Cartan-Matrix

Zur Definition der Cartan-Matrizen werden einige Begriffe und Tatsachen aus der Theorie der Lie-Algebren benötigt, die hier kurz zusammengestellt werden. Es sei ${\displaystyle L}$ eine endlichdimensionale halbeinfache Lie-Algebra über dem Körper der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$. ${\displaystyle H}$ sei eine darin enthaltene Cartan-Unteralgebra. Für ${\displaystyle x\in L}$ sei

${\displaystyle \mathrm {ad} \,x:L\rightarrow L,\quad y\mapsto [x,y]}$

die sogenannte Adjunktion mit ${\displaystyle x}$. In der Theorie der Lie-Algebren zeigt man, dass durch ${\displaystyle \langle x,y\rangle$ :=\mathrm {Spur} ((\mathrm {ad} \,x)(\mathrm {ad} \,y))} eine symmetrische, nicht-ausgeartete Bilinearform definiert ist, die sogenannte Killing-Form. Deren Einschränkung auf ${\displaystyle H}$ ist ebenfalls nicht-ausgeartet, das heißt jedes Element des Dualraums ${\displaystyle \alpha \in H^{*}}$ ist von der Form

${\displaystyle \alpha _{x}:H\rightarrow \mathbb {C} ,\,y\mapsto \langle x,y\rangle }$

für ein eindeutig bestimmtes ${\displaystyle x\in H}$. Mittels des Vektorraumisomorphismus ${\displaystyle \iota :H\rightarrow H^{*},x\mapsto \alpha _{x}}$ überträgt man die Killing-Form zu einer nicht-ausgearteten Bilinearform auf ${\displaystyle H^{*}}$, das heißt man setzt ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle$ :=\langle \iota ^{-1}(\alpha ),\iota ^{-1}(\beta )\rangle } .

Weiter zeigt man, dass es eine endliche Menge ${\displaystyle \Phi \subset H^{*}\setminus \{0\}}$ linearer Funktionale ${\displaystyle \alpha :H\rightarrow \mathbb {C} }$ gibt, so dass

${\displaystyle L=H\oplus \sum _{\alpha \in \Phi }L_{\alpha }}$

wobei

${\displaystyle L_{\alpha }:=\{x\in L|\,\forall h\in H:\,\exists n\in \mathbb {N}$ :\,(\mathrm {ad} \,h-\alpha (h)\mathrm {id} _{H})^{n}x=0\}}

und ${\displaystyle L_{\alpha }}$ nicht der Nullraum ist. Aus dieser Menge ${\displaystyle \Phi }$ der sogenannten Wurzeln kann man eine Teilmenge ${\displaystyle \Phi _{0}\subset \Phi }$ auswählen, so dass jedes ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ eindeutige Linearkombination der Elemente aus ${\displaystyle \Phi _{0}}$ ist, wobei die Koeffizienten entweder alle positiv oder alle negativ sind. ${\displaystyle \Phi _{0}=\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{l}\}}$ heißt eine Menge von Fundamentalwurzeln, sie ist eine Vektorraumbasis der Cartan-Unteralgebra ${\displaystyle H}$.

Die Cartan-Matrix der Lie-Algebra ist definiert als die Matrix mit Koeffizienten ${\displaystyle A_{i,j}:=2{\frac {\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle }{\langle \alpha _{i},\alpha _{i}\rangle }},\quad i,j=1,\ldots l}$.[1][2]

Zwei Cartan-Matrizen heißen äquivalent, wenn sie durch Änderung der Anordnung der Basis auseinander hervorgehen. Da die Basisvektoren ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{l}}$ beliebig permutiert werden können, kann eine Cartan-Matrix natürlich nur bis auf Äquivalenz eindeutig bestimmt sein. Man kann zeigen, dass die Äquivalenzklasse der Cartan-Matrix nicht von den anderen Wahlmöglichkeiten in obiger Konstruktion abhängt, das heißt nicht von der Wahl der Cartan-Unteralgebra und auch nicht von der Wahl der Fundamentalwurzeln ${\displaystyle \Phi _{0}\subset \Phi }$.

• ${\displaystyle (2)}$ ist die einzige ${\displaystyle 1\times 1}$-Matrix, die eine Cartan-Matrix ist.
• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}}}$ ist Cartan-Matrix der dreidimensionalen, speziellen linearen Lie-Algebra.

Da wir unten eine vollständige Klassifikation aller Cartan-Matrizen angeben, erübrigen sich an dieser Stelle weitere Beispiele.

Sei ${\displaystyle A=(A_{i,j})_{i,j}}$ eine Cartan-Matrix. Dann gilt:

• ${\displaystyle A_{i,i}=2}$   für alle   ${\displaystyle i}$.
• ${\displaystyle A_{i,j}\in \{0,-1,-2,-3\}}$   für alle   ${\displaystyle i\not =j}$
• Wenn ${\displaystyle A_{i,j}\in \{-2,-3\}}$   so ist   ${\displaystyle A_{j,i}=-1}$
• ${\displaystyle A_{i,j}=0}$   genau dann, wenn   ${\displaystyle A_{j,i}=0}$
• ${\displaystyle A}$ ist regulär, die inverse Matrix hat nur nicht-negative rationale Koeffizienten.[3]
• Es gibt eine Diagonalmatrix ${\displaystyle D}$ und eine symmetrische Matrix ${\displaystyle B}$ mit ${\displaystyle A=DB}$.

Ist die Cartan-Matrix einer Lie-Algebra ${\displaystyle L}$ äquivalent zu einer Matrix der Form

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{pmatrix}}}$

mit Untermatrizen ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}}$, so heißt die Cartan-Matrix zerlegbar. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}}$ ihrerseits wieder Cartan-Matrizen sind. Dieser Zerlegung entspricht eine direkte Summenzerlegung

${\displaystyle L=L_{1}\oplus L_{2}}$

in Ideale ${\displaystyle L_{1}}$ und ${\displaystyle L_{2}}$, dabei ist ${\displaystyle A_{i}}$ Cartan-Matrix von ${\displaystyle L_{i}}$. Es genügt daher alle unzerlegbaren Cartan-Matrizen zu kennen, diese gehören dann zu einfachen Lie-Algebren.

Die Zuordnung

Isomorphieklassen endlichdimensionaler einfacher Lie-Algebren   ${\displaystyle \mapsto }$   Äquivalenzklassen von Cartan-Matrizen

ist eine vollständige Isomorphie-Invariante, d. h.

• Isomorphe endlichdimensionale einfache Lie-Algebren haben äquivalente Cartan-Matrizen.
• Endlichdimensionale einfache Lie-Algebren mit äquivalenten Cartan-Matrizen sind isomorph.

Man kann alle unzerlegbaren Cartan-Matrizen (bis auf Äquivalenz) angeben. Die Benennung in der folgenden Aufzählung folgt der üblichen Klassifikation endlichdimensionaler einfacher Lie-Algebren.[4][5]

${\displaystyle A_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-1\\&&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 1}$

${\displaystyle B_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-1\\&&&&&&&-2&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 2}$

${\displaystyle C_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-2\\&&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 3}$

${\displaystyle D_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&&\\&&&&&-1&2&-1&&\\&&&&&&-1&2&-1&-1\\&&&&&&&-1&2&\\&&&&&&&-1&&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 4}$

${\displaystyle E_{6}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&\\-1&2&-1&&&\\&-1&2&-1&-1&\\&&-1&2&&\\&&-1&&2&-1\\&&&&-1&2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle E_{7}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&\\-1&2&-1&&&&\\&-1&2&-1&&&\\&&-1&2&-1&-1&\\&&&-1&2&&\\&&&-1&&2&-1\\&&&&&-1&2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle E_{8}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&\\&-1&2&-1&&&&\\&&-1&2&-1&&&\\&&&-1&2&-1&-1&\\&&&&-1&2&&\\&&&&-1&&2&-1\\&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle F_{4}={\begin{pmatrix}2&-1&&\\-1&2&-1&\\&-2&2&-1\\&&-1&2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle G_{2}={\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}}$

In der Theorie der Lie-Algebren zeigt man mit einigem Aufwand, dass jede endlichdimensionale einfache Lie-Algebra eine Cartan-Matrix aus obiger Liste haben muss. Wesentlich schwieriger ist der Beweis, dass es zu jeder dieser Cartan-Matrizen ${\displaystyle A=(A_{i,j})_{i,j}}$ tatsächlich eine passende endlichdimensionale einfache Lie-Algebra gibt. Dass das in der Tat so ist, besagt der sogenannte Existenzsatz. Natürlich könnte man zu jeder der angegebenen Matrizen eine endlichdimensionale einfache Lie-Algebra angeben und nachrechnen, dass deren Cartan-Matrix die vorgegebene Matrix ist. In einer allgemeinen Konstruktion betrachtet man die von Erzeugern ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n},h_{1},\ldots ,h_{n},f_{1},\ldots ,f_{n}\}}$ frei erzeugte Lie-Algebra mit Relationen

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]-A_{i,j}e_{j}}$

${\displaystyle [h_{i},f_{j}]+A_{i,j}f_{j}}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]-h_{i}}$

${\displaystyle [e_{i},f_{j}]}$   für   ${\displaystyle i\not =j}$

${\displaystyle [e_{i},[e_{i}[\ldots [e_{i},e_{j}]]]]}$   mit ${\displaystyle i\not =j}$ und ${\displaystyle 1-A_{i,j}}$ Vorkommen von ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle [f_{i},[f_{i}[\ldots [f_{i},f_{j}]]]]}$   mit ${\displaystyle i\not =j}$ und ${\displaystyle 1-A_{i,j}}$ Vorkommen von ${\displaystyle f_{i}}$.

Von dieser Lie-Algebra kann man zeigen, dass es sich um eine endlichdimensionale einfache Lie-Algebra mit passender Cartan-Matrix handelt. Eine besondere Schwierigkeit liegt im Nachweis der endlichen Dimension.[6] Das ist der auf Jean-Pierre Serre zurückgehende Beweis des Existenzsatzes. Man beachte, dass diese allgemeine Konstruktion nur von den Daten der vorgelegten Cartan-Matrix abhängt. Das zeigt noch einmal, dass die Kenntnis der Cartan-Matrix die endlichdimensionale einfache Lie-Algebra bestimmt.

Die zusammenhängenden Dynkin-Diagramme

Die Cartan-Matrizen stehen in enger, wechselseitiger Beziehung zu den Dynkin-Diagrammen. Zu jeder Cartan-Matrix ${\displaystyle A=(A_{i,j})_{i,j}}$ mit unterem Index ${\displaystyle n}$ konstruiert man einen Graphen, den man dann das zugehörige Dynkin-Diagramm nennt, mit ${\displaystyle n}$ Knoten ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ und verbindet je zwei verschiedene Knoten ${\displaystyle x_{i}}$ und ${\displaystyle x_{j}}$ durch ${\displaystyle A_{i,j}A_{j,i}}$ Kanten. Sind ${\displaystyle x_{i}}$ und ${\displaystyle x_{j}}$ durch mehr als eine Kante verbunden, so setzt man noch einen Winkel > durch diese Kanten, wobei das spitze Ende genau dann zu ${\displaystyle x_{j}}$ zeigt, wenn ${\displaystyle |A_{j,i}|>|A_{i,j}|}$.[7] Aus dem Dynkin-Diagramm kann man die Cartan-Matrix zurückgewinnen. Die Unzerlegbarkeit auf der Seite der Cartan-Matrizen korrespondiert genau zum Zusammenhang der Dynkin-Diagramme. In nebenstehender Zeichnung sind alle Dynkin-Diagramme zu den unzerlegbaren Cartan-Matrizen ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$ angegeben.

1. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 6.1: The Cartan matrix
2. James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1972), ISBN 0-387-90052-7, Kapitel 11.1: Cartan matrix of ${\displaystyle \Phi }$
3. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Satz 10.18
4. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 6.4: Classification of Cartan matrices
5. James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1972), ISBN 0-387-90052-7, Kapitel 11.4: Classification Theorem
6. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 7.5: The existence theorem
7. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 6.4: Classification Cartan matrices