Cevasche Strecken

Es sei ${\displaystyle S}$ ein beliebiger Punkt im Innern eines Dreiecks ${\displaystyle ABC}$. Die Geraden durch ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle S}$ bzw. ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle S}$ bzw. ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle S}$ schneiden die jeweils gegenüberliegenden Dreiecksseiten in den Punkten ${\displaystyle A'}$ bzw. ${\displaystyle B'}$ bzw. ${\displaystyle C'}$.

Dann heißen ${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$ und ${\displaystyle CC'}$ Cevasche Strecken.

Planfigur zu Satz 1

Abschnitte der Cevaschen Strecken (rot) und längste Dreiecksseite (blau)

Satz 1

Ist ${\displaystyle AB}$ die längste Seite eines Dreiecks, so ist die Gesamtlänge der von ${\displaystyle S}$ ausgehenden und zu einem Punkt der jeweils gegenüberliegenden Dreiecksseite führenden Streckenabschnitte der drei Cevaschen Strecken stets kleiner als die Länge der Dreiecksseite ${\displaystyle AB}$.

${\displaystyle {\overline {SA'}}+{\overline {SB'}}+{\overline {SC'}}<{\overline {AB}}}$

Beweis

Die längste Dreiecksseite ${\displaystyle AB}$ ist offenbar länger als jede der drei Cevaschen Strecken ${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$ und ${\displaystyle CC'}$.

Die Strecken ${\displaystyle SD}$ bzw. ${\displaystyle SE}$ seien parallel zu den Dreiecksseiten ${\displaystyle AC}$, bzw. ${\displaystyle BC}$. Dann sind die Dreiecke ${\displaystyle DES}$ und ${\displaystyle ABC}$ ähnlich zueinander, da sie nach dem Satz über Winkel an parallelen Geraden in zwei Innenwinkeln übereinstimmen. Aus dieser Ähnlichkeit folgt, dass ${\displaystyle DE}$ die längste Seite des Dreiecks ${\displaystyle DES}$ ist, da ${\displaystyle AB}$ die längste Seite des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ ist.

Damit gilt auch ${\displaystyle {\overline {SC'}}<{\overline {DE}}}$. (1)

Die Strecken ${\displaystyle DG}$ bzw. ${\displaystyle EF}$ seien parallel zu den Strecken ${\displaystyle BB'}$ bzw. ${\displaystyle AA'}$. Dann sind die Dreiecke ${\displaystyle ADG}$ und ${\displaystyle ABB'}$ ähnlich zueinander, da sie nach dem Satz über Winkel an Parallelen in zwei Winkeln übereinstimmen. Aus dieser Ähnlichkeit folgt, dass ${\displaystyle AD}$ die längste Seite des Dreiecks ${\displaystyle ADG}$ ist, da ${\displaystyle AB}$ die längste Seite des Dreiecks ${\displaystyle ABB'}$ ist.

Damit gilt auch ${\displaystyle {\overline {DG}}={\overline {SB'}}<{\overline {AD}}}$. (2)

Analog lässt sich zeigen:

${\displaystyle {\overline {EF}}={\overline {SA'}}<{\overline {EB}}}$. (3)

Durch Addition auf den jeweils beiden Seiten der drei Ungleichungen (1), (2) und (3) erhält man: ${\displaystyle {\overline {SA'}}+{\overline {SB'}}+{\overline {SC'}}<{\overline {EB}}+{\overline {AD}}+{\overline {DE}}={\overline {AB}}}$.

Planfigur zu Satz 2

Abschnitte der Cevaschen Strecken (rot) und Cevasche Strecke CC' (blau)

Satz 2

Ist von den drei Cevaschen Strecken ${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$ und ${\displaystyle CC'}$ die Strecke ${\displaystyle CC'}$

• die kürzeste, so gilt: ${\displaystyle {\overline {SA'}}+{\overline {SB'}}+{\overline {SC'}}>{\overline {CC'}}}$,
• die längste, so gilt: ${\displaystyle {\overline {SA'}}+{\overline {SB'}}+{\overline {SC'}}<{\overline {CC'}}}$.

Sind alle drei Cevaschen Strecken ${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$ und ${\displaystyle CC'}$ gleich lang, so gilt: ${\displaystyle {\overline {SA'}}+{\overline {SB'}}+{\overline {SC'}}={\overline {CC'}}}$

Beweis

Im Folgenden seien

${\displaystyle x={\frac {\overline {SC'}}{\overline {CC'}}}}$, ${\displaystyle y={\frac {\overline {SA'}}{\overline {AA'}}}}$ und ${\displaystyle z={\frac {\overline {SB'}}{\overline {BB'}}}}$, wobei ${\displaystyle CC'}$ die kürzeste Cevasche Strecke sei.

Nach Umformung gilt dann:

${\displaystyle {\overline {SC'}}=x\cdot {\overline {CC'}}}$, ${\displaystyle {\overline {SA'}}=y\cdot {\overline {AA'}}}$ und ${\displaystyle {\overline {SB'}}=z\cdot {\overline {BB'}}}$. (4)

Die Strecken ${\displaystyle SH}$ bzw. ${\displaystyle CK}$ seien die Lote von ${\displaystyle S}$ auf ${\displaystyle AB}$ bzw. von ${\displaystyle C}$ auf ${\displaystyle AB}$.

Damit sind die Dreiecke ${\displaystyle C'HS}$ und ${\displaystyle C'KC}$ ähnlich zueinander und es gilt nach dem Strahlensatz: ${\displaystyle {\frac {\overline {SH}}{\overline {CK}}}=x}$.

Hieraus folgt für die Flächeninhalte:

${\displaystyle {\frac {F_{ABS}}{F_{ABC}}}={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot {\overline {AB}}\cdot {\overline {SH}}}{{\frac {1}{2}}\cdot {\overline {AB}}\cdot {\overline {CK}}}}={\frac {\overline {SH}}{\overline {CK}}}=x}$, also: ${\displaystyle F_{ABS}=x\cdot F_{ABC}}$. (5)

In analoger Weise lässt sich zeigen: ${\displaystyle F_{BCS}=y\cdot F_{ABC}}$ (6) und ${\displaystyle F_{CAS}=z\cdot F_{ABC}}$. (7)

Aus (4), (5), (6) und (7) ergibt sich:

${\displaystyle F_{ABC}=F_{ABS}+F_{BCS}+F_{CAS}=(x+y+z)\cdot F_{ABC}}$, also ${\displaystyle x+y+z=1}$.

${\displaystyle {\overline {SA'}}+{\overline {SB'}}+{\overline {SC'}}={\overline {CC'}}=y\cdot {\overline {AA'}}+z\cdot {\overline {BB'}}+x\cdot {\overline {CC'}}>y\cdot {\overline {CC'}}+z\cdot {\overline {CC'}}+x\cdot {\overline {CC'}}=(y+z+x)\cdot {\overline {CC'}}=1\cdot {\overline {CC'}}={\overline {CC'}}}$ (8)

Ist ${\displaystyle CC'}$ die längste Cevasche Strecke, so wird in (8) das Größerzeichen durch das Kleinerzeichen ersetzt.

Sind alle drei Cevaschen Strecken ${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$ und ${\displaystyle CC'}$ gleich lang, so wird in (8) das Größerzeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt.[1]

• Satz von Ceva
• Cevane

1. Ross Honsberger: Gitter - Reste - Würfel Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, S. 109–111