Coxeter-Gruppe

Coxeter-Gruppen werden abstrakt definiert als Gruppen mit einer Präsentierung

${\displaystyle W=\langle r_{1},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle }$

mit ${\displaystyle m_{ii}=1}$ und ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}\geq 2}$ für ${\displaystyle i\not =j}$.

Die Bedingung ${\displaystyle m_{ij}=\infty }$ bedeutet, dass ${\displaystyle (r_{i}r_{j})}$ unendliche Ordnung haben.

Das Paar ${\displaystyle (W,S)}$, bestehend aus einer Coxeter-Gruppe ${\displaystyle W}$ und einer Menge aus Erzeugern ${\displaystyle S=\left\{r_{1},\ldots ,r_{n}\right\}}$, wird als Coxeter-System bezeichnet.

Klassifikation der Coxeter-Diagramme

Coxeter bewies 1934, dass jede Spiegelungsgruppe eine Coxeter-Gruppe ist, und ein Jahr später, dass jede endliche Coxeter-Gruppe eine Spiegelungsgruppe ist. Weiter klassifizierte er endliche Coxeter-Gruppen durch ihre Coxeter-Diagramme. Diese sind Graphen mit einem Knoten für jeden Erzeuger ${\displaystyle r_{i}}$, Kanten zwischen den ${\displaystyle r_{i}}$ und ${\displaystyle r_{j}}$ verbindenden Knoten genau für ${\displaystyle m_{ij}\geq 3}$ und einer Markierung der Kante durch ${\displaystyle m_{ij}}$ für ${\displaystyle m_{ij}\geq 4}$. Die rechts abgebildete Grafik zeigt alle Coxeter-Diagramme, wobei ${\displaystyle A_{n},B_{n}=C_{n}}$ und ${\displaystyle D_{n}}$ jeweils für jedes ${\displaystyle n\geq 1}$ einem Coxeter-Diagramm entsprechen. Jedes dieser Diagramme entspricht einer endlichen Spiegelungsgruppe.

• Coxeter, HSM: Discrete groups generated by reflections, Annals of Mathematics, 35 (3): 588–621, 1934.
• Coxeter, HSM: The complete enumeration of finite groups of the form ${\displaystyle r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1}$, J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, 1935.