Determiniertheitsaxiom

${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ist die Menge aller unendlichen Folgen natürlicher Zahlen, der Baire-Raum. Ist ${\displaystyle A}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$, so definiert ${\displaystyle A}$ ein Spiel ${\displaystyle \mathrm {G} _{A}}$ zwischen zwei Spielern, die mit I und II bezeichnet seien: I beginnt und wählt eine natürliche Zahl ${\displaystyle a_{0}}$, dann wählt II eine Zahl ${\displaystyle b_{0}}$, anschließend wählt I wieder eine Zahl ${\displaystyle a_{1}}$ und so weiter. Nach unendlich vielen Wahlen entsteht eine Folge ${\displaystyle \langle a_{0},b_{0},a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots \rangle }$. Liegt diese Folge in ${\displaystyle A}$, so hat Spieler I gewonnen, im anderen Fall Spieler II.

Eine Strategie eines Spielers ist eine Regel, die einen Zug (abhängig von der endlichen Folge der bereits gewählten Zahlen) festlegt. Die Menge der endlichen Folgen wird mit ${\displaystyle \omega ^{<\omega }}$ notiert. Somit ist eine Strategie eine Funktion ${\displaystyle \omega ^{<\omega }\to \omega }$. Eine Strategie ist eine Gewinnstrategie, wenn der Spieler, der ihr folgt, immer gewinnt. Das Spiel ${\displaystyle \mathrm {G} _{A}}$ ist determiniert, wenn es für einen der beiden Spieler eine Gewinnstrategie gibt.

Das Axiom der Determiniertheit sagt, dass das Spiel ${\displaystyle \mathrm {G} _{A}}$ für jede Teilmenge ${\displaystyle A}$ von ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ determiniert ist.

Um obigen eher informellen Zugang zu formalisieren, geht man von einer Strategie der Spielpartner aus. Spieler I bestimmt die erste Zahl der Folge, die dritte, die fünfte und so weiter. Eine Strategie für den Spieler I ist daher eine Funktion

${\displaystyle \sigma \colon \omega ^{<\omega }\to \omega }$.

Ist also ${\displaystyle \sigma }$ eine solche Funktion, so spielt Spieler I zuerst ${\displaystyle a_{0}:=\sigma \langle \rangle }$. Spielt dann Spieler II im nächsten Zug ${\displaystyle b_{0}}$, so spielt Spieler I anschließend ${\displaystyle \sigma \langle a_{0},b_{0}\rangle }$ und so weiter.

Die Zugfolge, die durch die von Spieler I festgelegte Strategie ${\displaystyle \sigma }$ und die von Spieler II gewählten Züge ${\displaystyle b=\langle b_{0},\ldots \rangle }$ bestimmt ist, wird mit ${\displaystyle \sigma *b}$ bezeichnet.

${\displaystyle \sigma }$ ist nun für Spieler I im Spiel ${\displaystyle \mathrm {G} _{A}}$ eine Gewinnstrategie, wenn er immer gewinnt, wenn also ${\displaystyle \{\sigma *b|b\in \omega ^{\omega }\}\subset A}$.

Analog wird eine Gewinnstrategie für Spieler II definiert.

Das Axiom der Determiniertheit lautet nun:

• Ist ${\displaystyle A}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$, so besitzt entweder Spieler I oder Spieler II für das Spiel ${\displaystyle \mathrm {G} _{A}}$ eine Gewinnstrategie.

Da die Mächtigkeit aller Strategien ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ist, kann man mit dem Auswahlaxiom durch ein Diagonalargument zeigen, dass es eine Menge ${\displaystyle A}$ gibt, sodass ${\displaystyle \mathrm {G} _{A}}$ nicht determiniert ist. Dazu konstruiert man ${\displaystyle A}$ so, dass es sämtliche Strategien beider Spieler widerlegt:

• Zu jeder Strategie ${\displaystyle \sigma }$ von Spieler II wählt man eine Antwort ${\displaystyle a}$ von Spieler I und definiert diesen Ausgang als Gewinn für Spieler I, d. h. ${\displaystyle \sigma *a\in A}$.
• Weiterhin wählt man für jede Strategie von Spieler I eine Antwort ${\displaystyle b}$ des zweiten Spielers und legt fest, dass für die entstehende Zugfolge ${\displaystyle \sigma *b\notin A}$ gilt.

Damit die Menge ${\displaystyle A}$ widerspruchsfrei definiert werden kann, dürfen sich die gewählten Folgen nicht wiederholen. Das ist möglich, da mit dem Auswahlaxiom eine Wohlordnung von ${\displaystyle \omega ^{\omega \times \omega }}$ (der Menge der Strategien) existiert. Die Konstruktion lässt sich als transfinite Induktion über die Menge aller Strategien der beiden Spieler durchführen.

Aus dem Axiom der Determiniertheit folgt, dass jede abzählbare Familie nichtleerer Mengen reeller Zahlen eine Auswahlfunktion besitzt.

Da sich die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$ eineindeutig auf den Raum ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ abbilden lässt, ist dafür zu zeigen, dass jede abzählbare Familie nicht leerer Mengen ${\displaystyle (A_{i})_{i\in \omega },\ A_{i}\subset \omega ^{\omega }}$ eine Auswahlfunktion besitzt. Das Spiel zu dieser Familie wird nun wie folgt definiert: Wenn der Spieler I als erstes die Zahl ${\displaystyle n}$ wählt, so gewinnt Spieler II genau dann, wenn die Folge der von ihm gewählten Zahlen ${\displaystyle \langle b_{0},\ldots \rangle }$ in ${\displaystyle A_{n}}$ liegt. Liegt ${\displaystyle \langle b_{0},\ldots ,\rangle }$ in ${\displaystyle A_{n}}$, so ist die Strategie, diese Zahlen der Reihe nach zu wählen, eine Gewinnstrategie für den Spieler II zwar nur für den Fall, dass Spieler I am Anfang ${\displaystyle n}$ wählt. Aber das zeigt, dass Spieler I keine Gewinnstrategie haben kann. Nimmt man das Axiom der Determiniertheit an, so muss also Spieler II eine Gewinnstrategie haben. Aus dieser Strategie lässt sich eine Auswahlfunktion gewinnen: Für ${\displaystyle A_{n}}$ wählt man die Folge, die Spieler II spielt, wenn Spieler I ${\displaystyle \langle n,0,0,\ldots \rangle }$ spielt.

• Aus dem Axiom der Determiniertheit folgt, dass ${\displaystyle \aleph _{1}}$ unerreichbar in ${\displaystyle L[a]}$ für jedes ${\displaystyle a\subset \omega }$ ist.

Seit den frühen 1970er Jahren wurde angenommen, dass AD ein Axiom über große Kardinalzahlen ist. Es konnte später dann unter der Voraussetzung der Existenz unendlich vieler Woodin-Kardinalzahlen mit einer messbaren Kardinalzahl über ihnen bewiesen werden, dass es ein inneres Modell gibt, in dem das Axiom der Determiniertheit gilt.

W. Hugh Woodin zeigte, dass folgende Theorien äquikonsistent sind:

• ZFC + Es gibt unendlich viele Woodin Kardinalzahlen
• ZF + AD

• Das Axiom der reellen Determiniertheit ${\displaystyle (\mathrm {AD} _{\mathbb {R} })}$ sagt aus, dass auch jedes Spiel determiniert ist, wenn die Spieler statt natürlichen Zahlen reelle Zahlen wählen dürfen. Dieses Axiom ist echt stärker als AD.
• Das Axiom der projektiven Determiniertheit wiederum fordert die Determiniertheit nur für Gewinnmengen, die eine projektive Teilmenge des Baire-Raumes ist.

• Thomas Jech: Set Theory. 3. millenium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2, S. 627 ff.
• Akihiro Kanamori: The Higher Infinite. Large Cardinals in Set Theory from the Beginnings. Springer, Berlin u. a. 1994, ISBN 3-540-57071-3 (2nd edition. ebenda 2003, ISBN 3-540-00384-3).