Chirurgie (Mathematik)

Wenn ${\displaystyle X,Y}$ Mannigfaltigkeiten mit Rand sind, dann gilt für den Rand der Produkt-Mannigfaltigkeit

${\displaystyle \partial (X\times Y)=(\partial X\times Y)\cup (X\times \partial Y).}$

Diese Beziehung ist der Ausgangspunkt hinter der Chirurgie, denn ${\displaystyle S^{p}\times S^{q-1}}$ kann einerseits als der Rand von ${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$ und andererseits als der Rand von ${\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$ aufgefasst werden:

${\displaystyle \partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)=S^{p}\times S^{q-1}=\partial \left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right)}$

wobei ${\displaystyle D^{q}}$ die ${\displaystyle q}$-dimensionale Vollkugel ist und ${\displaystyle S^{p}}$ die ${\displaystyle p}$-dimensionale Sphäre. Zum Beispiel ist ${\displaystyle D^{1}}$ homöomorph zum Einheitsintervall und ${\displaystyle S^{0}}$ besteht aus zwei Punkten.

Sei ${\displaystyle M}$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension ${\displaystyle n=p+q}$ und ${\displaystyle \varphi \colon S^{p}\times D^{q}\hookrightarrow M}$ eine Einbettung. Man definiert nun eine andere ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M^{\prime }}$ durch

${\displaystyle M':=\left(M\setminus \operatorname {Int} \left(\varphi (S^{p}\times D^{q})\right)\right)\;\cup _{\varphi |_{S^{p}\times S^{q-1}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right),}$

wobei wir an der Stelle

${\displaystyle \varphi (S^{p}\times S^{q-1})=\varphi (\partial \left(S^{p}\times D^{q}\right))}$

kleben. Diese Operation nennt man ${\displaystyle p}$-Chirurgie.

Man sagt, dass die Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M^{\prime }}$ durch eine ${\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$ ausschneidende und ${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$ anklebende Chirurgie entsteht, kurz durch eine ${\displaystyle p}$-Chirurgie. ${\displaystyle M^{\prime }}$ ist eigentlich eine Mannigfaltigkeit mit Ecken, die Ecken können jedoch auf kanonische Weise geglättet werden.

Wenn ${\displaystyle M}$ der Rand einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle N}$ ist, dann führt das Ankleben von Henkeln an ${\displaystyle N}$ zu einer Chirurgie am Rand ${\displaystyle M}$. Das Ankleben von Henkeln ist wie folgt definiert: Für eine ${\displaystyle (n+1)}$-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle L}$ mit Rand ${\displaystyle \partial L}$ und eine Einbettung ${\displaystyle \varphi }$: ${\displaystyle S^{p}\times D^{q}\to \partial L}$ mit ${\displaystyle p+q=n}$ definiert man ${\displaystyle L^{\prime }:=L\;\cup _{\varphi }\left(D^{p+1}\times D^{q}\right).}$ Für diese durch Ankleben eines ${\displaystyle (p+1)}$-Henkels entstandene Mannigfaltigkeit ${\displaystyle L^{\prime }}$ ist ${\displaystyle \partial L^{\prime }}$ durch eine ${\displaystyle p}$-Chirurgie aus ${\displaystyle \partial L}$ hervorgegangen:

${\displaystyle \partial L'=(\partial L-\operatorname {Int} (\operatorname {Bild} (\varphi ))\;\cup _{\varphi |_{S^{p}\times S^{q-1}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).}$

Eine Chirurgie an ${\displaystyle M}$ gibt nicht nur eine neue Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M^{\prime }}$, sondern auch einen Kobordismus ${\displaystyle W:=(W;M,M')}$ zwischen ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle M^{\prime }}$. Dieser Kobordismus

${\displaystyle W:=(M\times I)\;\cup _{\varphi \times \{1\}}\left(D^{p+1}\times D^{q}\right)}$

wird als Spur der Chirurgie bezeichnet.

Man erhält ${\displaystyle M}$ aus ${\displaystyle M^{\prime }}$ zurück durch eine duale ${\displaystyle (q-1)}$-Chirurgie, deren Spur dieselbe Mannigfaltigkeit ${\displaystyle W}$ mit entgegengesetzter Orientierung ist.

Fig. 1

Eine Chirurgie am Kreis erfolgt durch Herausschneiden einer Kopie von ${\displaystyle S^{0}\times D^{1}}$ und Ankleben von ${\displaystyle D^{1}\times S^{0}}$. Die Bilder (Fig. 1) zeigen, dass das Resultat entweder wieder ${\displaystyle S^{1}}$ oder zwei Kopien von ${\displaystyle S^{1}}$ sind.

Fig. 2a

Fig. 2b

Hier gibt es mehr Möglichkeiten, weil man entweder eine Kopie von ${\displaystyle S^{1}\times D^{1}}$ oder eine Kopie von ${\displaystyle S^{0}\times D^{2}}$ ausschneiden kann.

• ${\displaystyle S^{1}\times D^{1}}$: Nach Entfernen eines Kreiszylinders aus der ${\displaystyle 2}$-Sphäre verbleiben zwei Kreisscheiben. Man muss ${\displaystyle S^{0}\times D^{2}}$ ankleben, also zwei Kreisscheiben. Als Ergebnis erhält man zwei disjunkte Sphären. (Fig. 2a)

Fig. 2c.

• ${\displaystyle S^{0}\times D^{2}}$: Nach dem Ausschneiden zweier Kreisscheiben klebt man einen Kreiszylinder ${\displaystyle S^{1}\times D^{1}}$ ein. Das Ergebnis hängt davon ab, ob die Verklebeabbildungen auf beiden Randkreisen dieselbe Orientierung haben. Wenn die Orientierungen dieselben sind (Fig. 2b) erhält man einen Torus ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$, wenn sie unterschiedlich sind erhält man eine Kleinsche Flasche (Fig. 2c).

Mit ${\displaystyle n=p+q}$ ist

${\displaystyle S^{n}=\partial D^{n+1}\approx \partial (D^{p+1}\times D^{q})=S^{p}\times D^{q}\;\cup \;D^{p+1}\times S^{q-1}.}$

Eine ${\displaystyle p}$-Chirurgie an ${\displaystyle S^{n}}$ ergibt also die Produkt-Sphäre

${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}\;\cup \;D^{p+1}\times S^{q-1}=S^{p+1}\times S^{q-1}.}$

Sei ${\displaystyle X}$ eine geschlossene, glatte Mannigfaltigkeit (oder allgemeiner ein geometrischer Poincaré-Komplex) der Dimension ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle m}$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Homotopieäquivalenz ${\displaystyle f:M\to X}$, dann nennt man ${\displaystyle (M,f)}$ eine Mannigfaltigkeit-Struktur auf ${\displaystyle X}$.[1]

Ein Bordismus von Funktionen ${\displaystyle f:M\to X}$, ${\displaystyle g:M'\to X}$ von ${\displaystyle m}$-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in den Raum ${\displaystyle X}$ ist ein Kobordismus ${\displaystyle (W;M,M')}$ zusammen mit einer Abbildung

${\displaystyle (F,f,g):(W;M,M')\to X\times (I;\{0\},\{1\}).}$[1]

Die Mannigfaltigkeit-Struktur-Menge ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$ von ${\displaystyle X}$ ist die Menge der Äquivalenzklassen der Mannigfaltigkeit-Strukturen ${\displaystyle (M,f)}$, das heißt

${\displaystyle (M,f)\sim (M',g)}$

sind in der gleichen Äquivalenzklasse falls ein Bordismus existiert ${\displaystyle (F,f,g):(W;M,M')\to X\times (I;\{0\},\{1\})}$ mit Homotopieäquivalenz ${\displaystyle F}$, so dass ${\displaystyle (W;M,M')}$ ein h-Kobordismus ist.[1]

Das Chirurgie-Programm zur Klassifikation von Mannigfaltigkeiten soll entscheiden, wann zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ diffeomorph sind. Man beginnt mit einer Homotopieäquivalenz ${\displaystyle M\simeq N}$, konstruiert einen Bordismus ${\displaystyle W}$ zwischen ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ und eine mit den Bordismen verträgliche Abbildung ${\displaystyle W\to N\times \left[0,1\right]}$ und will dann mittels Chirurgien den Bordismus zu einem h-Kobordismus machen. Nach dem h-Kobordismus-Satz folgt aus der Existenz eines h-Kobordismus die Diffeomorphie von ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$. Die (manchmal berechenbaren) Obstruktionen zur Durchführung dieser Schritte sollen die Klassifikation von Mannigfaltigkeiten ermöglichen.