Coulomb-Eichung

Um die Lösung der Maxwell-Gleichungen zu erleichtern, führt man für das elektrische Feld ${\displaystyle {\vec {E}}}$ und das magnetische Feld ${\displaystyle {\vec {B}}}$, das elektrische Skalarpotential ${\displaystyle \Phi }$ und das magnetische Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ein, welche die klassisch beobachtbaren Felder beschreiben:

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},t)=-\nabla \Phi -\partial _{t}{\vec {A}}({\vec {r}},t)}$

${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}},t)=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)}$.

Diese Definition erlaubt Eichfreiheiten in der Wahl von Skalar- und Vektorpotential, die keine Auswirkungen auf messbare Größen haben, insbesondere nicht auf elektrisches Feld und magnetische Flussdichte.

Diese Eichfreiheit wird in der Coulomb-Eichung dazu genutzt, die Divergenzfreiheit des Vektorpotentials zu fordern:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}({\vec {r}},t)=0}$

Wegen ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }$ und ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla =\nabla {\frac {\partial }{\partial t}}}$ folgen daraus die im nächsten Paragraphen notierten Resultate.

Setzt man mit dieser Eichung die Potentiale in die inhomogenen Maxwell-Gleichungen (das gaußsche Gesetz und das erweiterte Induktionsgesetz) ein, so erhält man

${\displaystyle \Delta \Phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

und

${\displaystyle \Delta {\vec {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {A}}=-\mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}\nabla \partial _{t}\Phi \,\,(=:\,-\mu _{0}{\vec {j}}_{\mathrm {eff} })}$.

Die erste Gleichung wird gelöst durch

${\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho ({\vec {r}}^{\prime },t)}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }\right|}}\mathrm {d} ^{3}r^{\prime }}$,

also ist in dieser Eichung das Skalarpotential ${\displaystyle \Phi }$ identisch mit dem Coulomb-Potential.

Die zweite Gleichung ist eine inhomogene Wellengleichung mit der durch die Methode des retardierten Potentials gewonnenen Lösung:

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}_{\mathrm {eff} }({\vec {r}}^{\prime },t')}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }\right|}}\mathrm {d} ^{3}r^{\prime }}$.

Dabei ist die retardierte Zeit ${\displaystyle t'}$ gegeben durch ${\displaystyle t':=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}{c}}}$ . Physikalisch entspricht die zuletzt angegebene Differenz der Zeitspanne, die ein Licht- oder Radarsignal braucht, um die Strecke vom Ausgangspunkt (dem Integrationpunkt) ${\displaystyle {\vec {r}}'}$ der Signale zum Ankunftspunkt ${\displaystyle {\vec {r}}}$ zu durchlaufen (c ist die Lichtgeschwindigkeit).

In der Nutzung zweier unterschiedlicher Zeiten in den Integralen – erstens t beim skalaren Potential, zweitens t′ beim Vektorpotential – besteht der Hauptvor- bzw. -nachteil der Coulomb-Eichung. Die konkurrierende Lorenz-Eichung hat diesen Nachteil nicht, sondern ist explizit relativistisch invariant, indem sie die Retardierung durchgehend berücksichtigt.

Sind keine Quellen (Ladungen und Ströme) vorhanden, so vereinfachen sich die Gleichungen zu

${\displaystyle \Delta \Phi =0}$

und

${\displaystyle \Delta {\vec {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {A}}=0}$,

das Vektorpotential erfüllt also die homogene Wellengleichung.

• John D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. Walter de Gruyter Berlin New York, 2006, ISBN 978-3-11-018970-4.