Differente

Es sei ${\displaystyle K}$ ein Zahlkörper und ${\displaystyle S:K\to \mathbb {Q} }$ die Spur. Dann ist ${\displaystyle M^{\star }=\{{\widetilde {\omega }}\in K;\,S({\widetilde {\omega }}M)\subset \mathbb {Z} \}}$ das duale Gitter von ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle K}$ bezüglich der nicht ausgearteten ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Bilinearform ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =S(\alpha \beta )}$ mit ${\displaystyle \alpha ,\beta \in K}$. Die duale Basis besitzt bezüglich der Basis ${\displaystyle \omega _{i}}$ des Gitters ${\displaystyle M}$ die Kronecker-Eigenschaft ${\displaystyle S(\omega _{i}{\widetilde {\omega }}_{j})=\delta _{ij}}$. Weiterhin bezeichnet ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{-1}}$ das Inverse eines Ideals ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$.

Die Differente eines Zahlkörpers ${\displaystyle K}$ ist definiert als ${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{K}=({\mathcal {O}}^{\star })^{-1}}$, wobei ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ der Ganzheitsring (die Hauptordnung ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$) des Zahlkörpers ist.

Die Absolutnorm der Differente eines algebraischen Zahlkörpers ist gleich dem Betrag der Diskriminante

${\displaystyle {\mathfrak {N}}({\mathfrak {D}}_{K})=|d_{K}|}$.

Für den Zahlkörper ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})}$ ist der Ganzheitsring ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ die gaußischen Zahlen mit der ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Basis ${\displaystyle (1,{\sqrt {-1}})}$. Das dazu duale Gitter besitzt die ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Basis ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},-{\frac {\sqrt {-1}}{2}}\right)}$ dessen gebrochenes Ideal sich zu ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1)}$ bestimmen lässt. Trivialerweise ist das inverse Ideal dazu ${\displaystyle (2)}$ was ein Hauptideal ist, für das gilt ${\displaystyle {\mathfrak {N}}(\,(2)\,)=N_{K/\mathbb {Q} }(2)=4}$ oder man kann die Restklassen zu ${\displaystyle 0,1,{\sqrt {-1}}}$ und ${\displaystyle 1+{\sqrt {-1}}}$ bestimmen. Dieses Ergebnis entspricht auch wie zu erwarten der Diskriminante des Zahlkörper ${\displaystyle |d_{K}|=4}$.

• Armin Leutbecher: Zahlentheorie, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58791-0.