Clelia-Kurve

Beschreibt man die Kugelfläche mit der Parameterdarstellung

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cdot \cos \theta \cdot \cos \varphi \\y&=r\cdot \cos \theta \cdot \sin \varphi \\z&=r\cdot \sin \theta \end{aligned}}}$

und setzt ${\displaystyle \;\varphi =c\theta }$, erhält man eine Parameterdarstellung einer Clelia-Kurve:

• ${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cdot \cos \theta \cdot \cos c\theta \\y&=r\cdot \cos \theta \cdot \sin c\theta \\z&=r\cdot \sin \theta .\end{aligned}}}$

Jede Clelia-Kurve trifft die beiden Pole mindestens einmal.

Kugelspirale: ${\displaystyle \quad c\geq 2\ ,\quad -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2}$

Eine Kugelspirale beginnt und endet üblicherweise in einem der Pole.

Vivianische Kurve: ${\displaystyle \quad c=1\ ,\quad 0\leq \theta \leq 2\pi }$

Bodenkurve einer Polarbahn (eines Satelliten): ${\displaystyle \quad c\leq 1\ ,\quad \theta \geq 0}$

Im Fall ${\displaystyle \;c\leq 1\;}$ ist die Kurve periodisch, falls ${\displaystyle c}$ rational ist (siehe Rosette). Z. B.: ist die Periode im Fall ${\displaystyle \;c=1/n\;}$ gleich ${\displaystyle \;n\cdot 2\pi \;}$. Ist ${\displaystyle c}$ nicht rational, so ist die Kurve nicht periodisch.

Die Tabelle zeigt nur die Grundrisse der jeweiligen Kurven. Die unteren vier Kurven sind Kugelspiralen. Die oberen vier Kurven sind periodische Bodenspuren von Polarbahnen. Im Fall ${\displaystyle \;c=1/3\;}$ liegen die unteren Kurventeile exakt unter den oberen Kurventeilen. Das mittlere Bild zeigt den Grundriss einer vivianischen Kurve. Das für sie typische Bild in Form einer 8 erhält man nur bei Projektion entlang der ${\displaystyle x}$-Achse (Aufriss).

• Der Grundriss einer Clelia-Kurve ist eine Rosette.

1. McTutor Archiv

• H. A. Pierer: Universal-Lexikon der Gegenwart und Vergangenheit oder neuestes encyclopädisches Wörterbuch der Wissenschaften, Künste und Gewerbe. Verlag H. A. Pierer, 1844, S. 82.

• Clelia. Bei: Mathcurve.com. (englisch).