Cohen-Macaulay-Ring

Wenn ${\displaystyle M}$ ein Modul über einem Ring ${\displaystyle R}$ ist, so wird ein Element ${\displaystyle a\in R}$ regulär genannt, wenn aus ${\displaystyle a\cdot x=0}$ für ein ${\displaystyle x\in M}$ stets ${\displaystyle x=0}$ folgt.

Eine Folge ${\displaystyle \{a_{1},\dotsc ,a_{n}\}}$ von Elementen aus ${\displaystyle R}$ heißt ${\displaystyle M}$-reguläre Folge, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• ${\displaystyle M\neq (a_{1},\dotsc ,a_{n})M}$
• Für ${\displaystyle i<m}$ ist das Bild von ${\displaystyle a_{i+1}}$ kein Nullteiler in ${\displaystyle M/(a_{1},\dotsc ,a_{i})M}$

Wenn ${\displaystyle M}$ ein Modul über einem Ring ${\displaystyle R}$ ist, so ist die Tiefe ${\displaystyle \mathrm {t} (M)}$ von ${\displaystyle M}$ die Mächtigkeit einer maximalen ${\displaystyle M}$-regulären Folge von Elementen aus ${\displaystyle R}$.

Die Dimension ${\displaystyle \mathrm {dim} (M)}$ eines Moduls ${\displaystyle M}$ über einem Ring ${\displaystyle R}$ ist definiert als die Krulldimension von ${\displaystyle R/\mathrm {Ann} (M)}$. (${\displaystyle \mathrm {Ann} (M)}$ ist der Annihilator von M.)

Ist ${\displaystyle M}$ ein endlich erzeugter Modul über einem noetherschen Ring, so gilt:

${\displaystyle \mathrm {dim} (M)=\mathrm {max} \{\mathrm {dim} (R/p)|p\in \mathrm {Ass} (M)\}=\mathrm {max} \{\mathrm {dim} (R/p)|p\in \mathrm {Supp} (M)\}}$

(Zur Notation: ${\displaystyle \mathrm {Ass} (M)}$ bezeichnet die Menge der zu ${\displaystyle M}$ assoziierten Primideale, ${\displaystyle \mathrm {Supp} (M)}$ den Träger des Moduls.)

Für einen endlich erzeugten Modul ${\displaystyle M}$ über einem noetherschen lokalen Ring ${\displaystyle R}$ gilt sogar:

${\displaystyle \mathrm {t} (M_{m})\leq \mathrm {min} \{\mathrm {dim} (R/p)|p\in \mathrm {Ass} (M)\}\leq \mathrm {dim} (M)}$

Ein endlich erzeugter Modul ${\displaystyle M}$ über einem noetherschen Ring ${\displaystyle R}$ heißt Cohen-Macaulay-Modul, wenn für alle maximalen Ideale ${\displaystyle m}$ von ${\displaystyle R}$ gilt:

${\displaystyle \mathrm {t} (M_{m})=\mathrm {dim} (M_{m})}$

${\displaystyle R}$ heißt Cohen-Macaulay-Ring, wenn ${\displaystyle R}$ als ${\displaystyle R}$-Modul ein Cohen-Macaulay-Modul ist.