Dedekindring

Ein Dedekindring ist ein höchstens eindimensionaler, noetherscher, normaler Integritätsring.

Manche Autoren fordern, dass Dedekindringe eindimensional sind, wodurch Körper per Definition keine Dedekindringe sind. Dies ist jedoch nicht üblich.

• Analog zur eindeutigen Zerlegung ganzer Zahlen in Primzahlen gilt für Dedekindringe, dass in ihnen jedes Ideal eine eindeutige Zerlegung in Primideale besitzt. Dedekindringe sind gerade diejenigen Integritätsringe, die ZPI-Ringe sind.
• Nulldimensionale Dedekindringe sind Körper.
• Eindimensionale lokale Dedekindringe sind genau die diskreten Bewertungsringe.
• Über einem Dedekindring ist jedes vom Nullideal verschiedene gebrochene Ideal invertierbar.
• Faktorielle Dedekindringe sind Hauptidealringe. Umgekehrt ist jeder Hauptidealring ein faktorieller Dedekindring.

• Jeder Hauptidealring (und damit auch jeder diskrete Bewertungsring) ist ein Dedekindring.
• Ist ${\displaystyle A}$ ein Hauptidealring, und ${\displaystyle L}$ eine endliche Erweiterung seines Quotientenkörpers, so ist der ganze Abschluss von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle L}$ ein Dedekindring. Insbesondere gilt das für Ganzheitsringe in Zahlkörpern, also beispielsweise ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}].}$
• Lokalisierungen von Dedekindringen sind wieder Dedekindringe.

Keine Dedekindringe sind:

• ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ (zweidimensional),
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]}$ (nicht normal),
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]/(X^{2})}$ und ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ (keine Integritätsringe),
• der Ring der algebraischen ganzen Zahlen, d. h. der ganze Abschluss von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ in einem algebraischen Abschluss ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ der rationalen Zahlen (nicht noethersch).

• L. A. Bokut: Dedekind ring. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, [eom.springer.de (Memento vom 12. Januar 2011 im Internet Archive)Vorlage:Webarchiv/Wartung/Linktext_fehlt Linktext fehlt. encyclopediaofmath.org]).