Dehnviskosität

Aus kinematischer Sicht lassen sich zwei Dehnviskositäten definieren, die im Allgemeinen unabhängig voneinander sind:

${\displaystyle \eta _{\mathrm {e} ,1}={\frac {\sigma _{11}-\sigma _{33}}{\dot {\varepsilon }}}}$ wird planar genannt und beschreibt den notwendigen Druck, um das Fluid in 1-Richtung zu dehnen

und

${\displaystyle \eta _{\mathrm {e} ,2}={\frac {\sigma _{22}-\sigma _{33}}{\dot {\varepsilon }}}}$ beschreibt den notwendigen Druck, um Verformung senkrecht zur 1-Richtung zu verhindern.

mit

• ${\displaystyle \sigma _{ii}}$ die Normalspannung in der Koordinatenrichtung ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}}$ die Dehngeschwindigkeit nach Hencky, also die zeitliche Ableitung der Henky-Dehnung.

Die Koordinaten werden so gewählt, dass die größte Dehngeschwindigkeit ${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=D_{11}\geq D_{22}\geq D_{33}}$ ist.[1]

Im Allgemeinen ist die Dehnviskosität abhängig von der Art der Dehnung. Für inkompressible Fluide lassen sich die Verhältnisse der Hauptdehngeschwindigkeiten durch einen Parameter ${\displaystyle -0{,}5\leq m\leq 1}$ in Beziehung setzen

${\displaystyle D={\dot {\varepsilon }}\;\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&m&0\\0&0&-(1+m)\end{matrix}}\right)}$, d. h. ${\displaystyle D_{11}={\dot {\varepsilon }}\qquad D_{22}=m\cdot {\dot {\varepsilon }}\qquad D_{33}=-(1+m)\cdot {\dot {\varepsilon }}=-(D_{11}+D_{22})}$

und die Dehnung durch den Wert des Parameters charakterisieren.[1] Spezielle Dehnungsformen heißen

• uniaxial ${\displaystyle \quad (m=-0{,}5)}$
• equibiaxial ${\displaystyle \quad (m=1)}$
• planar ${\displaystyle \quad (m=0)}$

Die uniaxiale (einachsige) Dehnung ist die wichtigste Dehnströmungsform der Rheologie. Hierbei sind zwei Normalspannungen identisch, so dass nur eine der beiden Dehnviskositäten einen von Null verschiedenen Wert besitzt:

${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}\Rightarrow \eta _{\mathrm {e,2} }=0}$

Zweckmäßigerweise wird die uniaxiale Dehnviskosität oftmals nur als ${\displaystyle \eta _{\mathrm {e} }}$ abgekürzt: ${\displaystyle \eta _{\mathrm {e,1} }=\eta _{\mathrm {e} }}$, weiterhin findet sich aber auch der griechische Buchstabe ${\displaystyle \mu }$ als Formelzeichen.

Für newtonsche Fluide ist die uniaxiale Dehnviskosität das Dreifache der Scherviskosität ${\displaystyle \eta _{\mathrm {s} }}$, somit ergibt sich ein Trouton-Verhältnis von:

${\displaystyle {\mathit {Tr}}={\frac {\eta _{\mathrm {e} }}{\eta _{\mathrm {s} }}}=3}$

Begründet liegt dies in dem Zusammenhang zwischen Scher- und Dehnmodul für eine Querkontraktionszahl ${\displaystyle \nu =-{\frac {D_{22}}{D_{11}}}=-{\frac {m\cdot {\dot {\varepsilon }}}{\dot {\varepsilon }}}=-m=0{,}5}$, d. h. einer inkompressiblen Flüssigkeit.

Bei nicht-newtonschen Fluiden können Abweichungen von ${\displaystyle {\mathit {Tr}}=3}$ auftreten:

• bei Materialien mit Füllstoffen wird häufig eine geringeres Trouton-Verhältnis gefunden, was man als Dehnentfestigung (im englischen strain softening bezeichnet):

${\displaystyle {\mathit {Tr}}<3}$

Dieser Effekt ist technisch eher unerwünscht, da er das Verarbeitungsverhalten von Kunststoffen negativ beeinflusst.

• Materialien mit bestimmten molekularen Eigenschaften, v. a. mit Langkettenverzweigungen, weisen hingegen eine höhere Dehnviskosität auf als aus dem Trouton-Verhältnis zu erwarten wäre. Dies wird als Dehnverfestigung (engl. strain hardening) bezeichnet:

${\displaystyle {\mathit {Tr}}>3}$

Die Dehnverfestigung wirkt sich positiv auf die Kunststoffverarbeitung aus, weil sie zu einer Selbstheilung von Inhomogenitäten und damit zu einer verbesserten Prozessstabilität führen kann.

Bei der equibiaxialen Dehnung (gleichmäßig in zwei Achsen) sind beide Dehnviskositäten und damit beide Spannungen identisch:

${\displaystyle \eta _{\mathrm {e} ,1}=\eta _{\mathrm {e} ,2}=\eta _{\mathrm {e} }\Rightarrow \sigma _{11}=\sigma _{22}}$

Die equibiaxiale Dehnviskosität newtoscher Fluide ist das Sechsfache der Scherviskosität und somit ist das Trouton-Verhältnis:

${\displaystyle {\mathit {Tr}}={\frac {\eta _{\mathrm {e} }}{\eta _{\mathrm {s} }}}=6}$.

Nur bei einer planaren Dehnströmung (eben, da ${\displaystyle D_{22}=0}$) ergibt sich für die beiden Dehnviskositäten zwei unterschiedliche, von Null verschiedene Werte. Für eine newtonsche Flüssigkeit gilt:

${\displaystyle \eta _{\mathrm {e} ,1}=2\cdot \eta _{\mathrm {e} ,2}}$

${\displaystyle {\mathit {Tr_{1}}}={\frac {\eta _{\mathrm {e} ,1}}{\eta _{\mathrm {s} }}}=4}$

${\displaystyle {\mathit {Tr_{2}}}={\frac {\eta _{\mathrm {e} ,2}}{\eta _{\mathrm {s} }}}=2}$.

• Einführung der Henckydehnung: Hencky H (1928) Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen. Zeitschrift für technische Physik 9 215–220.
• Erste Beschreibungen der heute üblichen Formen von uniaxialen Dehnrheometern:
  • Konstante Probenlänge: Meissner J (1969) Rheometer for the study of mechanical properties of deformation of plastic melts under definite tensile stress. Rheologica Acta 8 (1): 78–88.
  • Konstantes Probenvolumen: Münstedt H (1979) New Universal Extensional Rheometer for Polymer Melts. Measurements on a Polystyrene Sample. Journal of Rheology 23 (4): 421–436.
• Einführung des Troutonverhältnisses: Trouton FT (1906) On the viscous traction and its relation to that of viscosity. Proc Roy Soc 77 426

1. Christopher J.S. Petrie: Extensional viscosity: A critical discussion. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 137, 2006, S. 15–23, doi:10.1016/j.jnnfm.2006.01.011.