Uniformer Raum

Bevor André Weil im Jahr 1937 die erste explizite Definition einer uniformen Struktur gab, wurden uniforme Konzepte überwiegend im Zusammenhang mit metrischen Räumen diskutiert. Nicolas Bourbaki präsentierten in ihrem Buch Topologie Générale eine Definition einer uniformen Struktur, die auf Nachbarschaften aufbaut, und John W. Tukey lieferte eine Definition, die auf uniformen Überdeckungen basiert. André Weil charakterisierte uniforme Räume mit Hilfe einer Familie von Pseudometriken.

Sei ${\displaystyle \Phi }$ ein Nachbarschaftssystem. Ein Teilsystem ${\displaystyle F}$ von ${\displaystyle \Phi }$ heißt Fundamentalsystem von ${\displaystyle \Phi }$, wenn jede Nachbarschaft aus ${\displaystyle \Phi }$ eine Nachbarschaft aus ${\displaystyle F}$ enthält (das heißt, dass ${\displaystyle F}$ eine Filterbasis von ${\displaystyle \Phi }$ ist).

Ein Fundamentalsystem spielt für die uniforme Struktur dieselbe Rolle, die eine Basis für die Topologie in allgemeinen topologischen Räumen spielt. Dies lässt sich so präzisieren: Bezeichne

${\displaystyle F(x):=\{N\in F:(x,x)\in N\}}$

die Menge der ${\displaystyle F}$-Nachbarschaften eines Punktes ${\displaystyle x}$, und sei

${\displaystyle F[x]:=\{U[x]:U\in F(x)\}}$.

Dann ist ${\displaystyle F[x]}$ eine Umgebungsbasis von ${\displaystyle x}$ und die Vereinigung ${\displaystyle \textstyle B=\bigcup _{x\in X}F[x]}$ aller Umgebungsbasen eine Basis der Topologie.

In metrischen Räumen werden Begriffe wie Stetigkeit und Gleichmäßigkeit gewöhnlich mit Hilfe von ${\displaystyle \delta }$ und ${\displaystyle \varepsilon }$ definiert, welche die Nähe numerisch beschreiben. In topologischen Räumen wird diese Anschauung mit Hilfe von Umgebungen ${\displaystyle O}$ eines Punktes ${\displaystyle x}$ ausgedrückt. Dabei ersetzt der Ausdruck ${\displaystyle a\in O}$ die Bezeichnung ${\displaystyle |x-a|<\delta }$. Die ${\displaystyle \delta }$-${\displaystyle \varepsilon }$-Definition der Stetigkeit überträgt sich dann direkt auf topologische Räume.

In uniformen Räumen ist ${\displaystyle a\in U[x]}$ der Ersatz für ${\displaystyle |x-a|<\delta }$. Weiter kann auch die ${\displaystyle \delta }$-${\displaystyle \varepsilon }$-Definition der gleichmäßigen Stetigkeit direkt in die entsprechende Definition in uniformen Räumen übersetzt werden.

Die uniforme Struktur erlaubt es, Nähe nicht nur, wie in allgemeinen topologischen Räumen, für jeden Punkt ${\displaystyle x}$ einzeln zu betrachten, sondern man hat einen gleichmäßigen Begriff von Nähe zur Verfügung, der sich auf den ganzen Raum anwenden lässt.

Die Axiome für Nachbarschaften garantieren ein nichtnumerisches Maß für die Nähe. Das vierte Axiom beinhaltet sowohl die Dreiecksungleichung als auch die Möglichkeit, Mengen zu halbieren.

Die Anschauung für eine gleichmäßige Überdeckungsstruktur ist, dass verschiedene Elemente einer Überdeckung als gleich groß betrachtet werden. Die Bedeutung der Sternverfeinerung ist, dass falls ${\displaystyle P<\ast Q}$ gilt, dann Mengen der Größe ${\displaystyle P}$ halb so groß sind wie Mengen der Größe ${\displaystyle Q}$.

Eine gleichmäßig stetige Funktion ist dadurch definiert, dass Urbilder von Nachbarschaften wiederum Nachbarschaften sind, oder äquivalent, dass Urbilder von gleichmäßigen Überdeckungsstrukturen wieder gleichmäßige Überdeckungsstrukturen sind.

So wie die stetigen Funktionen zwischen topologischen Räumen die topologischen Eigenschaften erhalten, erhalten gleichmäßig stetige Funktionen die uniformen Strukturen. Ein Isomorphismus zwischen uniformen Strukturen, also eine in beiden Richtungen gleichmäßig stetige Bijektion, heißt uniformer Isomorphismus.

Jede uniforme Struktur auf einer Menge ${\displaystyle X}$ induziert auch eine Topologie auf ${\displaystyle X}$. Dabei ist eine Teilmenge ${\displaystyle O}$ von ${\displaystyle X}$ genau dann offen, wenn für jedes ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle O}$ eine Nachbarschaft ${\displaystyle V}$ existiert, so dass ${\displaystyle V[x]}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle O}$ ist. Es ist möglich, dass verschiedene uniformen Strukturen dieselbe Topologie auf ${\displaystyle X}$ erzeugen. Die resultierende Topologie ist eine symmetrische Topologie, d. h. der Raum ist ein R₀-Raum.

Weiter ist jeder uniforme Raum ein vollständig regulärer Raum, und auf jedem vollständig regulären Raum kann eine uniforme Struktur definiert werden, welche die gegebene Topologie erzeugt.

Ein uniformer Raum ${\displaystyle X}$ ist genau dann ein Kolmogoroff-Raum, wenn der Durchschnitt aller Nachbarschaften die Diagonale ist. In diesem Fall ist ${\displaystyle X}$ sogar ein Tychonoff-Raum und somit insbesondere ein Hausdorff-Raum.

In Analogie zu vollständigen metrischen Räumen kann man auch Vollständigkeit in uniformen Räumen untersuchen. Anstelle von Cauchy-Folgen arbeitet man mit Cauchynetzen oder Cauchyfiltern.

Ein Cauchyfilter ${\displaystyle F}$ auf einem uniformen Raum ist ein Filter ${\displaystyle F}$, so dass für jede Nachbarschaft ${\displaystyle U}$ ein ${\displaystyle A\in F}$ mit ${\displaystyle A\times A\subseteq U}$ existiert. Ein uniformer Raum heißt vollständig, falls jeder Cauchyfilter konvergiert.

Wie bei metrischen Räumen hat jeder uniforme Raum eine Vervollständigung, das heißt, es existiert ein separierter uniformer Raum ${\displaystyle Y}$ und eine gleichmäßig stetige Abbildung ${\displaystyle i\colon X\to Y}$, so dass zu jeder gleichmäßig stetigen Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Z}$ in einen vollständigen, separierten, uniformen Raum ${\displaystyle Z}$ eine eindeutig bestimmte gleichmäßig stetige Abbildung ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ mit ${\displaystyle f=g\circ i}$ existiert. Ähnlich wie bei metrischen Räumen kann diese Vervollständigung über Äquivalenzklassen von Cauchyfiltern definiert werden. Dabei gilt ${\displaystyle F\approx G}$, falls ${\displaystyle F\cap G}$ ein Cauchyfilter ist. Für eine Nachbarschaft ${\displaystyle U}$ ist ${\displaystyle \{(F/\approx ,G/\approx )\colon \exists A\subseteq F\cap G,A\times A\subseteq U\}}$ eine Umgebung.

Stattdessen können auch minimale Filter bzw. runde Filter verwendet werden. Ein Filter ${\displaystyle F}$ heißt rund, falls ${\displaystyle A\in F}$ impliziert, dass eine Nachbarschaft ${\displaystyle U}$ und ein ${\displaystyle B\in F}$ existieren, so dass ${\displaystyle U[B]\subseteq A}$. Jede ${\displaystyle \approx }$-Äquivalenzklasse enthält genau einen minimalen bzw. runden Filter, somit kann die Vervollständigung auf der Menge der minimalen/runden Cauchyfiltern definiert werden.

Jeder metrische Raum ${\displaystyle (X,d)}$ besitzt eine uniforme Struktur, deren Topologie mit der von der Metrik erzeugten Topologie übereinstimmt. Dazu definiere man für jedes ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }$ die Nachbarschaft

${\displaystyle U_{\varepsilon }:=\{(x,y)\in X\!\times \!X\mid d(x,y)<\varepsilon \}}$

und die uniforme Struktur

${\displaystyle \Phi$ :=\{V\subset X\times X\mid \exists \varepsilon \in \mathbb {R} :U_{\varepsilon }\subset V\}.}

Diese Konstruktion macht die Verallgemeinerung der metrischen auf die uniformen Räume besonders augenfällig.

Beispiele aus der Theorie metrischer Räume zeigen, dass verschiedene uniforme Strukturen dieselbe Topologie erzeugen können. Sei zum Beispiel ${\displaystyle d_{1}(x,y)=|x-y|}$ die gewöhnliche Metrik auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle d_{2}(x,y)=|\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{y}|}$. Beide Metriken erzeugen die Standardtopologie auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$, die zugehörigen uniformen Strukturen sind dagegen verschieden. So ist ${\displaystyle \{(x,y):|x-y|<1\}}$ eine Nachbarschaft in der von ${\displaystyle d_{1}}$ erzeugten uniformen Struktur, aber nicht für diejenige von ${\displaystyle d_{2}}$. Dies drückt sich dadurch aus, dass die „Identität“

${\displaystyle {\begin{array}{lclc}\iota \colon &(\mathbb {R} ,d_{1})&\to &(\mathbb {R} ,d_{2})\\&x&\mapsto &x\end{array}}}$

zwar stetig aber nicht gleichmäßig stetig ist.[1]

Jede topologische Gruppe ${\displaystyle (G,\cdot )}$ (und damit speziell jeder topologische Vektorraum) wird zu einem uniformen Raum, wenn wir die Teilmengen ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle G\times G}$ als Nachbarschaften definieren, die eine Menge der Form ${\displaystyle \{(x,y)\colon x\cdot y^{-1}\in U\}}$ für eine Umgebung ${\displaystyle U}$ des neutralen Elementes von ${\displaystyle G}$ enthalten. Die so definierte uniforme Struktur heißt rechte uniforme Struktur auf ${\displaystyle G}$, da für jedes ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle G}$ die Rechtsmultiplikation ${\displaystyle x\to x\cdot a}$ gleichmäßig stetig ist. Man kann auch analog eine linke uniforme Struktur auf ${\displaystyle G}$ definieren. Die beiden uniformen Strukturen können verschieden sein, erzeugen aber dieselbe Topologie auf ${\displaystyle G}$. Wenn die Topologie einer topologischen Gruppe von einer linksinvarianten Metrik erzeugt wird, dann stimmt die linksuniforme Struktur der topologischen Gruppe mit uniformen Struktur als metrischer Raum überein. Beispielsweise stimmt die uniforme Struktur von ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+)}$ als topologische Gruppe mit der uniformen Struktur von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ als metrischer Raum (mit der Standard-Metrik) überein.

Jeder kompakte Hausdorff-Raum trägt eine eindeutige uniforme Struktur, die die gegebene Topologie induziert. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass stetige Funktionen auf kompakten Räumen gleichmäßig stetig sind und somit jeder Homöomorphismus auch uniformer Isomorphismus ist.

1. Gleichmäßige Stetigkeit von ${\displaystyle \iota }$ würde bedeuten, dass

   ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x,y\in \mathbb {R} :d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(x,y)<\varepsilon }$ .

   Es gilt aber:

   ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\forall \delta >0\;\exists x,y\in \mathbb {R} :d_{1}(x,y)=|x-y|<\delta \quad \land \quad d_{2}(x,y)=|\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{y}|>\varepsilon }$ .

   Man nehme nur ${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}>\varepsilon /(1-\mathrm {e} ^{-\delta /2})}$ und ${\displaystyle y=x-\delta /2}$ .

• Ioan M. James: Introduction to Uniform Spaces (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Bd. 144). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1990, ISBN 0-521-38620-9.
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.