Cayley-Menger-Determinante

Das Volumen des Simplexes ${\displaystyle S}$ berechnet sich mittels der Cayley-Menger-Determinante durch

${\displaystyle (\operatorname {Vol} (S))^{2}={\frac {(-1)^{n+1}}{2^{n}(n!)^{2}}}\det(B).}$

Allgemeines Dreieck

Die Fläche eines Dreiecks mit Seitenlängen ${\displaystyle a,b,c}$ berechnet sich als Quadratwurzel aus

${\displaystyle -{\frac {1}{16}}\det \left({\begin{array}{cccc}0&1&1&1\\1&0&c^{2}&b^{2}\\1&c^{2}&0&a^{2}\\1&b^{2}&a^{2}&0\end{array}}\right).}$

Das ist eine Umformulierung des Satzes von Heron.

Allgemeiner Tetraeder

Das Volumen eines Tetraeders mit Kantenlängen ${\displaystyle d_{ij},1\leq i,j\leq 4}$ berechnet sich als Quadratwurzel aus

${\displaystyle {\frac {1}{288}}\det \left({\begin{array}{ccccc}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{41}^{2}&d_{42}^{2}&d_{43}^{2}&0\end{array}}\right).}$

Insbesondere gilt ${\displaystyle \det(B)=0}$ wenn die vier Punkte in einer Ebene liegen.

Eine im Wesentlichen äquivalente Formel war schon im 15. Jahrhundert von Piero della Francesca angegeben worden. Im englischen Sprachraum wird sie häufig als Tartaglia's Formel bezeichnet.