Compton-Effekt

Durch den Energieverlust nimmt die Wellenlänge des Photons zu. Bemerkenswert ist, dass diese Zunahme ${\displaystyle \ \Delta \lambda =\lambda '-\lambda }$ nur vom Winkel ${\displaystyle \ \varphi }$ und nicht von der ursprünglichen Photonenenergie abhängt:

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {h}{m_{\mathrm {e} }c}}\left(1-\cos \varphi \right)=\lambda _{\mathrm {C} }\left(1-\cos \varphi \right)\,.}$

Die Compton-Wellenlänge ist für ein Teilchen mit Masse eine charakteristische Größe. Sie gibt die Zunahme der Wellenlänge des rechtwinklig an ihm gestreuten Photons an.

Die Compton-Wellenlänge eines Teilchens der Masse ${\displaystyle m}$ beträgt

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {C} }={\frac {h}{m\,c}}\,,}$

wobei ${\displaystyle h}$ die Planck-Konstante und ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit ist.

Häufig (besonders in der Elementarteilchenphysik) wird auch die reduzierte Compton-Wellenlänge ${\displaystyle {\lambda \!\!\!^{-}}_{\mathrm {C} }={\tfrac {\lambda _{\mathrm {C} }}{2\pi }}={\tfrac {\hbar }{m\,c}}\,}$ mit der reduzierten Planck-Konstante ${\displaystyle \hbar ={\tfrac {h}{2\cdot \pi }}}$ benutzt und auch ohne den Zusatz reduziert als Compton-Wellenlänge bezeichnet.[4] In dieser Form taucht die Compton-Wellenlänge als Parameter in der Klein-Gordon-Gleichung auf.

Die Compton-Wellenlängen von Teilchen sind, anders als deren De-Broglie-Wellenlängen, von ihrem Impuls unabhängig. Die Werte für Elektron, Proton und Neutron betragen:[5][6][7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{\text{C (Elektron)}}&=2{,}426\,310\,238\,67(73)\cdot 10^{-12}\ \mathrm {m} \\\lambda _{\text{C (Proton)}}&=1{,}321\,409\,855\,39(40)\cdot 10^{-15}\ \mathrm {m} \\\lambda _{\text{C (Neutron)}}&=1{,}319\,590\,905\,81(75)\cdot 10^{-15}\ \mathrm {m} \end{aligned}}}$

Die reduzierte Compton-Wellenlänge des Elektrons beträgt 386 fm, die des Protons und Neutrons 0,210 fm.

Diese sehr geringen Wellenlängenänderungen sind der Grund dafür, dass der Compton-Effekt nur bei sehr kurzwelliger Strahlung, im Bereich der Röntgen- und Gammastrahlung, beobachtet werden kann. Bei größeren Wellenlängen ist deren relative Zunahme zu gering, die Streuung scheint ohne Energieverlust stattzufinden, man spricht dann von Thomson-Streuung.

Im Folgenden berechnen wir die Compton-Formel, indem wir das Teilchen als zu Beginn ruhend annehmen. Bei der Streuung überträgt das Photon einen Teil seiner Energie auf das Elektron, sodass sich die beiden Teilchen nach der Streuung in verschiedenen Richtungen auseinander bewegen.

Prozessskizze des Compton-Effekts

Zunächst betrachten wir, welche Energie und welchen Impuls die jeweiligen Teilchen vor sowie nach der Streuung tragen (${\displaystyle \nu }$ steht dabei für die Frequenz):

Energie des …		Impuls des …
Elektrons vorher	Photons vorher	Photons vorher	Elektrons vorher
${\displaystyle \ E_{\mathrm {e} }=m_{\mathrm {e} }c^{2}}$	${\displaystyle \ E_{\gamma }=h\nu }$	${\displaystyle \ p_{\gamma }=h\nu /c}$	${\displaystyle \ p_{\mathrm {e} }=0}$
Elektrons nachher	Photons nachher	Photons nachher	Elektrons nachher
${\displaystyle \ E_{\mathrm {e} }'}$	${\displaystyle \ E_{\gamma }'=h\nu '}$	${\displaystyle \ p'_{\gamma }=h\nu '/c}$	${\displaystyle \ p'_{\mathrm {e} }}$

Die beiden Teilchen müssen vor und nach der Streuung den Energie- und Impulserhaltungssatz erfüllen.

Energieerhaltungssatz	Impulserhaltungssatz
${\displaystyle E_{\mathrm {e} }+E_{\gamma }=E_{\mathrm {e} }'+E_{\gamma }'}$	${\displaystyle {\vec {p}}_{\gamma }={\vec {p}}_{\mathrm {e} }'+{\vec {p}}_{\gamma }'}$

In der speziellen Relativitätstheorie stehen die Energie und der Impuls eines Teilchens über die Energie-Impuls-Beziehung miteinander in Zusammenhang. Da sich die Teilchen auf den Seiten eines Dreiecks bewegen, die ihrem jeweiligen Impuls entsprechen, stehen die räumlichen Impulse über den Kosinussatz in Verbindung. Es gilt:

Energie-Impuls-Beziehung	Kosinussatz
${\displaystyle E_{\mathrm {e} }^{2}=E_{\mathrm {e} }'^{2}-{\vec {p}}_{\mathrm {e} }'^{2}c^{2}}$	${\displaystyle {\vec {p}}_{\mathrm {e} }'^{2}={\vec {p}}_{\gamma }^{2}+{\vec {p}}_{\gamma }'^{2}-2\vert {\vec {p}}_{\gamma }\vert \cdot \vert {\vec {p}}_{\gamma }'\vert \cos \varphi }$

Nach dem Einsetzen der Ausdrücke für ${\displaystyle E_{e}'}$ und ${\displaystyle p'_{e}}$ in die Energie-Impuls-Beziehung und Zusammenfassen der Terme folgt

${\displaystyle {\frac {1}{\nu '}}-{\frac {1}{\nu }}={\frac {h}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}\left(1-\cos \varphi \right)}$

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {h}{m_{\mathrm {e} }c}}\left(1-\cos \varphi \right)}$

Dabei wurde in der letzten Umformung der Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Frequenz mittels ${\displaystyle c=\lambda \nu }$ ausgenutzt.

Alternativ kann man aus derselben Gleichung auch die Energie des wegfliegenden (gestreuten) Photons bestimmen:

${\displaystyle E'_{\gamma }={\frac {E_{\gamma }}{1+{\frac {E_{\gamma }}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}(1-\cos \varphi )}}}$

Daran ist gut zu erkennen, dass eine vollständige Absorption, d. h. ${\displaystyle E'_{\gamma }=0}$, nicht möglich ist. Dem Photon verbleibt mindestens die Energie

${\displaystyle E'_{\gamma }={\frac {E_{\gamma }}{1+2{\frac {E_{\gamma }}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}}}}$,

die sich bei Rückwärtsstreuung (${\displaystyle \phi }$=180°) ergibt.

Während sich der Compton-Effekt im Falle eines ruhenden Elektrons leicht trigonometrisch berechnen lässt, stellt sich die Situation in einem beliebigen Bezugssystem schwieriger dar. In diesem Fall bewegt sich das Elektron vor dem Stoß mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$, wobei es die Gesamtenergie ${\displaystyle E_{\mathrm {e} }=\gamma m_{\mathrm {e} }c^{2}}$ und den Impuls ${\displaystyle |{\vec {p}}|=\gamma m_{\mathrm {e} }c\beta }$ trägt, mit ${\textstyle \beta ={\frac {|{\vec {v}}|}{c}}}$ und ${\textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$.

Um den Compton-Effekt im nun betrachteten Fall zu berechnen, verwenden wir den Vierervektor-Formalismus.

Die Viererimpulse, welche die beteiligten Teilchen vor und nach dem Streuprozess besitzen, sind

Elektron vorher	Photon vorher
${\displaystyle p^{\mu }=\left({\frac {E_{\mathrm {e} }}{c}},{\vec {p}}\right)}$	${\displaystyle q^{\mu }=\left({\frac {E_{\gamma }}{c}},{\frac {E_{\gamma }}{c}}{\vec {n}}\right)}$
Elektron nachher	Photon nachher
${\displaystyle p'^{\mu }=\left({\frac {E'_{\mathrm {e} }}{c}},{\vec {p}}'\right)}$	${\displaystyle q'^{\mu }=\left({\frac {E'_{\gamma }}{c}},{\frac {E'_{\gamma }}{c}}{\vec {n}}'\right)}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle {\vec {n}}}$ einen Einheitsvektor, der in Bewegungsrichtung des Photons zeigt.

Aus der Energie-Impuls-Relation folgt ${\displaystyle p^{2}=p'^{2}=(m_{\mathrm {e} }c)^{2}}$ und ${\displaystyle q^{2}=q'^{2}=0}$. Für die gemischten Produkte gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{\mu }q^{\mu }&=\gamma m_{\mathrm {e} }E_{\gamma }(1-\beta \cos \Omega )\\p_{\mu }q'^{\mu }&=\gamma m_{\mathrm {e} }E'_{\gamma }(1-\beta \cos \Omega ')\\q_{\mu }q'^{\mu }&={\frac {E_{\gamma }E'_{\gamma }}{c^{2}}}(1-\cos \varphi )\end{aligned}}}$

Dabei bezeichnet

• ${\displaystyle \Omega }$ den Winkel zwischen den Bewegungsrichtungen von Elektron und Photon vor der Streuung,
• ${\displaystyle \Omega '}$ den Winkel zwischen den Bewegungsrichtungen von Elektron vor der Streuung und Photon nach der Streuung und
• ${\displaystyle \varphi }$ den Winkel zwischen den Bewegungsrichtungen von Photon vor der Streuung und Photon nach der Streuung.

Wird ein Photon an einem Elektron gestreut, so muss die Energie- und Impulserhaltung erfüllt sein. Da die Energie proportional der Nullkomponente des Viererimpulses ist und die restlichen Komponenten den Impuls repräsentieren, folgt

${\displaystyle p^{\mu }+q^{\mu }-q'^{\mu }=p'^{\mu }\Rightarrow p_{\mu }q^{\mu }-q_{\mu }q'^{\mu }-p_{\mu }q'^{\mu }=0}$.

Nach Einsetzen der Skalarprodukte und Umformen folgt

${\displaystyle E'_{\gamma }=E_{\gamma }{\frac {(1-\beta \cos \Omega )}{(1-\beta \cos \Omega ')+{\frac {h\nu }{\gamma m_{\mathrm {e} }c^{2}}}(1-\cos \varphi )}}}$

Je nach Einfallswinkel und kinetischer Energie kann das Elektron eine gewisse Energie an das Photon übertragen (inverse Compton-Streuung). Im Ruhesystem des Elektrons war die Geschwindigkeit desselben vor dem Stoß gleich Null. Demnach ist

${\displaystyle \gamma =1}$ und ${\displaystyle \beta =0}$,

womit sich die bereits bekannte Formel

${\displaystyle E'_{\gamma }={\frac {E_{\gamma }}{1+{\frac {E_{\gamma }}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}(1-\cos \varphi )}}}$

ergibt.