Delta-Methode

Die Delta-Methode ist in der asymptotischen Statistik eine Methode um die asymptotische Normalverteilung der Funktion einer asymptotisch normalverteilten Zufallsvariablen zu bestimmen.

Univariater Fall

Aussage

Wenn für eine Folge von Zufallsvariablen $X_{1},\dots ,X_{n}$ mit zwei endlichen Konstanten $\mu$ und $\sigma ^{2}\geq 0$

{{\sqrt {n}}(X_{n}-\mu ){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}

gilt, wobei ${\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}$ die Konvergenz in Verteilung bezeichnet, dann gilt für eine differenzierbare Funktion $g$ mit $g'(\mu )\neq 0$ :

{\sqrt {n}}(g(X_{n})-g(\mu )){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}(g'(\mu ))^{2})\;.

[1]

Beispiel

Es sei $X_{1},\ldots ,X_{n}$ eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert $\mu$ und Varianz $0<\sigma ^{2}<\infty$ . Für die Folge der zufälligen arithmetischen Mittel ${\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ folgt dann aus dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik

{\sqrt {n}}({\bar {X_{n}}}-\mu ){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})

.

Wenn man sich für die asymptotische Verteilung von $Y_{n}=\mathrm {e} ^{{\bar {X}}_{n}}$ interessiert, dann ist $g(x)=\mathrm {e} ^{x}$ , $g'(x)=\mathrm {e} ^{x}$ , $g'(\mu )=\mathrm {e} ^{\mu }$ und $(g'(\mu ))^{2}=\mathrm {e} ^{2\mu }$ . Die Delta-Methode ergibt dann

{\sqrt {n}}(Y_{n}-\mathrm {e} ^{\mu }){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}\mathrm {e} ^{2\mu })\;.

[2]

Verallgemeinerung

Für den Fall $g'(\mu )=0$ und $g''(\mu )\neq 0$ gibt es eine Verallgemeinerung der Delta-Methode, die Delta-Methode zweiter Ordnung, die besagt, dass

n(g(X_{n})-g(\mu )){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}\sigma ^{2}{\frac {g''(\mu )}{2}}Z^{2}\;,

wobei $Z$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.[3]

Multivariater Fall

Für eine Folge $p$ -dimensionaler Zufallsvektoren $\mathbf {X} _{1},\dots ,\mathbf {X} _{n}$ gelte

{{\sqrt {n}}(\mathbf {X} _{n}-{\boldsymbol {\mu }}){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}_{p}(\mathbf {0} ,{\boldsymbol {\Sigma }})}

mit ${\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{p}$ und einer positiv semidefiniten Matrix ${\boldsymbol {\Sigma }}\in \mathbb {R} ^{p\times p}$ . Für eine differenzierbare Funktion $g:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R}$ bezeichne $\nabla _{\boldsymbol {\mu }}$ den Spaltenvektor der partiellen Ableitungen der Funktion $g$ an der Stelle ${\boldsymbol {\mu }}$ , der komponentenweise von Null verschieden ist. Dann gilt

{\sqrt {n}}(g(\mathbf {X} _{n})-g({\boldsymbol {\mu }})){\stackrel {\text{V}}{\;\to \;}}{\mathcal {N}}\left(0,\nabla _{\boldsymbol {\mu }}^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}\nabla _{\boldsymbol {\mu }}\right)

.[4]

Funktionale Delta-Methode

Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen einer unendlich-dimensionalen Zufallsvariable (eines stochastischen Prozesses) durch die funktionale Delta-Methode.[5] Die funktionale Delta-Methode wird manchmal auch als Von-Mises-Methode bezeichnet.

Literatur

Anil K. Bera, Malabika Koley: A History of the Delta Method and Some New Results. In: Sankhya B: The Indian Journal of Statistics. Band 85, 2023, doi:10.1007/s13571-023-00305-9.
Gary W. Oehlert: A Note on the Delta Method. In: The American Statistician. Band 46, Nr. 1, 1992, S. 27–29, doi:10.1080/00031305.1992.10475842, JSTOR:2684406.
Aad W. van der Vaart: Asymptotic Statistics (= Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-78450-4, Kap. 3 Delta Method, S. 25–34.

Einzelnachweise

Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.13 Theorem (The Delta Method), S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.
Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.14 Example, S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.
Anil K. Bera, Malabika Koley: A History of the Delta Method and Some New Results. In: Sankhya B: The Indian Journal of Statistics. Band 85, 2023, S. 4, doi:10.1007/s13571-023-00305-9.
Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.15 Theorem (The Multivariate Delta Method), S. 79–80, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.
Aad W. van der Vaart: Asymptotic Statistics (= Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-78450-4, Kap. 20 Functional Delta Method, S. 291–303.

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[1] Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.13 Theorem (The Delta Method), S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.

[2] Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.14 Example, S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.

[3] Anil K. Bera, Malabika Koley: A History of the Delta Method and Some New Results. In: Sankhya B: The Indian Journal of Statistics. Band 85, 2023, S. 4, doi:10.1007/s13571-023-00305-9.

[4] Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.15 Theorem (The Multivariate Delta Method), S. 79–80, doi:10.1007/978-0-387-21736-9.

[5] Aad W. van der Vaart: Asymptotic Statistics (= Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-78450-4, Kap. 20 Functional Delta Method, S. 291–303.