Diagonaler Schnitt

Es sei ${\displaystyle \kappa }$ eine Kardinalzahl und ${\displaystyle (X_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$ eine Familie von Mengen ${\displaystyle X_{\alpha }\subset \kappa }$. Dann heißt

${\displaystyle \Delta _{\alpha <\kappa }X_{\alpha }\,=\,\{\xi <\kappa$ ;\,\xi \in \bigcap _{\alpha <\xi }X_{\alpha }\}}

der diagonale Schnitt der Familie ${\displaystyle (X_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$.

Der diagonale Schnitt enthält genau die Elemente der Diagonalen, die auch in der Relation ${\displaystyle R}$ liegen.

Es mögen die Daten obiger Definition vorliegen. Natürlich ist der Durchschnitt im diagonalen Schnitt enthalten, das heißt, es gilt ${\displaystyle \bigcap _{\alpha <\kappa }X_{\alpha }\subset \Delta _{\alpha <\kappa }X_{\alpha }}$, denn ist ${\displaystyle \xi <\kappa }$ in jeder der Mengen ${\displaystyle X_{\alpha }}$ enthalten, so erst recht in ${\displaystyle \bigcap _{\alpha <\xi }X_{\alpha }}$, und das ist genau die definierende Bedingung für die Zugehörigkeit von ${\displaystyle \xi }$ zu ${\displaystyle \Delta _{\alpha <\kappa }X_{\alpha }}$.

Setzt man ${\displaystyle Y_{\xi }:=\bigcap _{\alpha <\xi }X_{\alpha }}$, so ist ${\displaystyle \xi \mapsto Y_{\xi }}$ eine fallende Funktion ${\displaystyle \kappa \rightarrow P(\kappa )}$, wobei ${\displaystyle P}$ für die Potenzmenge steht, das heißt, aus ${\displaystyle \xi <\eta }$ folgt ${\displaystyle Y_{\xi }\supset Y_{\eta }}$. Nach Definition ist ${\displaystyle \xi \in Y_{\xi }}$ äquivalent zu ${\displaystyle \xi \in \Delta _{\alpha <\kappa }X_{\alpha }}$. Auf dem kartesischen Produkt ${\displaystyle \kappa \times \kappa }$ definiere die Relation ${\displaystyle R:=\{(\xi ,\eta );\,\xi \in Y_{\eta }\}}$ und die Diagonale ${\displaystyle d:\kappa \rightarrow \kappa \times \kappa ,\,\xi \mapsto (\xi ,\xi )}$. Dann ist der diagonale Schnitt genau die Menge derjenigen Ordinalzahlen ${\displaystyle \xi }$, für die das Diagonalelement ${\displaystyle (\xi ,\xi )}$ in ${\displaystyle R}$ liegt:

${\displaystyle \Delta _{\alpha <\kappa }X_{\alpha }=d^{-1}(R)=\{\xi <\kappa$ ;\,\xi \in Y_{\xi }\}} .

Die Mitgliedschaft von ${\displaystyle \xi }$ zum diagonalen Durchschnitt hängt nur von der Mitgliedschaft in den ersten ${\displaystyle X_{\alpha },\alpha <\xi }$ ab. Das wird in der folgenden Formel besonders deutlich:

${\displaystyle \Delta _{\alpha <\kappa }X_{\alpha }=\bigcap _{\alpha }(X_{\alpha }\cup \{\xi$ ;\xi \leq \alpha \})}

Um zu demonstrieren, wie der hier vorgestellte Begriff funktioniert, soll folgende einfache Aussage bewiesen werden:

• Es sei ${\displaystyle \kappa }$ eine Kardinalzahl und für eine Ordinalzahl ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ sei ${\displaystyle X_{\alpha }:=\{\xi <\kappa$ ;\,\alpha +1<\xi <\kappa \}} . Dann gilt

${\displaystyle \Delta _{\alpha <\kappa }X_{\alpha }=\{\xi <\kappa$ ;\,\xi {\text{ ist eine Limes-Ordinalzahl}}\}}

Beweis: „${\displaystyle \subset }$“: Ist ${\displaystyle \xi \in \Delta _{\alpha <\kappa }X_{\alpha }}$, so ist ${\displaystyle \xi \in \bigcap _{\alpha <\xi }X_{\alpha }}$, also ${\displaystyle \xi \in X_{\alpha }}$ für alle ${\displaystyle \alpha <\xi }$. Für alle ${\displaystyle \alpha <\xi }$ gilt also ${\displaystyle \alpha +1<\xi }$, daher ist ${\displaystyle \xi =\sup _{\xi <\alpha }\alpha }$ eine Limes-Ordinalzahl.

„${\displaystyle \supset }$“: Ist umgekehrt ${\displaystyle \xi =\sup _{\alpha <\xi }\alpha }$ eine Limes-Ordinalzahl, so ist ${\displaystyle \alpha +1<\xi }$ für alle ${\displaystyle \alpha <\xi }$ und daher ${\displaystyle \xi \in \bigcap _{\alpha <\xi }X_{\alpha }}$, was genau die definierende Bedingung für ${\displaystyle \xi \in \Delta _{\alpha <\kappa }X_{\alpha }}$ ist.

Der diagonale Schnitt findet besonders in der Untersuchung überabzählbarer regulärer Kardinalzahlen Anwendung. Ein Filter auf einer Kardinalzahl ${\displaystyle \kappa }$ heißt normal, wenn er gegenüber der Bildung diagonaler Schnitte abgeschlossen ist, das heißt, ${\displaystyle \Delta _{\alpha <\kappa }X_{\alpha }}$ ist wieder Element des Filters, wenn alle ${\displaystyle X_{\alpha }}$ es sind. So ist etwa der club-Filter auf einer überabzählbaren regulären Kardinalzahl normal. Diese Tatsache wird zum Beispiel im Satz von Fodor verwendet.

Der zum diagonalen Schnitt duale Begriff ist die diagonale Vereinigung. Ist ${\displaystyle \kappa }$ eine Kardinalzahl und ${\displaystyle (X_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$ eine Familie von Mengen ${\displaystyle X_{\alpha }\subset \kappa }$, so heißt

${\displaystyle \Sigma _{\alpha <\kappa }X_{\alpha }:=\{\xi <\kappa$ ;\,\xi \in \bigcup _{\alpha <\xi }X_{\alpha }\}}

die diagonale Vereinigung der Mengenfamilie ${\displaystyle (X_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$.

Die Definition ist gerade so angelegt, dass ${\displaystyle \kappa \setminus \Sigma _{\alpha <\kappa }X_{\alpha }=\Delta _{\alpha <\kappa }(\kappa \setminus X_{\alpha })}$ gilt.

• Thomas Jech: Set Theory. 3. millenium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2, Kapitel 8.