Äußere Ableitung

Man kann die äußere Ableitung auch mit Hilfe der Formel

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathrm {d} \omega (X_{0},\ldots ,X_{k})&=&\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}X_{i}(\omega (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k}))\\[0.5em]&+&\sum _{0\leq i<j\leq k}(-1)^{i+j}\omega ([X_{i},X_{j}],X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k})\end{array}}}$

darstellen[1], dabei bedeutet das Zirkumflex ${\displaystyle {\hat {}}}$ in ${\displaystyle {\hat {X}}_{i}}$, dass das entsprechende Argument wegzulassen ist, ${\displaystyle [.,.]}$ bezeichnet die Lie-Klammer.

Sei ${\displaystyle p\in M}$ ein Punkt auf einer glatten Mannigfaltigkeit. Die äußere Ableitung von ${\displaystyle \omega \in {\mathcal {A}}^{k}(M)}$ hat in diesem Punkt die Darstellung

${\displaystyle \mathrm {d} \omega |_{p}=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}\sum _{i=1}^{n}\left.{\frac {\partial a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}{\partial x_{i}}}\right|_{p}\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}}$,

dabei hat ${\displaystyle \omega }$ die lokale Darstellung

${\displaystyle \omega =\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}.}$

Die äußere Ableitung ${\displaystyle \mathrm {d} ^{0}}$ von ${\displaystyle 0}$-Formen ist einfach durch die totale Ableitung gegeben und stets kovariant (siehe auch kovariante Ableitung) und antisymmetrisch. Die äußere Ableitung einer ${\displaystyle k}$-Form ${\displaystyle \omega }$ kann bis auf ein Vielfaches als Antisymmetrisierung des formalen Tensorprodukts von ${\displaystyle \mathrm {d} ^{0}}$ mit der Form angesehen werden:

${\displaystyle \mathrm {d} ^{k}\omega =(k+1)\operatorname {Alt} (\mathrm {d} ^{0}\otimes \omega )}$

In Indexnotation:

${\displaystyle (\mathrm {d} ^{k}\omega )_{i_{1},\ldots ,i_{k+1}}=(k+1)\partial _{[i_{1}}\omega _{i_{2},\ldots ,i_{k+1}]}}$[2]

Seien ${\displaystyle M,\ N}$ zwei glatte Mannigfaltigkeiten und ${\displaystyle f\colon M\to N}$ eine einmal stetig differenzierbare Funktion. Dann ist der Rücktransport ${\displaystyle f^{*}\colon {\mathcal {A}}(N)\to {\mathcal {A}}(M)}$ ein Homomorphismus, so dass

1. ${\displaystyle f^{*}(\psi \wedge \omega )=f^{*}\psi \wedge f^{*}\omega }$ und
2. ${\displaystyle \,f^{*}(\mathrm {d} \omega )=\mathrm {d} (f^{*}\omega )}$

gilt.

In Worten sagt man auch: Produktbildung bzw. äußere Differentiation sind mit der „pullback“-Relation verträglich.

Diese beiden Isomorphismen werden durch die Riemannsche Metrik induziert. Sie bilden Tangentialvektoren auf Kotangentialvektoren ab und umgekehrt. Zum Verständnis reicht es, an dieser Stelle die Wirkung der Isomorphismen im dreidimensionalen Raum zu demonstrieren. Sei ${\displaystyle F\in T_{p}\mathbb {R} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{3}}$ ein Vektorfeld, so gilt für den Flat-Operator in Standardkoordinaten von ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F^{\flat }=F^{1}\mathrm {d} x_{1}+F^{2}\mathrm {d} x_{2}+F^{3}\mathrm {d} x_{3}\in T_{p}^{*}\mathbb {R} ^{3}\cong {\mathcal {A}}^{1}(\mathbb {R} ^{3})}$.

Der Flat-Operator bildet also Vektorfelder in ihren Dualraum ab. Der Sharp-Operator ist die dazu inverse Operation. Sei ${\displaystyle \nu \in T_{p}^{*}\mathbb {R} ^{3}\cong {\mathcal {A}}^{1}(\mathbb {R} ^{3})}$ ein Kovektorfeld (bzw. eine 1-Form), so gilt (ebenfalls Standardkoordinaten)

${\displaystyle \nu ^{\sharp }=\nu _{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+\nu _{2}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}+\nu _{3}{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\in T_{p}\mathbb {R} ^{3}}$.

Das Kreuzprodukt ist zwar kein Differentialoperator und wird zudem in der Vektoranalysis nur für dreidimensionale Vektorräume definiert. Trotzdem ist es, insbesondere für die Definition der Rotation, sehr wichtig: Sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum und ${\displaystyle v,w\in \Lambda ^{k}V}$ zwei Elemente einer äußeren Potenz von ${\displaystyle V}$, dann ist das verallgemeinerte Kreuzprodukt definiert durch

${\displaystyle v\times w=\left(\star (v^{\flat }\wedge w^{\flat })\right)^{\sharp }}$.[3]

Für eine Begründung dieser Definition siehe unter äußere Algebra.

Es sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ eine partiell differenzierbare Funktion und auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sei das Standardskalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ gegeben. Der Gradient der Funktion ${\displaystyle f}$ im Punkt ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ ist für beliebiges ${\displaystyle h\in \mathbb {R} ^{n}}$ der durch die Forderung

${\displaystyle \mathrm {d} f(a)h=\langle \nabla f(a),h\,\rangle }$

eindeutig bestimmte Vektor ${\displaystyle \nabla f(a)}$. Mit Hilfe des Differentialformen-Kalküls kann man den Gradienten auf einer Riemann’schen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ durch

${\displaystyle \nabla f:=(\mathrm {d} f)^{\sharp }}$

definieren. Da die Menge der 0-Formen nach Definition gleich der Menge der beliebig oft differenzierbaren Funktionen ist, verallgemeinert diese Definition den Gradienten von Funktionen. Dies lässt sich schnell durch eine kurze Rechnung einsehen. Ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ eine glatte Funktion, so gilt

${\displaystyle (\mathrm {d} f)^{\sharp }={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x^{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\mathrm {d} x^{2}+{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\mathrm {d} x^{3}\end{pmatrix}}^{\sharp }={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}.}$

In euklidischen Vektorräumen notiert man dies häufig wie folgt:

${\displaystyle (\mathrm {d} f)^{\sharp }={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}^{\sharp }={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\\{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}.}$

In der Vektoranalysis ist die Rotation eine Abbildung ${\displaystyle \mathrm {rot} \colon T_{p}\mathbb {R} ^{3}\to T_{p}\mathbb {R} ^{3}}$. Für allgemeine Vektorfelder gilt

${\displaystyle \mathrm {rot} (f)=\nabla \times f=\left(\star \left(\mathrm {d} f^{\flat }\right)\right)^{\sharp }}$.

Folgende Rechnung zeigt, dass man für die Dimension ${\displaystyle n=3}$ den bekannten Ausdruck für die Rotation erhält:

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&\mathrm {d} (f_{1}\cdot \mathrm {d} x_{1}+f_{2}\cdot \mathrm {d} x_{2}+f_{3}\cdot \mathrm {d} x_{3})\\=&\mathrm {d} f_{1}\wedge \mathrm {d} x_{1}+\mathrm {d} f_{2}\wedge \mathrm {d} x_{2}+\mathrm {d} f_{3}\wedge \mathrm {d} x_{3}\\[0.5em]=&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\cdot \mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{1}+{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}\cdot \mathrm {d} x_{2}\wedge \mathrm {d} x_{1}+{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{3}}}\cdot \mathrm {d} x_{3}\wedge \mathrm {d} x_{1}\\+&{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}\cdot \mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}\cdot \mathrm {d} x_{2}\wedge \mathrm {d} x_{2}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{3}}}\cdot \mathrm {d} x_{3}\wedge \mathrm {d} x_{2}\\+&{\frac {\partial f_{3}}{\partial x_{1}}}\cdot \mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{3}+{\frac {\partial f_{3}}{\partial x_{2}}}\cdot \mathrm {d} x_{2}\wedge \mathrm {d} x_{3}+{\frac {\partial f_{3}}{\partial x_{3}}}\cdot \mathrm {d} x_{3}\wedge \mathrm {d} x_{3}\\[0.5em]=&\left({\frac {\partial f_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} x_{2}\wedge \mathrm {d} x_{3}+\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial f_{3}}{\partial x_{1}}}\right)\cdot \mathrm {d} x_{3}\wedge \mathrm {d} x_{1}+\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}\right)\cdot \mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}\end{array}}}$

Diese Formel erhält man sofort, indem man die Definition des Gradienten in die des Kreuzproduktes einsetzt.

Ebenso gibt es eine Verallgemeinerung der Divergenz, diese lautet

${\displaystyle \mathrm {div} (f)=\nabla \cdot f=\star \mathrm {d} (\star f\,^{\flat }).}$

Sei ${\displaystyle M}$ eine glatte Riemann’sche Mannigfaltigkeit, so ist der Hodge-Laplace-Operator definiert durch

${\displaystyle \Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} \,.}$

Eine Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ heißt harmonisch, wenn sie die Laplace-Gleichung ${\displaystyle \Delta f=0}$ erfüllt. Analog definiert man die harmonischen Differentialformen. Eine Differentialform ${\displaystyle \omega \in {\mathcal {A}}(M)}$ heißt harmonisch, falls die Hodge-Laplace-Gleichung ${\displaystyle \Delta \omega =0}$ erfüllt ist. Mit ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{k}(M)}$ wird die Menge aller harmonischen Formen auf ${\displaystyle M}$ notiert. Dieser Raum ist aufgrund der Hodge-Zerlegung isomorph zur entsprechenden De-Rham-Kohomologiegruppe.

Der Hodge-Laplace-Operator hat folgende Eigenschaften:

1. ${\displaystyle \,\star \Delta =\Delta \star }$, falls also ${\displaystyle \omega }$ harmonisch ist, so ist auch ${\displaystyle \star \omega }$ harmonisch.
2. Der Operator ${\displaystyle \Delta }$ ist selbstadjungiert bezüglich der Riemannschen Metrik ${\displaystyle g}$, das heißt, für alle ${\displaystyle \omega ,\nu \in {\mathcal {A}}(M)}$ gilt ${\displaystyle g(\Delta \omega ,\nu )=g(\omega ,\Delta \nu )}$.
3. Notwendig und hinreichend für die Gleichung ${\displaystyle \Delta \omega =0}$ ist, dass ${\displaystyle \mathrm {d} \omega =0}$ und ${\displaystyle \delta \omega =0}$ gelten.