Differenzenmenge

• Ist ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ eine Differenzenmenge der Ordnung ${\displaystyle n}$, dann sind auch die ${\displaystyle n^{2}+n+1}$ verschiedenen Mengen ${\displaystyle {\mathcal {D}}+i=\{d+i\mod (n^{2}+n+1)|d\in {\mathcal {D}}\}}$ für beliebige ${\displaystyle i\in \{0,1,2,\ldots ,n^{2}+n\}}$ solche Differenzenmengen.
• Jede Differenzenmenge ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ der Ordnung ${\displaystyle n}$ enthält genau zwei verschiedene Elemente ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ mit ${\displaystyle d_{1}+1\equiv d_{2}\mod (n^{2}+n+1).}$ Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {D}}-d_{1}=\{0,1,\ldots k_{n+1}\}}$ ebenfalls eine solche Differenzenmenge.

Singer verwendet Differenzenmengen, die 0 und 1 enthalten und deren Elemente alle in ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots ,n^{2}+n-1\}}$ liegen, als Normalformen für Differenzenmengen und bezeichnet eine solche Differenzenmenge dann als reduzierte Differenzenmenge (englisch: reduced perfect difference set).[2] Beutelspacher und Rosenbaum verwenden als Normalenform Mengen, die 1 und 2 enthalten und deren Elemente alle in ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,n^{2}+n\}}$ liegen, ohne dafür eine gesonderte Bezeichnung einzuführen.[1] Es gilt:

Falls eine Differenzenmenge der Ordnung ${\displaystyle n}$ existiert, dann existiert auch eine solche, die 0 und 1 enthält (also eine reduzierte Differenzenmenge), der Ordnung ${\displaystyle n}$.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ eine Differenzenmenge der Ordnung ${\displaystyle n\geq 2}$, dann ist die folgendermaßen definierte Geometrie ${\displaystyle \mathop {\mathrm {P} } ({\mathcal {D}})}$ eine projektive Ebene der Ordnung ${\displaystyle n}$:[1]

1. Die Punktmenge ist die Menge ${\displaystyle {\mathfrak {P}}=\{0,1,2,3,\ldots ,n^{2}+n\}\subseteq \mathbb {N} _{0}}$ von natürlichen Zahlen,
2. die Geradenmenge ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ besteht aus den Teilmengen ${\displaystyle {\mathcal {D}}+i\subseteq {\mathfrak {P}},\quad i\in \{0,1,2,\ldots ,n^{2}+n\}}$,
3. die Inzidenzrelation ${\displaystyle I\subseteq ({\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {G}})\cup ({\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {P}})}$ von ${\displaystyle \mathop {\mathrm {P} } ({\mathcal {D}})}$ ist die mengentheoretische Enthaltenrelation zusammen mit ihrer Umkehrung: ${\displaystyle I={\in \cup \ni }.}$

Man sagt dann: Die so definierte projektive Ebene ${\displaystyle \mathop {\mathrm {P} } ({\mathcal {D}})=({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},I)}$ „stammt von der Differenzenmenge ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$“ ab.

Sei ${\displaystyle \kappa }$ eine Kollineation auf einer endlichen projektiven Geometrie. Wenn ${\displaystyle \kappa }$ die Punkte und Hyperebenen der Geometrie zyklisch permutiert, das heißt im Falle einer endlichen Ebene ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},I)}$ der Ordnung ${\displaystyle n}$: wenn für beliebige ${\displaystyle A\in {\mathfrak {P}},g\in {\mathfrak {G}}}$ gilt

${\displaystyle {\begin{array}{rrclcl}(1)\quad &{\mathfrak {P}}&=&\{\kappa ^{i}(A)&|&i\in \{1,2,3,\ldots ,n^{2}+n+1\}\}\quad {\mathrm {und} }\\(2)\quad &{\mathfrak {G}}&=&\{\kappa ^{i}(g)&|&i\in \{1,2,3,\ldots ,n^{2}+n+1\}\}\end{array}}}$

dann heißt die von ${\displaystyle \kappa }$ erzeugte Kollineationsgruppe ${\displaystyle \langle \kappa \rangle }$ ein Singer-Zyklus der Geometrie, speziell der Ebene.[5]

Der Satz von Dembowski-Hughes-Parker besagt, dass eine Gruppe von Kollineationen einer projektiven Geometrie genau dann auf der Punktmenge transitiv operiert, wenn sie auf der Menge der Hyperebenen transitiv operiert.[6] Daraus folgt, dass die geforderten Eigenschaften (1) und (2) für zyklische Kollineationsgruppen auf einer Ebene äquivalent sind.

Die folgenden Aussagen werden als Satz von Singer bezeichnet:

1. Jede endliche, desarguessche, projektive Geometrie besitzt einen Singer-Zyklus. Dieser kann so gewählt werden, dass er sogar nur aus Projektivitäten besteht.[7]
2. Eine endliche projektive Ebene besitzt genau dann einen Singer-Zyklus, wenn sie isomorph zu einer von einer Differenzenmenge abstammenden Ebene ist.[8]

Ist ${\displaystyle \mathop {\mathrm {P} } ({\mathcal {D}})=({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},I)}$ eine solche Ebene in ihrer oben beschriebenen Darstellung durch die Differenzenmenge ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, dann ist

${\displaystyle \kappa$ :{\mathfrak {P}}=\{0,1,2,3,\ldots ,n^{2}+n\}\rightarrow {\mathfrak {P}};\quad x\mapsto x+1\mod (n^{2}+n+1)}

eine Kollineation der Ordnung ${\displaystyle n^{2}+n+1}$, die somit einen Singer-Zyklus erzeugt.

Jede desarguessche projektive Geometrie endlicher Ordnung ist isomorph zu einem ${\displaystyle d}$-dimensionalen projektiven Raum ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}(K)}$ über einem endlichen Körper ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{q}}$. Der Koordinatenvektorraum ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}(K)}$ ist als ${\displaystyle K}$-Vektorraum isomorph zu dem endlichen Körper ${\displaystyle L=\mathbb {F} _{q^{d+1}}}$. Die multiplikative Gruppe ${\displaystyle (L^{\ast },\cdot )}$ ist zyklisch, also existiert ein erzeugendes („primitives“) Element ${\displaystyle \xi \in L}$ dieser Gruppe, mit dem ${\displaystyle \langle \xi \rangle =L^{\ast }}$ gilt. Die Abbildung

${\displaystyle \Xi :K^{d+1}\rightarrow K^{d+1}:\quad v\mapsto \xi \cdot v}$

ist ein ${\displaystyle K}$-Vektorraumautomorphismus. Nach Wahl einer Punktbasis in ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}(K)}$ kann dieser Automorphismus als Koordinatendarstellung einer Projektivität angesehen werden. Da ${\displaystyle \Xi }$ transitiv auf ${\displaystyle V^{\ast }\cong \left(K^{d+1}\right)^{\ast }}$ operiert, operiert auch die dadurch dargestellte Projektivität transitiv auf der Punktmenge von ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}(K)}$ und erzeugt daher einen Singer-Zyklus dieser projektiven Geometrie.