Differentialrechnung kann aus so einem kausalen Zusammenhang zwischen Bestand und Veränderung in vielen Fällen ein Modell hergeleitet werden, was den komplexen Zusammenhang auflöst, und zwar in dem Sinne, dass zum Schluss eine Bestandsfunktion explizit angegeben werden kann. Setzt man in diese Funktion dann zum Beispiel den Wert 10 Jahre ein, so ergibt sich eine Prognose für die Stadtbewohneranzahl im Jahr 2030. Im Falle oberen Modells wird eine Bestandsfunktion ${\displaystyle B}$ gesucht mit ${\displaystyle B(t)=B'(t)}$, ${\displaystyle t}$ in 10 Jahren, und ${\displaystyle B(0)=1\,000\,000}$. Die Lösung ist dann

${\displaystyle B(t)=1\,000\,000\,e^{t}}$

mit der natürlichen Exponentialfunktion (natürlich bedeutet, dass der Proportionalitätsfaktor zwischen Bestand und Veränderung einfach gleich 1 ist) und für das Jahr 2030 lautet die geschätzte Prognose ${\displaystyle B(1)\approx 2{,}718}$ Mio. Einwohner. Die Proportionalität zwischen Bestand und Veränderungsrate führt also zu exponentiellem Wachstum und ist klassisches Beispiel eines selbstverstärkenden Effektes. Analoge Modelle funktionieren beim Populationswachstum (Je mehr Individuen, desto mehr Geburten) oder der Verbreitung einer ansteckenden Krankheit (Je mehr Erkrankte, desto mehr Ansteckungen). In vielen Fällen stoßen diese Modelle jedoch an eine Grenze, wenn sich der Prozess aufgrund natürlicher Beschränkungen (wie eine Obergrenze der Gesamtbevölkerung) nicht beliebig fortsetzen lässt. In diesen Fällen sind ähnliche Modelle, wie das logistische Wachstum, geeigneter.[7]

Die Eigenschaft einer Funktion, differenzierbar zu sein, ist bei vielen Anwendungen von Vorteil, da dies der Funktion mehr Struktur verleiht. Ein Beispiel ist das Lösen von Gleichungen. Bei einigen mathematischen Anwendungen ist es notwendig, den Wert einer (oder mehrerer) Unbekannten ${\displaystyle x}$ zu finden, die Nullstelle einer Funktion ${\displaystyle f}$ ist. Es ist dann ${\displaystyle f(x)=0}$. Je nach Beschaffenheit von ${\displaystyle f}$ können Strategien entwickelt werden, eine Nullstelle zumindest näherungsweise anzugeben, was in der Praxis meist vollkommen ausreicht. Ist ${\displaystyle f}$ in jedem Punkt differenzierbar mit Ableitung ${\displaystyle f'}$, so kann in vielen Fällen das Newton-Verfahren helfen. Bei diesem spielt die Differentialrechnung insofern eine direkte Rolle, als beim schrittweisen Vorgehen immer wieder eine Ableitung explizit berechnet werden muss.[8]

Ein weiterer Vorteil der Differentialrechnung ist, dass in vielen Fällen komplizierte Funktionen, wie Wurzeln oder auch Sinus und Kosinus, anhand einfacher Rechenregeln wie Addition und Multiplikation gut angenähert werden können. Ist die Funktion an einem benachbarten Wert leicht auszuwerten, ist dies von großem Nutzen. Wird zum Beispiel nach einem Näherungswert für die Zahl ${\displaystyle {\sqrt {26}}}$ gesucht, so liefert die Differentialrechnung für ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ die Linearisierung

${\displaystyle f(25+h)\approx f(25)+hf'(25)={\sqrt {25}}+{\frac {h}{2{\sqrt {25}}}}=5+{\frac {h}{10}},}$

denn es gilt nachweislich ${\displaystyle f'(x)={\tfrac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$. Sowohl Funktion als auch erste Ableitung konnten an der Stelle ${\displaystyle 25}$ gut berechnet werden, weil es sich dabei um eine Quadratzahl handelt. Einsetzen von ${\displaystyle h=1}$ ergibt ${\displaystyle {\sqrt {26}}\approx 5+{\tfrac {1}{10}}=5{,}1}$, was mit dem exakten Ergebnis ${\displaystyle {\sqrt {26}}=5{,}09901\dots }$ bis auf einen Fehler kleiner als ${\displaystyle {\tfrac {1}{1000}}}$ übereinstimmt.[9] Unter Einbezug höherer Ableitungen kann die Genauigkeit solcher Approximationen zusätzlich gesteigert werden, da dann nicht nur linear, sondern quadratisch, kubisch usw. angenähert wird, siehe auch Taylor-Reihe.

Tangentialebene, platziert an einem Punkt einer Kugeloberfläche

Auch in der reinen Mathematik spielt die Differentialrechnung als ein Kern der Analysis eine bedeutende Rolle. Ein Beispiel ist die Differentialgeometrie, die sich mit Figuren beschäftigt, die eine differenzierbare Oberfläche (ohne Knicke usw.) haben. Zum Beispiel kann auf eine Kugeloberfläche in jedem Punkt tangential eine Ebene platziert werden. Anschaulich: Steht man an einem Erdpunkt, so hat man das Gefühl, die Erde sei flach, wenn man seinen Blick in der Tangentialebene schweifen lässt. In Wahrheit ist die Erde jedoch nur lokal flach: Die angelegte Ebene dient der (durch Linearisierung) vereinfachten Darstellung der komplizierteren Krümmung. Global hat sie als Kugeloberfläche eine völlig andere Gestalt.

Die Methoden der Differentialgeometrie sind äußerst bedeutend für die theoretische Physik. So können Phänomene wie Krümmung oder Raumzeit über Methoden der Differentialrechnung beschrieben werden. Auch die Frage, was der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten auf einer gekrümmten Fläche (zum Beispiel der Erdoberfläche) ist, kann mit diesen Techniken formuliert und oft auch beantwortet werden.

Auch bei der Erforschung von Zahlen als solchen, also im Rahmen der Zahlentheorie, hat sich die Differentialrechnung in der analytischen Zahlentheorie bewährt. Die grundlegende Idee der analytischen Zahlentheorie ist die Umwandlung von bestimmten Zahlen, über die man etwas lernen möchte, in Funktionen. Haben diese Funktionen „gute Eigenschaften“ wie etwa Differenzierbarkeit, so hofft man, über die damit einhergehenden Strukturen Rückschlüsse auf die ursprünglichen Zahlen ziehen zu können. Es hat sich dabei häufig bewährt, zur Perfektionierung der Analysis von den reellen zu den komplexen Zahlen überzugehen (siehe auch komplexe Analysis), also die Funktionen über einem größeren Zahlenbereich zu studieren. Ein Beispiel ist die Analyse der Fibonacci-Zahlen ${\displaystyle 0,1,1,2,3,5,8,13,21,\dots }$, deren Bildungsgesetz vorschreibt, dass eine neue Zahl stets aus der Summe der beiden vorangehenden entstehen soll. Ansatz der analytischen Zahlentheorie ist die Bildung der erzeugenden Funktion

${\displaystyle F(x)=0+1x+1x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+8x^{6}+13x^{7}+\dotsb ,}$

also eines „unendlich langen“ Polynoms (einer sog. Potenzreihe), dessen Koeffizienten genau die Fibonacci-Zahlen sind. Für hinreichend kleine Zahlen ${\displaystyle x}$ ist dieser Ausdruck sinnvoll, weil die Potenzen ${\displaystyle x^{n}}$ dann viel schneller gegen 0 gehen als die Fibonacci-Zahlen gegen Unendlich, womit sich langfristig alles bei einem endlichen Wert einpendelt. Es ist für diese Werte möglich, die Funktion ${\displaystyle F}$ explizit zu berechnen durch

${\displaystyle F(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}.}$

Das Nennerpolynom ${\displaystyle 1-x-x^{2}}$ „spiegelt“ dabei genau das Verhalten ${\displaystyle f_{n}-f_{n-1}-f_{n-2}=0}$ der Fibonacci-Zahlen ${\displaystyle f_{n}}$ „wider“ – es ergibt sich in der Tat ${\displaystyle F(x)-xF(x)-x^{2}F(x)=x}$ durch termweises Verrechnen. Mit Hilfe der Differentialrechnung lässt sich andererseits zeigen, dass die Funktion ${\displaystyle F}$ ausreicht, um die Fibonacci-Zahlen (ihre Koeffizienten) eindeutig zu charakterisieren. Da es sich aber um eine schlichte rationale Funktion handelt, lässt sich dadurch die für jede Fibonacci-Zahl ${\displaystyle f_{n}}$ gültige exakte Formel

${\displaystyle f_{n}={\frac {\Phi ^{n}-\left(-{\frac {1}{\Phi }}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}}$

mit dem goldenen Schnitt ${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ herleiten, wenn ${\displaystyle f_{0}=0,f_{1}=1}$ und ${\displaystyle f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}}$ gesetzt wird. Die exakte Formel vermag eine Fibonacci-Zahl zu berechnen, ohne die vorherigen zu kennen. Der Schluss wird über einen sog. Koeffizientenvergleich gezogen und nutzt aus, dass das Polynom ${\displaystyle x^{2}+x-1}$ als Nullstellen ${\displaystyle -\Phi }$ und ${\displaystyle {\tfrac {1}{\Phi }}}$ besitzt.[10]

Die Differentialrechnung kann auf den Fall „höherdimensionaler Funktionen“ verallgemeinert werden. Damit ist gemeint, dass sowohl Eingabe- als auch Ausgabewerte der Funktion nicht bloß Teil des eindimensionalen reellen Zahlenstrahls, sondern auch Punkte eines höherdimensionalen Raums sind. Ein Beispiel ist die Vorschrift

${\displaystyle \left({x \atop y}\right)\mapsto \left({x^{2}+y^{2} \atop x^{2}-2y}\right)}$

zwischen jeweils zweidimensionalen Räumen. Das Funktionsverständnis als Tabelle bleibt hier identisch, nur dass diese mit „vier Spalten“ ${\displaystyle (x,y,x^{2}+y^{2},x^{2}-2y)}$ „deutlich mehr“ Einträge besitzt. Auch mehrdimensionale Abbildungen können in manchen Fällen an einem Punkt linearisiert werden. Allerdings ist dabei nun angemessen zu beachten, dass es sowohl mehrere Eingabedimensionen als auch mehrere Ausgabedimensionen geben kann: Der korrekte Verallgemeinerungsweg liegt darin, dass die Linearisierung in jeder Komponente der Ausgabe jede Variable auf lineare Weise berücksichtigt. Das zieht für obere Beispielfunktion eine Approximation der Form

${\displaystyle f(x,y):=\left({x^{2}+y^{2} \atop x^{2}-2y}\right)\approx \left({m_{1}(x-x_{0})+m_{2}(y-y_{0})+c_{1} \atop m_{3}(x-x_{0})+m_{4}(y-y_{0})+c_{2}}\right)}$

nach sich. Diese ahmt dann die gesamte Funktion in der Nähe der Eingabe ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ sehr gut nach.[11] In jeder Komponente wird demnach für jede Variable eine „Steigung“ angegeben – diese wird dann das lokale Verhalten der Komponentenfunktion bei kleiner Änderung in dieser Variablen messen. Diese Steigung wird auch als partielle Ableitung bezeichnet.[12] Die korrekten konstanten Abschnitte ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ berechnen sich exemplarisch durch ${\displaystyle c_{1}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}$ bzw. ${\displaystyle c_{2}=x_{0}^{2}-2y_{0}}$. Wie auch im eindimensionalen Fall hängen die Steigungen (hier ${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3},m_{4}}$) stark von der Wahl des Punktes (hier ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$) ab, an dem abgeleitet wird. Die Ableitung ist demnach keine Zahl mehr, sondern ein Verband aus mehreren Zahlen – in diesem Beispiel sind es vier – und diese Zahlen sind im Regelfall bei allen Eingaben unterschiedlich. Es wird allgemein für die Ableitung auch

${\displaystyle f'(x_{0},y_{0})={\begin{pmatrix}m_{1}&m_{2}\\m_{3}&m_{4}\end{pmatrix}}}$

geschrieben, womit alle „Steigungen“ in einer sog. Matrix versammelt sind. Man bezeichnet diesen Term auch als Jacobi-Matrix oder Funktionalmatrix.[13]

Beispiel: Wird oben ${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(1,0)}$ gesetzt, so kann man zeigen, dass folgende lineare Approximation bei sehr kleinen Änderungen von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ sehr gut ist:

${\displaystyle f(x,y)=\left({x^{2}+y^{2} \atop x^{2}-2y}\right)\approx \left({2x-1 \atop 2x-2y-1}\right).}$

Zum Beispiel gilt

${\displaystyle f(1{,}003;0{,}002)=\left({1{,}006013 \atop 1{,}002009}\right)}$

und

${\displaystyle \left({2\cdot 1{,}003-1 \atop 2\cdot 1{,}003-2\cdot 0{,}002-1}\right)=\left({1{,}006 \atop 1{,}002}\right).}$

Hat man im ganz allgemeinen Fall ${\displaystyle n}$ Variablen und ${\displaystyle m}$ Ausgabekomponenten, so gibt es kombinatorisch gesehen insgesamt ${\displaystyle n\cdot m}$ „Steigungen“, also partielle Ableitungen. Im klassischen Fall ${\displaystyle n=m=1}$ gibt es wegen ${\displaystyle 1\cdot 1=1}$ eine Steigung ${\displaystyle f'(x_{0})}$ und im oberen Beispiel ${\displaystyle n=m=2}$ sind es ${\displaystyle 2\cdot 2=4}$ „Steigungen“.[14]

Ausgangspunkt für die Definition der Ableitung ist die Näherung der Tangentensteigung durch eine Sekantensteigung (manchmal auch Sehnensteigung genannt). Gesucht sei die Steigung einer Funktion ${\displaystyle f}$ in einem Punkt ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$. Man berechnet zunächst die Steigung der Sekante an ${\displaystyle f}$ über einem endlichen Intervall ${\displaystyle [x_{0},x_{0}+\Delta x]}$ der Länge ${\displaystyle \Delta x}$:

Sekantensteigung = ${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{(x_{0}+\Delta x)-x_{0}}}={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}$.

Die Sekantensteigung ist also der Quotient zweier Differenzen; sie wird deshalb auch Differenzenquotient genannt. Mit der Kurznotation ${\displaystyle \Delta y}$ für ${\displaystyle f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}$ kann man die Sekantensteigung abgekürzt als ${\displaystyle {\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}}$ schreiben. Der Ausdruck ${\displaystyle \Delta x}$ verdeutlicht also die beliebig klein werdende Differenz zwischen der Stelle, an der abgeleitet werden soll, und einem benachbarten Punkt. In der Literatur wird jedoch, wie auch im Folgenden, in vielen Fällen aus Gründen der Einfachheit das Symbol ${\displaystyle h}$ statt ${\displaystyle \Delta x}$ verwendet.

Um eine Tangentensteigung zu berechnen, muss man die beiden Punkte, durch die die Sekante gezogen wird, immer weiter aneinander rücken. Dabei gehen sowohl ${\displaystyle \Delta x}$ als auch ${\displaystyle \Delta y}$ gegen Null. Der Quotient ${\displaystyle {\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}}$ bleibt aber in vielen Fällen endlich. Auf diesem Grenzübergang beruht die folgende Definition.

Definition der Ableitung über die h-Methode: Zu den jeweiligen h-Werten sind die dazugehörigen Sekanten eingezeichnet. Für ${\displaystyle h\to 0}$ geht die Sekante in die Tangente und somit die Sekantensteigung (Differenzenquotient) in die Tangentensteigung (Ableitung) über.

Die Sekantensteigungen gehen für ${\displaystyle x_{n}\to {\tilde {x}}}$ in die Steigung der Tangente (und damit in die Ableitung) an der Stelle ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ über. Es gilt ${\displaystyle \lim _{x_{n}\to {\tilde {x}}}{\frac {f(x_{n})-f({\tilde {x}})}{x_{n}-{\tilde {x}}}}=f'({\tilde {x}})}$.

Eine Funktion ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$, die ein offenes Intervall ${\displaystyle U}$ in die reellen Zahlen abbildet, heißt differenzierbar an der Stelle ${\displaystyle x_{0}\in U}$, falls der Grenzwert

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$   (mit ${\displaystyle h=x-x_{0}}$)

existiert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von ${\displaystyle f}$ nach ${\displaystyle x}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ und wird als

${\displaystyle f'(x_{0})}$   oder   ${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{0}}}$   oder   ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})}$   oder   ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x_{0})}$

notiert.[25][26] Gesprochen werden diese Notationen als „f Strich von x null“, „d f von x nach d x an der Stelle x gleich x null“, „d f nach d x von x null“ respektive „d nach d x von f von x null“. Im später folgenden Abschnitt Notationen werden noch weitere Varianten angeführt, um die Ableitung einer Funktion zu notieren.

Im Laufe der Zeit wurde folgende gleichwertige Definition gefunden, die sich im allgemeineren Kontext komplexer oder mehrdimensionaler Funktionen als leistungsfähiger erwiesen hat: Eine Funktion heißt an einer Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ differenzierbar, falls eine Konstante ${\displaystyle L}$ existiert, sodass

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})-Lh}{h}}=0.}$

Der Zuwachs der Funktion ${\displaystyle f}$, wenn man sich von ${\displaystyle x_{0}}$ nur wenig entfernt, etwa um den Wert ${\displaystyle h}$, lässt sich also durch ${\displaystyle Lh}$ sehr gut approximieren. Man nennt deshalb die lineare Funktion ${\displaystyle g\colon x\mapsto f(x_{0})+L(x-x_{0})}$, für die also ${\displaystyle g(x_{0}+h)=f(x_{0})+Lh}$ für alle ${\displaystyle h}$ gilt, auch die Linearisierung von ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$.[27]

Eine weitere Definition ist: Es gibt eine an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ stetige Funktion ${\displaystyle r}$ mit ${\displaystyle r(x_{0})=0}$ und eine Konstante ${\displaystyle L}$, sodass für alle ${\displaystyle x}$ gilt

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+L(x-x_{0})+r(x)(x-x_{0})}$.

Die Bedingungen ${\displaystyle r(x_{0})=0}$ und dass ${\displaystyle r}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ stetig ist, bedeuten gerade, dass das „Restglied“ ${\displaystyle r(x)}$ für ${\displaystyle x}$ gegen ${\displaystyle x_{0}}$ gegen ${\displaystyle 0}$ konvergiert.[27]

In beiden Fällen ist die Konstante ${\displaystyle L}$ eindeutig bestimmt und es gilt ${\displaystyle f'(x_{0})=L}$. Der Vorteil dieser Formulierung ist, dass Beweise einfacher zu führen sind, da kein Quotient betrachtet werden muss. Diese Darstellung der besten linearen Approximation wurde schon von Karl Weierstraß, Henri Cartan und Jean Dieudonné konsequent angewandt und wird auch Weierstraßsche Zerlegungsformel genannt.

Bezeichnet man eine Funktion als differenzierbar, ohne sich auf eine bestimmte Stelle zu beziehen, dann bedeutet dies die Differenzierbarkeit an jeder Stelle des Definitionsbereiches, also die Existenz einer eindeutigen Tangente für jeden Punkt des Graphen.

Jede differenzierbare Funktion ist stetig, die Umkehrung gilt jedoch nicht.[27] Noch Anfang des 19. Jahrhunderts war man überzeugt, dass eine stetige Funktion höchstens an wenigen Stellen nicht differenzierbar sein könne (wie die Betragsfunktion). Bernard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker tatsächlich eine Funktion, die später Bolzanofunktion genannt wurde, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, was in der Fachwelt allerdings nicht bekannt wurde. Karl Weierstraß fand dann in den 1860er Jahren ebenfalls eine derartige Funktion (siehe Weierstraß-Funktion), was diesmal unter Mathematikern Wellen schlug. Ein bekanntes mehrdimensionales Beispiel für eine stetige, nicht differenzierbare Funktion ist die von Helge von Koch 1904 vorgestellte Koch-Kurve.[28]

Die Ableitung an verschiedenen Stellen einer differenzierbaren Funktion

Die Ableitung der Funktion ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$, bezeichnet mit ${\displaystyle f'(x_{0})}$, beschreibt lokal das Verhalten der Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle ${\displaystyle x_{0}}$. In einigen Fällen ist es möglich, an jedem Punkt des Funktionsgraphen eine Linearisierung vorzunehmen. Dies erlaubt die Definition einer Ableitungsfunktion (oder kurz Ableitung) ${\displaystyle f'\colon U\to \mathbb {R} }$, die jedem Element des Definitionsbereichs ${\displaystyle U}$ der Ausgangsfunktion ${\displaystyle f}$ die Steigung der dortigen Linearisierung zuordnet. Man sagt in diesem Falle, „${\displaystyle f}$ ist in ${\displaystyle U}$ differenzierbar“.[29]

Beispielsweise hat die Quadratfunktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ an einer beliebigen Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ die Ableitung ${\displaystyle f'(x_{0})=2x_{0},}$ die Quadratfunktion ist also auf der Menge der reellen Zahlen differenzierbar. Die zugehörige Ableitungsfunktion ${\displaystyle f'}$ ist gegeben durch ${\displaystyle f'\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f'(x)=2x}$.

Die Ableitungsfunktion ist im Normalfall eine andere Funktion als die ursprünglich betrachtete. Einzige Ausnahme sind die Vielfachen ${\displaystyle x\mapsto k\cdot e^{x}}$ der natürlichen Exponentialfunktion mit beliebigem ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$ – unter denen, wie die Wahl ${\displaystyle k=e^{-a}}$ zeigt, auch alle Funktionen ${\displaystyle x\mapsto e^{x-a}}$ mit beliebigem ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ enthalten sind (deren Graph aus dem der Exponentialfunktion ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$ durch „seitliche“ Verschiebung um ${\displaystyle a}$ entsteht und zu diesem daher kongruent ist).

Ist die Ableitung stetig, dann heißt ${\displaystyle f}$ stetig differenzierbar. In Anlehnung an die Bezeichnung ${\displaystyle C(U)}$ für die Gesamtheit (den Raum) der stetigen Funktionen mit Definitionsmenge ${\displaystyle U}$ wird der Raum der auf ${\displaystyle U}$ stetig differenzierbaren Funktionen mit ${\displaystyle C^{1}(U)}$ abgekürzt.[30]

Geschichtlich bedingt gibt es unterschiedliche Notationen, um die Ableitung einer Funktion darzustellen.

In diesem Artikel wurde bisher hauptsächlich die Notation ${\displaystyle f'}$ für die Ableitung von ${\displaystyle f}$ verwendet. Diese Notation geht auf den Mathematiker Joseph-Louis Lagrange zurück, der sie 1797 einführte.[31] Bei dieser Notation wird die zweite Ableitung von ${\displaystyle f}$ mit ${\displaystyle f''}$ und die ${\displaystyle n}$-te Ableitung mittels ${\displaystyle f^{(n)}}$ bezeichnet.

Isaac Newton – neben Leibniz der Begründer der Differentialrechnung – notierte die erste Ableitung von ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle {\dot {x}}}$, entsprechend notierte er die zweite Ableitung durch ${\displaystyle {\ddot {x}}}$.[32] Heutzutage wird diese Schreibweise häufig in der Physik, insbesondere in der Mechanik, für die Ableitung nach der Zeit verwendet.[33]

Gottfried Wilhelm Leibniz führte für die erste Ableitung von ${\displaystyle f}$ (nach der Variablen ${\displaystyle x}$) die Notation ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}}$ ein.[34] Gelesen wird dieser Ausdruck als „d f von x nach d x“. Für die zweite Ableitung notierte Leibniz ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}f(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}}$ und die ${\displaystyle n}$-te Ableitung wird mittels ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{n}f(x)}{\mathrm {d} x^{n}}}}$ bezeichnet.[35] Bei der Schreibweise von Leibniz handelt es sich nicht um einen Bruch. Die Symbole ${\displaystyle \mathrm {d} f(x)}$ und ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ werden „Differentiale“ genannt, haben aber in der modernen Differentialrechnung (abgesehen von der Theorie der Differentialformen) lediglich eine symbolische Bedeutung und sind nur in dieser Schreibweise als formaler Differentialquotient erlaubt. In manchen Anwendungen (Kettenregel, Integration mancher Differentialgleichungen, Integration durch Substitution) rechnet man mit ihnen aber so, als wären sie gewöhnliche Terme.

Die Notation ${\displaystyle \mathrm {D} f}$ oder ${\displaystyle \mathrm {D} _{x}f(x)}$ für die erste Ableitung von ${\displaystyle f}$ geht auf Leonhard Euler zurück. Dabei wird die Ableitung als Operator – also als eine besondere Funktion, die selbst auf Funktionen arbeitet, aufgefasst. Diese Idee geht auf den Mathematiker Louis François Antoine Arbogast zurück. Die zweite Ableitung wird in dieser Notation mittels ${\displaystyle \mathrm {D} ^{2}f}$ oder ${\displaystyle \mathrm {D} _{x}^{2}f(x)}$ und die ${\displaystyle n}$-te Ableitung durch ${\displaystyle \mathrm {D} ^{n}f}$ oder ${\displaystyle \mathrm {D} _{x}^{n}f(x)}$ dargestellt.[36]

Für die Berechnung der Ableitungsfunktion einer elementaren Funktion an einer vorgesehenen Stelle ${\displaystyle x}$ wird der zugehörige Differenzenquotient gebildet, der in der Umgebung ${\displaystyle x+h}$ mit ${\displaystyle h\neq 0}$ gültig ist, und dann wird der Grenzübergang ${\displaystyle h\to 0}$ vollzogen.

Der Fall ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ist bereits weiter oben behandelt worden. Der zugehörige Differenzenquotient ergibt sich zu

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}={\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}.}$

Wenn ${\displaystyle h\neq 0}$ ist, lässt sich ${\displaystyle h}$ kürzen,

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}=2x+h,}$

und die Annäherung ${\displaystyle h\to 0}$ führt auf

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}=2x.}$

Allgemein für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ mit ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ wird der binomische Lehrsatz herangezogen:

${\displaystyle (x+h)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k}=x^{n}+nhx^{n-1}+h^{2}g_{n}(x,h).}$

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}={\frac {x^{n}+nhx^{n-1}+h^{2}g_{n}(x,h)-x^{n}}{h}}=nx^{n-1}+hg_{n}(x,h).}$

Wenn ${\displaystyle (x+h)^{n}}$ für alle endlichen Werte von ${\displaystyle h}$ endlich ist, ist auch ${\displaystyle g_{n}(x,h)}$ endlich. Der in der letzten Gleichung vor ${\displaystyle g_{n}(x,h)}$ stehende Faktor ${\displaystyle h}$ führt auf ${\displaystyle hg_{n}(x,h){\overset {h\to 0}{\longrightarrow }}0}$. Damit entsteht

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}=nx^{n-1}}$

Zwei Ergänzungen:

1. Ein konstanter Summand ${\displaystyle m}$ in ${\displaystyle \quad f(x)=x^{n}+m\quad }$ kürzt sich in ${\displaystyle f(x+h)-f(x)}$ heraus, noch bevor der Grenzübergang vollzogen wird.
2. Ein konstanter Faktor ${\displaystyle m}$ in ${\displaystyle \quad f(x)=m\,x^{n}\quad }$ kann in ${\displaystyle f(x+h)-f(x)}$ ausgeklammert und vor den Bruch gezogen werden.

Graph der Exponentialfunktion ${\displaystyle y=\mathrm {e} ^{x}}$ (rot) mit der Tangente (der hellblau gestrichelten Linie) durch den Punkt (0,1)

Mit der Exponentialfunktion ${\displaystyle f(x)=a^{x}=\exp _{a}x}$ ergibt sich der Differenzenquotient

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}={\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}}$

Für jedes ${\displaystyle a>0}$ gilt

${\displaystyle a^{x+h}=a^{x}\cdot a^{h}.}$

Damit kann im Zähler ${\displaystyle a^{x}}$ ausgeklammert werden.

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}=a^{x}\,{\frac {a^{h}-1}{h}}.}$

Mit dem oben hergeleiteten Grenzübergang

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=\ln a}$

entsteht

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}=a^{x}\,\ln a.}$

Darin ist ${\displaystyle \ln a=\log _{\mathrm {e} }a}$ der natürliche Logarithmus von ${\displaystyle a}$. Speziell für die Eulersche Zahl ${\displaystyle \mathrm {e} }$ ist ${\displaystyle \ln \mathrm {e} =1}$. Damit entsteht die auszeichnende Zusatzeigenschaft

${\displaystyle \exp '_{\mathrm {e} }x=\exp _{\mathrm {e} }x.}$

Mit der Logarithmusfunktion ${\displaystyle f(x)=\log _{a}x}$ zur Basis ${\displaystyle a>0,\ a\neq 1}$ ergibt sich der Differenzenquotient

Der Logarithmus von ${\displaystyle x}$ (hier der natürliche Logarithmus ${\displaystyle \ln x}$) existiert nur bei ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}x}{(x+h)-x}}={\frac {\log _{a}\left(x\cdot (1+{\frac {h}{x}})\right)-\log _{a}x}{h}}}$

Für jedes ${\displaystyle a>0}$ gilt

${\displaystyle \log _{a}(u\cdot v)=\log _{a}u+\log _{a}v.}$

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {\log _{a}x+\log _{a}(1+{\frac {h}{x}})-\log _{a}x}{h}}={\frac {\log _{a}(1+{\frac {h}{x}})}{{\frac {h}{x}}\;x}}.}$

Mit dem oben hergeleiteten Grenzübergang

${\displaystyle \lim _{u\to 0}{\frac {\log(1+u)}{u}}=\log \mathrm {e} }$

und mit der Basisumrechnung ${\displaystyle \log _{a}\mathrm {e} ={\frac {1}{\log _{\mathrm {e} }a}}}$ entsteht

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {1}{x}}\,\log _{a}\mathrm {e} ={\frac {1}{x\,\ln a}}}$