Cartan-Unteralgebra

Es sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine Lie-Algebra. Eine Unteralgebra ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ist eine Cartan-Unteralgebra, wenn sie nilpotent und selbstnormalisierend ist, das heißt, wenn

• ${\displaystyle \underbrace {[{\mathfrak {a}},[{\mathfrak {a}},[\dotsb ,[{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}} _{n}]\dotsb ]]]=0}$  für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und
• ${\displaystyle \forall Y\not \in {\mathfrak {a}}\ \exists X\in {\mathfrak {a}}:\ \left[X,Y\right]\not \in {\mathfrak {a}}}$

gilt.

Eine Cartan-Unteralgebra von

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} ):\mathrm {Spur} (A)=0\right\}}$

ist die Algebra der Diagonalmatrizen

${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=\left\{\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}):\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=0\right\}}$.

Jede Cartan-Unteralgebra ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$ ist zu ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$ konjugiert.

Dagegen hat ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren, nämlich

${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)}$

und

${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{2}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)}$.

Eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem unendlichen Körper besitzt stets eine Cartan-Unteralgebra.

Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem Körper mit Charakteristik ${\displaystyle 0}$ gilt, dass alle Cartan-Unteralgebren dieselbe Dimension haben.

Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind alle Cartan-Unteralgebren zueinander konjugiert, und zwar unter der Gruppe, welche von den Automorphismen ${\displaystyle \exp(\mathrm {ad} (X))}$ erzeugt wird (für ${\displaystyle X}$ in der Lie-Algebra und ${\displaystyle \mathrm {ad} (X)}$ nilpotent).

Wenn ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine halbeinfache Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist, dann ist jede Cartan-Unteralgebra ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}}$ abelsch und die Einschränkung der adjungierten Darstellung ${\displaystyle \mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$ auf ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ist simultan diagonalisierbar mit ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ als Eigenraum zum Gewicht ${\displaystyle 0}$. Das heißt, es gibt eine Zerlegung

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in {\mathfrak {a}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

mit

${\displaystyle \mathrm {ad} (X)(Y)=\left[X,Y\right]=\alpha (X)Y\quad \forall X\in {\mathfrak {a}},Y\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

und

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }\not =0\Longrightarrow \alpha (X)\not =0\quad \forall X\in {\mathfrak {a}}}$.

Im Beispiel

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} ):\mathrm {Spur} (A)=0\right\},}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}=\left\{\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}):\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=0\right\}}$

ist, wenn ${\displaystyle e_{ij}}$ die Elementarmatrix mit Eintrag ${\displaystyle 1}$ an der Stelle ${\displaystyle (i,j)}$ und Einträgen ${\displaystyle 0}$ sonst bezeichnet

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{i\not =j}\mathbb {C} e_{ij}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in {\mathfrak {a}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

mit ${\displaystyle \mathbb {C} e_{ij}={\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ für

${\displaystyle \alpha (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})=\lambda _{i}-\lambda _{j}}$.

• Élie Cartan: Sur la structure des groupes de transformations finis et continus. Thèse, Paris 1894.
• Anthony W. Knapp: Lie groups beyond an introduction. (Progress in Mathematics, 140). Second edition. Birkhäuser, Boston, MA 2002, ISBN 0-8176-4259-5.