Darstellbarkeit (Kategorientheorie)

Ein kontravarianter Funktor ${\displaystyle F\colon C\to \mathbf {Set} }$ von einer Kategorie ${\displaystyle C}$ in die Kategorie der Mengen heißt darstellbar, wenn es ein Paar ${\displaystyle (X,u)}$ bestehend aus einem Objekt von ${\displaystyle C}$ und einem Element ${\displaystyle u\in F(X)}$ gibt, so dass

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{C}(T,X)\to F(T),\quad f\mapsto F(f)(u)}$

für alle Objekte ${\displaystyle T}$ von ${\displaystyle C}$ bijektiv ist. Man schreibt dann auch einfach

${\displaystyle F(T)=\mathrm {Hom} _{C}(T,X).}$

Ein kovarianter Funktor ${\displaystyle G\colon C\to \mathbf {Set} }$ heißt darstellbar, wenn es ein analoges Paar ${\displaystyle (X,u)}$ gibt, so dass

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{C}(X,T)\to G(T),\quad f\mapsto G(f)(u)}$

bijektiv ist.

Weitere Bezeichnungen:

• Für ein Element von ${\displaystyle F(T)}$ heißt der entsprechende Morphismus ${\displaystyle T\to X}$ auch klassifizierender Morphismus.
• ${\displaystyle X}$ heißt darstellendes Objekt, auch wenn durch ${\displaystyle X}$ selbst die natürliche Äquivalenz

${\displaystyle F\cong \mathrm {Hom} _{C}({-},X)}$ bzw. ${\displaystyle G\cong \mathrm {Hom} _{C}(X,{-})}$

noch nicht festgelegt ist.

• ${\displaystyle u}$ wird oft universell genannt, weil jedes Element von ${\displaystyle F(T)}$ für irgendein Objekt ${\displaystyle T}$ Bild von ${\displaystyle u}$ unter ${\displaystyle F(f)}$ mit einem geeigneten Morphismus

${\displaystyle f\colon T\to X}$

ist. (Analoges gilt im Fall kovarianter Funktoren.)

• Wird ein kontravarianter Funktor ${\displaystyle F}$ wie oben einerseits durch ${\displaystyle (X_{1},u_{1})}$, andererseits aber auch durch ${\displaystyle X_{2},u_{2}}$ dargestellt, so gibt es genau einen Isomorphismus ${\displaystyle i\colon X_{1}\to X_{2}}$, für den ${\displaystyle F(i)(u_{2})=u_{1}}$ gilt. Er ist der klassifizierende Morphismus von ${\displaystyle u_{1}\in F(X_{1})}$ bezüglich ${\displaystyle (X_{2},u_{2})}$.
• Darstellbare Funktoren sind linksexakt, d. h.

${\displaystyle F(\mathrm {colim} \,X_{i})\,=\,\lim F(X_{i})}$ bzw. ${\displaystyle G(\lim X_{i})\,=\,\lim G(X_{i})}$.

• Die Bildung der Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(T)}$ einer Menge ${\displaystyle T}$ kann als kontravarianter Funktor ${\displaystyle {\mathcal {P}}\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Set} }$ betrachtet werden: für eine Abbildung ${\displaystyle f\colon T\to S}$ von Mengen sei die induzierte Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {P}}(f):{\mathcal {P}}(S)\to {\mathcal {P}}(T)}$ das Urbild von Teilmengen: ${\displaystyle {\mathcal {P}}(f)(U)=f^{-1}(U)}$.

Dieser Funktor wird durch das Paar ${\displaystyle (\{0,1\},\{1\})}$ dargestellt, denn ist ${\displaystyle T}$ ein Objekt, das heißt eine Menge, so ist ${\displaystyle \mathrm {Hom} (T,\{0,1\})\rightarrow {\mathcal {P}}(T),\,f\mapsto {\mathcal {P}}(f)(\{1\})=f^{-1}(\{1\})}$ bijektiv. Die klassifizierende Abbildung einer Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq T}$ ist also die charakteristische Funktion ${\displaystyle \chi _{U}}$ von ${\displaystyle U}$, denn ${\displaystyle \chi _{U}^{-1}(\{1\})=U}$.

• Die folgenden Vergissfunktoren sind darstellbar:

von	nach	dargestellt durch
Abelsche Gruppen	Mengen	${\displaystyle (\mathbb {Z} ,1)}$
Vektorräume über einem Körper ${\displaystyle K}$	Mengen	${\displaystyle (K,1)}$
unitäre Ringe	Mengen	${\displaystyle (\mathbb {Z} [T],T)}$
Topologische Räume	Mengen	${\displaystyle (*,*)}$ (ein einpunktiger Raum)

• Ein Beispiel aus der kommutativen Algebra bilden die Kähler-Differentiale mit der universellen Derivation.
• Die Fundamentalgruppe eines punktierten topologischen Raumes ist per definitionem ein darstellbarer Funktor auf der Kategorie der punktierten topologischen Räume mit den Homotopieklassen punktierter Abbildungen als Morphismen:

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=[(S^{1},*),(X,x_{0})].}$

• Die erste Kohomologiegruppe ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )}$ mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen ist ein kontravarianter Funktor, der durch die 1-Sphäre ${\displaystyle S^{1}}$ zusammen mit einem der beiden Erzeuger von

${\displaystyle H^{1}(S^{1},\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

dargestellt wird. Allgemein gibt es darstellende Räume ${\displaystyle K(\pi ,n)}$ für die Funktoren ${\displaystyle H^{n}({-},\pi )}$ für beliebige abelsche Gruppen ${\displaystyle \pi }$ und natürliche Zahlen ${\displaystyle n}$. Sie heißen Eilenberg-MacLane-Räume.

Oben vorgestellte Abbildungen der Form ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{C}(T,X)\to F(T),f\mapsto F(f)(u)}$ kommen auch beim Yoneda-Lemma vor.