Cauchyscher Integralsatz

Sei ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ ein Elementargebiet, also ein Gebiet, auf dem jede holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ eine Stammfunktion besitzt. Sterngebiete sind beispielsweise Elementargebiete. Der cauchysche Integralsatz besagt nun, dass

${\displaystyle \oint \limits _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0}$

für jede geschlossene Kurve ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to D}$ (wobei ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle a<b}$). Für das Integralzeichen mit Kreis siehe Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven.

Ist ${\displaystyle D}$ kein Elementargebiet, so ist die Aussage falsch. Zum Beispiel ist ${\displaystyle f\colon z\mapsto {\tfrac {1}{z}}}$ auf dem Gebiet ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ holomorph, dennoch verschwindet ${\displaystyle \textstyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz}$ nicht über jede geschlossene Kurve. Beispielsweise gilt

${\displaystyle \;\oint \limits _{\partial U_{r}(0)}{\frac {1}{z}}\,\mathrm {d} z=2\pi \mathrm {i} \neq 0}$

für die einfach durchlaufene Randkurve einer Kreisscheibe um ${\displaystyle 0}$ mit positivem Radius ${\displaystyle r}$.

Ist ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ offen und sind ${\displaystyle \alpha ,\beta \colon [0,1]\to D}$ zwei zueinander homotope Kurven in ${\displaystyle D}$, dann ist

${\displaystyle \int \limits _{\alpha }f(z)\,dz=\int \limits _{\beta }f(z)\,dz}$

für jede holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$.

Ist ${\displaystyle D}$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, dann verschwindet das Integral nach der Homotopie-Version für jede geschlossene Kurve, d. h. ${\displaystyle D}$ ist ein Elementargebiet.

Bei erneuter Betrachtung des obigen Beispiels bemerkt man, dass ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ nicht einfach zusammenhängend ist.

Ist ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ ein Gebiet und ${\displaystyle \Gamma }$ ein Zyklus in ${\displaystyle D}$, dann verschwindet

${\displaystyle \int \limits _{\Gamma }f(z)\,dz}$

genau dann für jede holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$, wenn ${\displaystyle \Gamma }$ nullhomolog in ${\displaystyle D}$ ist.

Es sei ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${\displaystyle a\in D}$ ein innerer Punkt und ${\displaystyle f\colon D\setminus \{a\}\to \mathbb {C} }$ holomorph. Sei ${\displaystyle U:=U_{r}(a)\setminus \{a\}\subset D}$ eine punktierte Umgebung, auf der ${\displaystyle f}$ holomorph ist. Sei ferner ${\displaystyle \gamma }$ eine vollständig in ${\displaystyle D}$ verlaufende geschlossene Kurve, die ${\displaystyle a}$ genau einmal positiv orientiert umläuft, d. h. für die Umlaufzahl gilt ${\displaystyle \operatorname {ind} _{\gamma }(a)=1}$ (insbesondere liegt ${\displaystyle a}$ nicht auf ${\displaystyle \gamma }$). Mit dem Integralsatz gilt nun

${\displaystyle \oint \limits _{\gamma }f(z)\,dz=\oint \limits _{\partial U}f(z)\,dz.}$

Durch Verallgemeinerung auf beliebige Umlaufzahlen von ${\displaystyle \gamma }$ erhält man

${\displaystyle \oint \limits _{\gamma }f(z)\,dz=\operatorname {ind} _{\gamma }(a)\oint \limits _{\partial U}f(z)\,dz.}$

Mithilfe der Definition des Residuums ergibt sich sogar

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\gamma }f(z)\,dz=\operatorname {ind} _{\gamma }(a)\operatorname {Res} _{a}f(z).}$

Der Residuensatz ist eine Verallgemeinerung dieser Vorgehensweise auf mehrere isolierte Singularitäten und auf Zyklen.

Es wird im Folgenden das Integral ${\displaystyle \;\oint \limits _{\partial U(a)}{\frac {1}{(z-a)^{n}}}\mathrm {d} z}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ bestimmt. Wähle als Integrationsweg ${\displaystyle \partial U(a)=\partial U_{r}(a)}$ einen Kreis mit Radius ${\displaystyle r}$ um ${\displaystyle a}$, also

${\displaystyle z=\gamma (t)=a+re^{2\pi \mathrm {i} t}\quad \Rightarrow \quad \mathrm {d} z={\frac {\partial \gamma }{\partial t}}\mathrm {d} t=2\pi ire^{2\pi \mathrm {i} t}\mathrm {d} t}$

Ergibt eingesetzt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\;\oint \limits _{\partial U_{r}(a)}{\frac {1}{(z-a)^{n}}}\mathrm {d} z&=\int \limits _{0}^{1}{\frac {2\pi \mathrm {i} re^{2\pi \mathrm {i} t}}{r^{n}e^{2\pi n\mathrm {i} t}}}\mathrm {d} t=2\pi \mathrm {i} r^{1-n}\int \limits _{0}^{1}e^{2\pi \mathrm {i} t(1-n)}\mathrm {d} t={\begin{cases}2\pi \mathrm {i} [t]_{0}^{1}&{\mbox{für}}\ n=1\\{\frac {r^{1-n}}{1-n}}[e^{2\pi \mathrm {i} t(1-n)}]_{0}^{1}&{\mbox{für}}\ n\neq 1\end{cases}}\\&={\begin{cases}2\pi \mathrm {i} &{\mbox{für}}\ n=1\\0&{\mbox{für}}\ n\neq 1\end{cases}}=2\pi \mathrm {i} \delta _{n,1}\end{aligned}}}$

Da man jede Funktion ${\displaystyle f(z)}$, die auf einem Kreisring um ${\displaystyle a}$ holomorph ist, in eine Laurent-Reihe entwickeln kann, ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$, ergibt sich bei der Integration um ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle \;\oint \limits _{\partial U(a)}f(z)\mathrm {d} z=\oint \limits _{\partial U(a)}\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\mathrm {d} z=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\oint \limits _{\partial U(a)}(z-a)^{n}\mathrm {d} z}$

Nun lässt sich obiges Ergebnis anwenden: ${\displaystyle \;\oint \limits _{\partial U_{r}(a)}(z-a)^{n}\mathrm {d} z=2\pi \mathrm {i} \delta _{n,-1}}$

${\displaystyle \;\oint \limits _{\partial U(a)}f(z)\mathrm {d} z=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}2\pi \mathrm {i} \delta _{n,-1}=2\pi \mathrm {i} \,c_{-1}=2\pi \mathrm {i} \,{\text{Res}}_{a}(f)}$,

wobei der Entwicklungskoeffizient ${\displaystyle c_{-1}}$ Residuum genannt wurde.

Der cauchysche Integralsatz ergibt sich als leichte Folgerung aus dem Satz von Stokes, wenn man den Wirtinger-Kalkül zum Einsatz bringt[1]. Dabei wird zum Beweis des Integralsatzes die Berechnung des Kurvenintegrals verstanden als Integration der komplexwertigen Differentialform

${\displaystyle \omega =f(z)dz}$

über die geschlossene Kurve ${\displaystyle C}$, die das einfach zusammenhängende und von ${\displaystyle C=\partial S}$ berandete Gebiet ${\displaystyle S}$ umläuft.

Der Wirtinger-Kalkül besagt nun, dass das Differential ${\displaystyle df}$ die Darstellung

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial z}}dz+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{d{\bar {z}}}}$

hat, woraus unmittelbar

${\displaystyle d{\omega }=df\wedge dz={{\frac {\partial f}{\partial z}}dz}\wedge dz+{{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{d{\bar {z}}}}\wedge dz}$

folgt.[2]

Nun ist zunächst grundsätzlich

${\displaystyle dz\wedge dz=0}$

Weiterhin bedeutet die vorausgesetzte Holomorphiebedingung für ${\displaystyle f}$ nach dem Wirtinger-Kalkül nichts weiter als

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}$  ,

was unmittelbar

${\displaystyle {{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{d{\bar {z}}}}\wedge dz=0}$

nach sich zieht.[3]

Insgesamt ergibt sich also:

${\displaystyle d{\omega }=0}$

und damit schließlich mittels Satz von Stokes:

${\displaystyle \int \limits _{C}f(z)dz=\int \limits _{\partial S}\omega =\int \limits _{S}\mathrm {d} \omega =\int \limits _{S}\mathrm {0} =0}$

Es lässt sich mit Hilfe des Integrallemmas von Goursat zeigen, dass sich aus der komplexen Differenzierbarkeit allein – also ohne die zusätzliche Annahme der Stetigkeit der Ableitungen! – bereits der cauchysche Integralsatz und dann auch die Existenz aller höheren Ableitungen ergibt. Dieser Zugang zum cauchyschen Integralsatz umgeht den Satz von Stokes und ist unter didaktischen Gesichtspunkten vorzuziehen.