Cesàro-Mittel

Zu einer gegebenen Zahlenfolge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ bildet man die arithmetische Mittel über die ersten ${\displaystyle n}$ Folgenglieder, also

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&=a_{1}\\\sigma _{2}&={\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}\\\sigma _{3}&={\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3}}\\&\;\;\vdots \\\sigma _{n}&={\frac {a_{1}+\ldots +a_{n}}{n}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$

Man bezeichnet ${\displaystyle \sigma _{n}}$ dann als das ${\displaystyle n}$-te Cesàro-Mittel beziehungsweise die Folge ${\displaystyle (\sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ als Folge der Cesàro-Mittel.

Konvergiert die Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen einen Wert ${\displaystyle a}$, so konvergiert nach dem Cauchyschen Grenzwertsatz auch die Folge der Cesàro-Mittel ${\displaystyle (\sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle a}$, das heißt, aus ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$ folgt ${\displaystyle \sigma _{n}\rightarrow a}$ oder ausgeschrieben ${\displaystyle {\tfrac {a_{1}+\ldots +a_{n}}{n}}\rightarrow a}$. Die Folge der Cesàro-Mittel ${\displaystyle (\sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ kann jedoch auch konvergieren, ohne dass die Ausgangsfolge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert.

Ein Beispiel hierfür ist die alternierende Folge ${\displaystyle \left((-1)^{n+1}\right)_{n\in \mathbb {N} }=(1,-1,1,-1,\ldots )}$, sie selbst ist divergent, aber die Folge ihrer Cesàro-Mittel ${\displaystyle (\sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }=(1,0,{\tfrac {1}{3}},0,{\tfrac {1}{5}},\ldots )=\left({\tfrac {1+(-1)^{n+1}}{2n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert gegen 0.

Damit hat man eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffes für Folgen und bezeichnet eine Folge dementsprechend als Cesàro-konvergent, wenn die Folge ihrer Cesàro-Mittel konvergiert.

Ein wichtiger Spezialfall ist die Anwendung der Cesàro-Mittel beziehungsweise der Cesàro-Konvergenz auf Reihen, das heißt auf die Folge der Partialsummen einer Reihe. Zu einer Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ sind die Partialsummen der Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum a_{n}}$ definiert als:

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&=a_{1}\\s_{2}&=a_{1}+a_{2}\\s_{3}&=a_{1}+a_{2}+a_{3}\\&\;\;\vdots \\s_{n}&=a_{1}+\ldots +a_{n}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$

Zu dieser Folge ${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ bildet man nun die Cesàro-Mittel ${\displaystyle \sigma _{n}={\tfrac {s_{1}+\ldots +s_{n}}{n}}}$. Konvergieren diese, das heißt ${\displaystyle \sigma _{n}\rightarrow \sigma }$, so bezeichnet man die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum a_{n}}$ Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder ${\displaystyle C_{1}}$-summierbar zum Wert ${\displaystyle \sigma }$ und schreibt ${\displaystyle C{\text{-}}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sigma }$. Den Grenzwert ${\displaystyle \sigma }$ nennt man Cesàro-Summe und auch die Ausgangsfolge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ wird dann als Cesàro-summierbar oder ${\displaystyle C_{1}}$-summierbar zum Wert ${\displaystyle \sigma }$ bezeichnet.

Bildet man zu der obigen Beispielfolge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n+1}}$ die zugehörige Reihe ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}}$, dann erhält erhält man die folgenden Partialsummen:

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&=1\\s_{2}&=1-1=0\\s_{3}&=1-1+1=1\\&\;\;\vdots \\s_{2n}&=\sum _{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}=0\\s_{2n+1}&=\sum _{k=1}^{2n+1}(-1)^{k+1}=1\\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$

Die Cesàro-Mittel über die Folge dieser Partialsummen lauten dann:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&=1\\\sigma _{2}&={\tfrac {1+0}{2}}={\tfrac {1}{2}}\\\sigma _{3}&={\tfrac {1+0+1}{3}}={\tfrac {2}{3}}\\&\;\;\vdots \\\sigma _{2n}&={\frac {1}{2n}}\sum _{k=1}^{2n}s_{k}={\tfrac {n}{2n}}={\tfrac {1}{2}}\\\sigma _{2n+1}&={\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=1}^{2n+1}s_{k}={\tfrac {n+1}{2n+1}}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2\cdot (2n+1)}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$

Es gilt ${\displaystyle \sigma _{n}\rightarrow {\tfrac {1}{2}}}$ und damit ${\displaystyle C{\text{-}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}={\tfrac {1}{2}}}$. Diese Reihe wird auch als Grandi-Reihe bezeichnet.

Viele Autoren definieren die Cesàro-Konvergenz nur für Reihen, das heißt, sie betrachten nur die Cesàro-Mittel der zugehörigen Partialsummen. Bezogen auf eine Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum a_{n}}$ haben die Bezeichnungen Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder ${\displaystyle C_{1}}$-summierbar die gleiche Bedeutung. Dies ist aber nicht der Fall, wenn man sich auf die Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ bezieht. Hier haben Cesàro-Konvergenz und Cesàro-Summierbarkeit eine unterschiedliche Bedeutung, denn die Konvergenz bezieht sich dann auf die Cesàro-Mittel der Folgenglieder, während sich die Summierbarkeit auf die Cesàro-Mittel der aus den Folgengliedern gebildeten Partialsummen bezieht und damit der Summierbarkeit beziehungsweise Konvergenz der zugehörigen Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum a_{n}}$ entspricht.

Die Anwendung des Cesàro-Mittels auf den Dirichlet-Kern in der Fourier-Analysis führt zum Fejér-Kern und dem Satz von Fejér, der das Konvergenzverhalten von Fourier-Reihen beschreibt. In der Theorie der divergenten Reihen lässt sich mit Hilfe der Cesàro-Mittel bestimmten divergenten Reihen ein Grenzwert im Sinne der Cesàro-Konvergenz zuordnen.

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 155
• Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. 3. Auflage, Walter de Gruyter 1987, ISBN 311-011517-4, S. 459
• Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Ei. Springer, 2. Auflage, 2017, ISBN 9783662534984, S. 304
• Douglas N. Clark: Dictionary of Analysis, Calculus, and Differential Equations. CRC Press, 1999, ISBN 9781420049992, S. 120
• Carl L. DeVito: Harmonic Analysis: A Gentle Introduction. Jones & Bartlett, 2007, ISBN 9780763738938, S. 43
• Godfrey Harold Hardy: Divergent Series. Clarendon Press, Oxford, 1949, S. 94–118, insbesondere S. 96

• Timo Weidl: Die Methode der arithmetischen Mittel nach Cesaro – Teil eines Analysis II Skripts (Uni Stuttgart)
• Richard Hensh: Infinite Series – Vorlesungsmaterialen (Michigan State University), S. 11–15
• Cesaro-Mittel auf SOS Math (engl.)