Casimir-Operator

Angenommen, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ist eine ${\displaystyle n}$-dimensionale halbeinfache Lie-Algebra. Sei

${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}$

irgendeine Basis von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ und

${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n}}$

sei die Dualbasis von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ hinsichtlich einer festen invarianten Bilinearform (z. B. der Killingform) auf ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Das quadratische Casimir-Element ${\displaystyle \Omega }$ ist das durch die Formel

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}}$

gegebene Element der universellen einhüllenden Algebra ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$. Obschon sich die Definition des Casimir-Elements auf die direkte Wahl einer Basis in der Lie-Algebra bezieht, ist es einfach zu zeigen, dass das erzeugte Element ${\displaystyle \Omega }$ davon unabhängig ist. Darüber hinaus impliziert die Invarianz der Bilinearform, die in der Definition benutzt wurde, dass das Casimir-Element mit allen Elementen der Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ kommutiert und daher im Zentrum der universellen einhüllenden Algebra ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ liegt.

Sei ${\displaystyle \rho }$ eine beliebige Darstellung der Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ auf einem (gegebenenfalls unendlichdimensionalen) Vektorraum ${\displaystyle V}$. Dann ist die korrespondierende quadratische Casimir-Invariante ${\displaystyle \rho (\Omega )}$ der durch

${\displaystyle \rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i})}$

gegebene lineare Operator auf ${\displaystyle V}$.

Ein Sonderfall dieser Konstruktion spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis. Operiert eine zusammenhängende Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ mit zugehöriger Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$, so werden die Elemente von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ durch Differentialoperatoren erster Ordnung auf ${\displaystyle M}$ beschrieben. Sei ${\displaystyle \rho }$ die Darstellung auf dem Raum der glatten Funktionen auf ${\displaystyle M}$. In diesem Fall ist die durch obige Formel gegebene Casimir-Invariante der ${\displaystyle G}$-invariante Differentialoperator zweiter Ordnung auf ${\displaystyle M}$.

Man kann noch allgemeinere Casimir-Invarianten definieren; dies geschieht beispielsweise bei Untersuchungen von Pseudo-Differentialoperatoren in der Fredholm-Theorie.

• James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, 2. überarbeitete Auflage, Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5