Carleman-Ungleichung

Sei ${\displaystyle (a_{k})_{k}=(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$ eine Folge reeller, nicht-negativer Zahlen. Bezeichne ${\displaystyle e}$ die eulersche Zahl ${\displaystyle e\approx 2{,}71828\ldots }$. Dann gilt:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\sqrt[{k}]{(a_{1}a_{2}\ldots a_{k})}}\leq e\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}~\,}$.

Dabei ist ${\displaystyle e}$ die kleinste Zahl, die diese Aussage erfüllt.

Wegen ${\displaystyle {\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}}$ ist ${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{k}}\quad }$ (Teleskopsumme)

und aus ${\displaystyle {\frac {1}{e^{n}}}<\prod _{k=1}^{n}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{k}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {(k+1)k^{k}}{(k+1)^{k+1}}}={\frac {(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}={\frac {n!}{(n+1)^{n}}}}$ folgt ${\displaystyle {\frac {1}{e}}<{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n+1}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}k\,a_{k}=\sum _{1\leq k\leq n}{\frac {1}{n(n+1)}}k\,a_{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}k\,a_{k}}$ und das ist nach der AM-GM-Ungleichung

${\displaystyle \geq \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}(k\,a_{k})}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n+1}}{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\geq {\frac {1}{e}}\sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\qquad \Box }$