Cox-Regression

Das von Cox vorgeschlagene Regressionsmodell wird zur Untersuchung des Verhaltens der Hazardraten in Abhängigkeit von Umwelteinflüssen benutzt. Grundlage des Modells sind Einflussvektoren ${\displaystyle z_{i}\;}$ mit ${\displaystyle i=1,\ldots ,n\;}$, die für jedes Individuum ${\displaystyle i\;}$ der Studie beobachtet werden können. Der Zusammenhang zwischen diesen Einflüssen und der Hazardfunktion wird dann über die Relation

${\displaystyle h(t;z_{i})=h_{0}(t)\exp(z_{i}\beta )\;}$

hergestellt. ${\displaystyle h_{0}}$ bezeichnet dabei eine unbekannte Hazardfunktion, die im Ausgangsfall ohne Einflüsse (also ${\displaystyle z_{i}=0}$) die zugehörige Hazardfunktion darstellt. Sie wird als Störparameter behandelt. ${\displaystyle \beta }$ ist ein unbekannter Parameter, ebenfalls n-dimensional. Aufgabe der Statistik ist die Schätzung dieses Parameters.

Die Beobachtungen bestehen im Modell der Cox-Regression aus einem Tripel ${\displaystyle (t_{i},z_{i},\delta _{i})\;}$, wobei ${\displaystyle z_{i}\;}$ wie oben den Einflussvektor für das Individuum ${\displaystyle i\;}$ bezeichnet.

${\displaystyle t_{i}\;}$ ist (wie im Falle der Untersuchung zensierter Daten üblich) als das Minimum von zwei Zufallsvariablen ${\displaystyle x_{i}\;}$ und ${\displaystyle y_{i}\;}$ definiert. Im Falle des tatsächlich beobachteten Todes eines Individuums gibt ${\displaystyle x_{i}\;}$ den Todeszeitpunkt von ${\displaystyle i\;}$ an. Falls dagegen nur die Studie beendet wurde, gibt ${\displaystyle y_{i}\;}$ den Zeitpunkt der Beendigung an. Es ist offensichtlich, dass nur bei einer Beobachtung des Todes Rückschlüsse auf die Form der Hazardfunktion geschlossen werden können. Daher gibt ${\displaystyle \delta _{i}=I\{x_{i}\leq y_{i}\}}$ an, ob der Tod oder das Ende der Studie beobachtet wurde. ${\displaystyle I}$ bezeichnet hierbei die Indikatorfunktion.

Aufgrund der Struktur von ${\displaystyle h(t;z_{i})\;}$ ergibt sich das Problem, dass in Intervallen ohne Todesfall keine Rückschlüsse auf ${\displaystyle \beta \;}$ gezogen werden können. Es ist schließlich möglich, dass die unbekannte Basis-Hazardfunktion ${\displaystyle h_{0}(t)\;}$ in diesem Intervall verschwindet und also a priori keine Todesfälle stattfinden können. Man greift daher auf einen Trick zurück und betrachtet bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Wenn ausschließlich dann Informationen über ${\displaystyle \beta \;}$ erhalten werden können, wenn ein Todesfall stattgefunden hat, bietet sich zum Zeitpunkt des Todes von Individuum ${\displaystyle i\;}$ die Berechnung der folgenden Wahrscheinlichkeit an: Wie wahrscheinlich ist es, dass von allen noch lebenden Individuen nun ausgerechnet ${\displaystyle i\;}$ stirbt? Formal lässt sie sich als

${\displaystyle p_{i}(\beta ):={\frac {\exp(z_{i}'\beta )}{\sum _{j\in R_{i}}\exp(z_{j}'\beta )}}}$

berechnen. ${\displaystyle R_{i}\;}$ bezeichnet dabei diejenigen Individuen, die zum Zeitpunkt des Todes von ${\displaystyle i\;}$ noch leben.

Um eine Art Maximum-Likelihood-Schätzer für ${\displaystyle \beta \;}$ zu finden, wird nun in Abhängigkeit von ${\displaystyle \gamma \;}$ die Likelihood-Funktion

${\displaystyle p(\gamma ):=\prod _{i=1}^{n}p_{i}(\gamma )^{\delta _{i}}}$

maximiert. Dabei wird durch das Potenzieren der einzelnen bedingten Wahrscheinlichkeiten mit ${\displaystyle \delta _{i}\;}$ der Tatsache Rechnung getragen, dass nur die Beobachtung eines Todesfalls und nicht die des Endes der Studie Informationen über ${\displaystyle \beta \;}$ liefert.

• David Cox: Regression models and life tables. Journal of the Royal Statistical Society B, 34 (1972), S. 187–220. JSTOR:2985181
• A. Ziegler, S. Lange & R. Bender: Überlebenszeitanalyse. Die Cox-Regression. Deutsche Medizinische Wochenschrift, 132(S 01) (2007), e42–e44. doi:10.1055/s-2007-959039