Cardanische Formeln

(Dann ist auch ${\displaystyle q=0}$.)
In diesem Fall ist ${\displaystyle z=0}$ die einzige (dreifache) Lösung mit dem Endergebnis:

${\displaystyle x_{1,2,3}=-{\frac {B}{3A}}}$

(Dann ist auch ${\displaystyle q\neq 0}$.)
In diesem Fall wählt man ${\displaystyle u=v}$ reell. Nach den obigen Formeln gibt es dann eine einfache reelle Lösung

${\displaystyle z_{1}=2u={\sqrt[{3}]{-4q}}={\sqrt[{3}]{\frac {q^{3}}{-{\frac {q^{2}}{4}}}}}={\sqrt[{3}]{\frac {q^{3}}{\frac {p^{3}}{27}}}}={\frac {3q}{p}}}$,

und eine doppelte reelle Lösung

${\displaystyle z_{2,3}\;=u\varepsilon _{2}+u\varepsilon _{3}\;=-u={\sqrt[{3}]{\frac {q}{2}}}=-{\frac {3q}{2p}}}$.

Somit erhält man die Lösungen

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}x_{1}&=-\displaystyle {\frac {B}{3A}}+{\frac {3q}{p}}&=\displaystyle {\frac {B^{3}\ -\ 4ABC\ +\ 9A^{2}D}{3A^{2}C\ -\ AB^{2}}}\\x_{2,3}&=-\displaystyle {\frac {B}{3A}}-{\frac {3q}{2p}}&=\displaystyle {\frac {BC\ -\ 9AD}{6AC\ -\ 2B^{2}}}\end{array}}}$

Die Quadratwurzeln ${\displaystyle \pm {\sqrt {-\Delta }}=\pm {\sqrt {{\tfrac {q^{2}}{4}}+{\tfrac {p^{3}}{27}}}}}$ sind reell, und man wählt für ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ jeweils die reellen dritten Wurzeln ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{t_{1}}}}$ bzw. ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{t_{2}}}}$. Es gibt genau eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen, die nach den obigen Formeln durch

${\displaystyle {\begin{array}{ll}z_{1}&=u+v\\z_{2,3}&=-\displaystyle {\frac {u+v}{2}}\pm \displaystyle {\frac {u-v}{2}}\,\mathrm {i} {\sqrt {3}}\end{array}}}$

gegeben sind.

Somit erhält man die Lösungen

${\displaystyle {\begin{array}{ll}x_{1}&=-\displaystyle {\frac {B}{3A}}+u+v\\x_{2,3}&=-\displaystyle {\frac {B}{3A}}-\displaystyle {\frac {u+v}{2}}\pm \displaystyle {\frac {u-v}{2}}\,\mathrm {i} {\sqrt {3}}.\end{array}}}$

Allerdings ist das Ausziehen der Kubikwurzeln nicht immer so einfach. Cardano führt als Beispiel an: ${\displaystyle z^{3}+6z-20=(z-2)(z^{2}+2z+10)=0}$. Hier ist ${\displaystyle \Delta =-(20/2)^{2}-(6/3)^{3}=-108}$ und wir wählen ${\displaystyle \textstyle u={\sqrt[{3}]{10+{\sqrt {108}}}}=1+{\sqrt {3}}}$ und ${\displaystyle \textstyle v={\sqrt[{3}]{10-{\sqrt {108}}}}=1-{\sqrt {3}}}$ reell. Somit ergibt sich ${\displaystyle z_{1}=2}$ und ${\displaystyle z_{2,3}=-1\pm 3\mathrm {i} }$. Für die Techniken zum Ausziehen von verschachtelten Wurzeln sei auf die Fachliteratur verwiesen.

Die Quadratwurzeln ${\displaystyle \pm {\sqrt {-\Delta }}}$ sind rein-imaginär, und die Lösungen ${\displaystyle t_{1,2}}$ der quadratischen Resolvente konjugiert komplex. Dementsprechend können, ja müssen, auch   ${\displaystyle u_{i}=\varepsilon _{i}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{1}}}}$   und   ${\displaystyle v_{j}=\varepsilon _{j}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{2}}}}$   konjugiert komplex zueinander gewählt werden (was mit ${\displaystyle v_{i}:=-{\tfrac {p}{3u_{i}}}}$ automatisch herauskommt), so dass sich mit   ${\displaystyle z_{i}=u_{i}+v_{i}=u_{i}+{\overline {u_{i}}}=2\operatorname {Re} (u_{i})}$   drei unterschiedliche reelle Lösungen ergeben.

Bei der Bestimmung von ${\displaystyle u}$ oder ${\displaystyle v}$ kommen jedoch dritte Wurzeln aus nicht-reellen Zahlen vor, wofür es zur Zeit von Cardano keine Lösung gab und weshalb dieser Fall casus irreducibilis genannt wurde. Mithilfe der trigonometrischen Funktionen können die Lösungen jedoch auch reell berechnet werden: Nach einem Additionstheorem, das sich leicht mit dem Satz von de Moivre herleiten lässt, gilt für alle ${\displaystyle \alpha }$ die Beziehung

${\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {\cos 3\alpha +3\cos \alpha }{4}}\qquad \qquad (1)}$

Schreibt man

${\displaystyle 0=z^{3}+p\cdot z+q}$

mit Hilfe des Ansatzes ${\displaystyle z=r\cdot \cos \alpha }$ um, ergibt sich

${\displaystyle 0=r^{3}\cdot \cos ^{3}\alpha +p\cdot r\cdot \cos \alpha +q}$

Setzt man hierin ${\displaystyle (1)\,}$ ein, dann entsteht

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=r^{3}\cdot {\frac {\cos 3\alpha +3\cos \alpha }{4}}+p\cdot r\cdot \cos \alpha +q\\&={\frac {r^{3}}{4}}\cos 3\alpha +\left({\frac {3}{4}}r^{2}+p\right)\cdot r\cdot \cos \alpha +q\qquad \quad (2)\\&\,={\sqrt {-{\frac {4}{27}}\,p^{3}}}\cdot \cos 3\alpha +q\end{aligned}}}$

Dabei wurde ${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {-{\frac {4}{3}}\,p}}}$ gewählt, so dass der Klammerausdruck in (2) verschwindet. Es ergibt sich

${\displaystyle \cos 3\alpha =-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\quad \iff \quad \alpha =\pm {\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)+{\frac {2}{3}}k\pi =\pm {\frac {1}{3}}\phi +{\frac {2}{3}}k\pi ,}$

wobei ${\displaystyle \phi$ :=\arccos {\Bigl (}\!\!-\!{\tfrac {q}{2}}\cdot \textstyle {\sqrt {-{\tfrac {27}{p^{3}}}}}{\Bigr )}} und ${\displaystyle k}$ eine beliebige ganze Zahl ist.

Die Lösungen haben die Form ${\displaystyle z_{i}=r\cdot \cos \alpha _{i}}$.

Wegen ${\displaystyle \cos(-{\tfrac {1}{3}}\phi +{\tfrac {2}{3}}k\pi )=\cos({\tfrac {1}{3}}\phi +{\tfrac {2}{3}}(-k)\pi )}$ kann bei Durchlaufen aller ganzzahligen ${\displaystyle k}$ das Doppelvorzeichen ohne Verkleinerung der Lösungsmenge weggelassen werden.

Wegen ${\displaystyle \cos({\tfrac {\phi }{3}}+{\tfrac {2(k+3)\pi }{3}})=\cos({\tfrac {\phi }{3}}+{\tfrac {2k\pi }{3}}+2\pi )=\cos({\tfrac {\phi }{3}}+{\tfrac {2k\pi }{3}})}$ sind die ${\displaystyle z_{i}}$ für höchstens drei aufeinander folgende ${\displaystyle k}$ verschieden.

Da bei ${\displaystyle \Delta >0}$ drei verschiedene Lösungen existieren, sind die ${\displaystyle z_{i}}$ für mindestens drei solche ${\displaystyle k}$ verschieden. ${\displaystyle k=-1,0,1}$ liefert mit den Vereinfachungen

${\displaystyle \cos {\big (}\alpha -{\tfrac {2\pi }{3}}{\big )}=\cos {\big (}{\tfrac {2\pi }{3}}-\alpha {\big )}=-\cos {\big (}\pi -{\big (}{\tfrac {2\pi }{3}}-\alpha {\big )}{\big )}=-\cos {\big (}\alpha +{\tfrac {\pi }{3}}{\big )}}$ und

${\displaystyle \cos {\big (}\alpha +{\tfrac {2\pi }{3}}{\big )}=-\cos {\big (}\pi -{\big (}{\tfrac {2\pi }{3}}+\alpha {\big )}{\big )}=-\cos {\big (}{\tfrac {\pi }{3}}-\alpha {\big )}=-\cos {\big (}\alpha -{\tfrac {\pi }{3}}{\big )}}$

die folgenden drei Lösungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{2}&=-\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)+{\frac {\pi }{3}}\right)\\[.7em]z_{1}&=\quad {\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)\right)\\[.7em]z_{3}&=-\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)-{\frac {\pi }{3}}\right)\end{aligned}}}$

Die Gleichung ${\displaystyle Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0}$ hat also die folgenden drei Lösungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=-{\frac {B}{3A}}-\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)+{\frac {\pi }{3}}\right)\\[.7em]x_{1}&=-{\frac {B}{3A}}+\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)\right)\\[.7em]x_{3}&=-{\frac {B}{3A}}-\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)-{\frac {\pi }{3}}\right)\end{aligned}}}$

Beispiel aus der Trigonometrie

Im regulären Vierzehneck entspricht das Verhältnis der Seite ${\displaystyle s}$ zum Umkreisradius ${\displaystyle r}$ dem Wert ${\displaystyle x:=2\sin \!{\tfrac {\pi }{14}}}$, der die folgende kubische Gleichung erfüllt:

${\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x+1=0}$

Durch kubische Ergänzung entsteht:

${\displaystyle (3x-1)^{3}-21(3x-1)+7=0}$

Mit der Cardanoschen Formel ergibt sich im Casus irreduzibilis das folgende reelle Lösungstriplett

${\displaystyle x_{1}=2\sin({\tfrac {1}{14}}\pi )={\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {7}}\sin[{\tfrac {1}{3}}\arcsin({\tfrac {1}{14}}{\sqrt {7}})]\,\;\;\;\approx 0{,}445041868}$

${\displaystyle x_{2}=-2\sin({\tfrac {3}{14}}\pi )={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {7}}\cos[{\tfrac {1}{3}}\arccos({\tfrac {1}{14}}{\sqrt {7}})]\approx -1{,}246979604}$

${\displaystyle x_{3}=2\cos({\tfrac {1}{7}}\pi )={\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {7}}\cos[{\tfrac {1}{3}}\arccos(-{\tfrac {1}{14}}{\sqrt {7}})]\;\approx 1{,}801937736}$

mit ${\displaystyle x_{1}}$ als dem ${\displaystyle s/r}$-Verhältnis im regulären Vierzehneck.

Zusammenhang zwischen Vorzeichen der Diskriminante Δ und der Anzahl der Nullstellen

Die Diskriminante kann über die Differenzialrechnung hergeleitet werden. Wie in der Graphik zu erkennen ist, kann die Gleichung nur dann genau eine reelle Lösung und zwei nicht-reelle Lösungen besitzen, wenn beide Extremstellen oberhalb oder unterhalb der ${\displaystyle x}$-Achse liegen oder keine Extremstellen existieren, im Falle dreier verschiedener reeller Lösungen befindet sich der Hochpunkt (Extremstelle: Maximum) oberhalb und der Tiefpunkt (Extremstelle: Minimum) unterhalb der ${\displaystyle x}$-Achse und im Falle mehrfacher reeller Nullstellen befinden sich Extremstellen auf der ${\displaystyle x}$-Achse. Diese sind im Falle einer doppelten Nullstelle Hoch- bzw. Tiefpunkte und im Falle einer dreifachen Nullstelle Sattelpunkte.

Extremstellen einer Funktion sind dadurch gekennzeichnet, dass dort ihre Steigung null ist. Die Steigung einer Funktion ${\displaystyle f}$ im Punkt ${\displaystyle P(x_{1}\mid f(x_{1}))}$ ergibt sich aus der Gleichung:

${\displaystyle f'(x_{1})=\lim _{x_{1}\to x_{0}}{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$   (mit ${\displaystyle h=x_{1}-x_{0}}$)

${\displaystyle f'}$ meint die erste Ableitungsfunktion.
${\displaystyle f''}$ bezeichnet die zweite Ableitungsfunktion. ${\displaystyle f''=0}$ gilt genau dann, wenn ein Wendepunkt vorliegt.
Im Falle ${\displaystyle f''=f'=0}$ liegt ein Sattelpunkt vor.

Schreiben wir ${\displaystyle z^{3}+pz+q=0}$ als Funktion ${\displaystyle f(z)}$, so sieht diese wie folgt aus:

${\displaystyle f(z)=z^{3}+pz+q}$

Deren erste und zweite Ableitung sind:

${\displaystyle f'(z)=3z^{2}+p}$ und

${\displaystyle f''(z)=6z}$.

Löst man die beiden Differenzialgleichungen:

Extremstellen: ${\displaystyle f'(z_{E1,E2})=3z^{2}+p=0}$ und

Wendepunkte: ${\displaystyle f''(z_{W})=6z}$,

so erhält man:

${\displaystyle z_{E1,E2}=\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}}}$ und

${\displaystyle z_{W}=0}$.

Deren Funktionswerte sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z_{E1,E2})&=z_{E1,E2}^{3}+p\cdot z_{E1,E2}+q\\&=(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})^{3}+p\cdot (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})+q\\&=(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot ((\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})^{2}+p)+q\\&=(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot ((\left({\dfrac {-p}{3}}\right))+p)+q\\&=(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot ((\left({\dfrac {2p}{3}}\right)))+q\end{aligned}}}$

und ${\displaystyle f(z_{W})=z_{W}^{3}+p\cdot z_{W}+q=0^{3}+p\cdot 0+q=q}$.

Die erste Lösung lässt sich folgendermaßen umformen:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(z_{E1,E2})=z_{E1,E2}^{3}+p\cdot z_{E1,E2}+q=(\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)+q\end{array}}}$

${\displaystyle (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)+q=0\Leftrightarrow \ (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)=-q\Leftrightarrow \ (\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)=q\Leftrightarrow \ \left({\dfrac {-p}{3}}\right)\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)^{2}=-2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}=q^{2}\qquad \qquad (1)}$

${\displaystyle (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)+q>0\Leftrightarrow \ (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)>-q\Leftrightarrow \ (\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<q\qquad \qquad (2)}$

${\displaystyle (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)+q<0\Leftrightarrow \ (\pm {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<-q\Leftrightarrow \ (\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)>q\qquad \qquad (3)}$

In Fall (2) und (3) darf man nicht problemlos quadrieren, da sich nach der Quadrierung das Relationszeichen gemäß der Inversionsregel umkehren kann. ${\displaystyle q}$ wiederum kann positiv oder negativ sein, sodass man mit Hilfe von ${\displaystyle |q|}$ („Betrag von q“) vorgehen soll. Insgesamt sind vier Teilfälle zu unterscheiden. In den Teilfällen (a) und (b) ist jeweils die linke Seite positiv, in den Teilfällen (c) und (d) ist jeweils die linke Seite negativ.

Zuerst der Fall (2):

Linke Seite > 0, q > 0

${\displaystyle (\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<q\Leftrightarrow \ |({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|<|q|\Rightarrow \ \left({\dfrac {-p}{3}}\right)\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)^{2}=-2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}<q^{2}\qquad \qquad (2a)}$

Linke Seite > 0, q ≤ 0

${\displaystyle (\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<q\Leftrightarrow \ 0<|({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|<-|q|\leq 0}$ ist eine falsche Aussage ${\displaystyle \qquad \qquad (2b)}$

Linke Seite ≤ 0, q > 0

${\displaystyle (\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<q\Leftrightarrow \ -|({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|<|q|\Leftrightarrow \ |({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|>-|q|}$ ist immer wahr ${\displaystyle \qquad \qquad (2c)}$

Linke Seite ≤ 0, q ≤ 0

${\displaystyle (\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)<q\Leftrightarrow \ -|({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|<-|q|\leq 0\Leftrightarrow \ |({\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}})\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)|>|q|\geq 0\Rightarrow \ \left({\dfrac {-p}{3}}\right)\cdot \left({\dfrac {2p}{3}}\right)^{2}=-2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}>q^{2}\qquad \qquad (2d)}$

Der Fall (3) führt zu analogen Ergebnissen, nur in veränderter Reihenfolge.

Aus der Umformulierung der Gleichungen (erst Division durch 4, danach bringt man den linken Ausdruck mit ${\displaystyle p}$ auf die rechte Seite) ergibt sich:

${\displaystyle -2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}=q^{2}\Leftrightarrow \left({\dfrac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}=0\qquad \qquad (1)}$

${\displaystyle -2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}>q^{2}\Leftrightarrow \left({\dfrac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}<0\qquad \qquad (2)}$

${\displaystyle -2^{2}\cdot \left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}<q^{2}\Leftrightarrow \left({\dfrac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\dfrac {p}{3}}\right)^{3}>0\qquad \qquad (3)}$

${\displaystyle \Delta$ :=-{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}

Hat der Ring ${\displaystyle R}$ der Koeffizienten die Charakteristik ${\displaystyle \chi (R)=2}$ oder ${\displaystyle \chi (R)=3~,}$ dann lassen sich die angegebenen Formeln wegen der Divisionen durch ${\displaystyle \chi }$ nicht anwenden. Näheres dazu in Kubische Gleichung#Charakteristik 2 und 3.

Für andere Charakteristiken und für komplexes ${\displaystyle R=\mathbb {C} }$ gilt im Prinzip die cardanische Formel. Es gibt aber bei Nicht-Geordnetheit von ${\displaystyle R}$ nur zwei Fälle:

• ${\displaystyle \Delta =0}$: Dies ist auch in diesen Fällen das Kriterium für mehrfache Nullstellen. Die oben für diesen Fall angegebenen Formeln gelten unverändert.
• ${\displaystyle \Delta \neq 0}$: Die oben für den Fall ${\displaystyle \Delta <0}$ angegebenen Formeln gelten analog und stellen den „algebraischen“ Weg der Auflösung durch Radikale dar, wobei die beiden dritten Wurzeln wie im reellen Fall so zu wählen sind, dass ihr Produkt ${\displaystyle -{\tfrac {p}{3}}}$ ergibt.[1]
  Der beim Fall ${\displaystyle \Delta >0}$, dem „casus irreducibilis“, angegebene Weg ist ein „numerischer“ Lösungsweg, der dem Ausziehen der dritten Wurzeln unter Zuhilfenahme trigonometrischer Funktionen entspricht.

1. Im modernen Sinn „irreduzible“ Fälle gibt es bei ${\displaystyle \Delta <0}$ genauso wie bei ${\displaystyle \Delta >0~,}$ z. B. im über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ irreduziblen Polynom ${\displaystyle x^{3}+x+1~.}$ Das spricht dafür, dass der Begriff „irreducibilis“ im 16. Jahrhundert etwas anders verwendet wurde als heute, bspw. als „nicht auf reelle Wurzeln zurückführbar“.

Bei quartischen Gleichungen beziehungsweise Gleichungen vierten Grades sind die Lösungen immer biquadratisch radikale Ausdrücke aus Lösungen von kubischen Gleichungen. Der Grund dafür besteht in der Tatsache, dass alle Polynome vierten Grades als Differenz des Musters Quadrat eines quadratischen Polynoms minus Quadrat eines linearen Polynoms dargestellt werden können. Durch das Nullsetzen des quartischen Polynoms kann auf diese Weise der Satz von Vieta verwendet werden. Und diese Differenz zweier Quadrate kann dann mit der dritten binomische Formel faktorisiert werden. So entstehen zwei Faktoren von jeweils zweitem Grade. Diese können dann mit der Mitternachtsformel aufgelöst werden. Für die Bestimmung der Koeffizienten von diesen beiden Polynomfaktoren ist die Auflösung eines kubischen Gleichungssystems erforderlich. Dies wird im nun Folgenden gezeigt. Gegeben sei ein quartisches Polynom, welches faktorisiert werden soll:

${\displaystyle x^{4}+Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=(x^{2}+{\tfrac {1}{2}}Ax+u)^{2}-(vx+w)^{2}}$

Eine kubische Resolventengleichung führt hierbei zur Ermittlung von u:

${\displaystyle (A^{2}-4B+8u)(u^{2}-D)=(Au-C)^{2}}$

Sukzessiv können dann v und w ermittelt werden.

Nach anschließender Faktorisation der dritten binomischen Formel führt das Lösen von quadratischen Faktoren zur x-Lösung.

Durch Eliminierung der unbekannten v und w kann eine kubische Gleichung für u in Abhängigkeit der gegebenen Koeffizienten A, B, C und D aufgestellt werden:

${\displaystyle x^{4}+Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=(x^{2}+{\tfrac {1}{2}}Ax+u)^{2}-(vx+w)^{2}}$

Die Bilanz der Koeffizienten des quadratischen Glieds ergibt folgende Gleichung:

I) ${\displaystyle 4v^{2}=A^{2}-4B+8u}$

Die Bilanz der Koeffizienten des linearen Glieds ergibt nachfolgende Gleichung:

II) ${\displaystyle 2vw=Au-C}$

Und die Bilanz der Koeffizienten des absoluten Glieds ergibt die nun folgende Gleichung:

III) ${\displaystyle w^{2}=u^{2}-D}$

Durch das Gleichsetzungsverfahren mit dem Muster I*III = II² ergibt sich folgende kubische Gleichung:

${\displaystyle (A^{2}-4B+8u)(u^{2}-D)=(Au-C)^{2}}$

Diese Gleichung kann dann nach u aufgelöst werden.

Nach der positiven reellen Lösung soll folgende Gleichung aufgelöst werden:

${\displaystyle {\color {blue}x^{4}-x-1=0}}$

Gegeben ist die genannte Form:

${\displaystyle x^{4}+Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=(x^{2}+{\tfrac {1}{2}}Ax+u)^{2}-(vx+w)^{2}}$

Nach dieser Form gelten die Werte ${\displaystyle A=0,\ B=0,\ C=-1}$ und ${\displaystyle D=-1}$.

Die genannte kubische Resolvente lautet dann für diese Beispielgleichung so:

${\displaystyle 8u(u^{2}+1)=1}$

Nach der Formel von Gerolamo Cardano lautet die reelle Lösung für ${\displaystyle u}$ wie folgt:

${\displaystyle u={\tfrac {1}{12}}{\sqrt[{3}]{12}}{\bigl (}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {849}}+9}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {849}}-9}}{\bigr )}={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}$.[3]

Genannt waren ebenso die Gleichungen:

${\displaystyle 4v^{2}=A^{2}-4B+8u}$

${\displaystyle 2vw=Au-C}$

In dieser Beispielgleichung lauten sie so:

${\displaystyle 4v^{2}=8u}$

${\displaystyle 2vw=1}$

So entstehen ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle w}$:

${\displaystyle v={\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}}$

${\displaystyle w={\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}}$

Also gilt:

${\displaystyle x^{4}-x-1={\bigl \{}x^{2}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}-{\bigl \{}{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,x+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}{\bigr \}}^{2}}$

Nach dem Satz von Vieta kann dann so das quadratische Polynom mit den beiden reellen Lösungen herauskristallisiert werden:

${\displaystyle {\bigl \{}x^{2}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}-{\bigl \{}{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,x+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}{\bigr \}}^{2}=0}$

${\displaystyle {\bigl \{}x^{2}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}{\bigr \}}-{\bigl \{}{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,x+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}{\bigr \}}=0}$

Nach der dritten binomischen Formel gilt: ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}$.

Anschließend wird weiter umgeformt:

${\displaystyle x^{2}-{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,x+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}=0}$

${\displaystyle {\bigl \{}x-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}{\bigr \}}^{2}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}=0}$

${\displaystyle {\color {green}x={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\approx 1{,}2207440846}}$

Nach dem Satz von Abel-Ruffini ist das Analogon der Cardanoschen Formel für quintische Gleichungen nicht elementar darstellbar. Jedoch kann bei diesem quintischen Analogon die reelle Lösung dann in einem quintisch radikalen Ausdruck dargestellt werden, wenn ein elliptischer Schlüssel ausgedrückt über die Thetafunktionen auf der Grundlage der Elliptischen Nomenfunktion ${\displaystyle q(k)=\exp[-\pi K(k')/K(k)]}$ oder über die Jacobischen Amplitudenfunktionen angewendet wird. Die Mathematiker John Stuart Glashan, George Paxton Young[4] und Carl Runge[5] fanden den quintisch radikalen Ausdruck für die Bring-Jerrard-Form heraus und beschrieben diesen Lösungsausdruck in ihrem Werk. Der Wert für den zugehörigen elliptischen Modul[6] beziehungsweise die zugehörige numerische Exzentrizität in Abhängigkeit vom Koeffizienten des absoluten Gliedes in der Bring-Jerrard-Form wurde durch Charles Hermite entdeckt und ermittelt. Und für die standardisierte Bring-Jerrard-Normalform der quintischen Gleichung wird im Folgenden das Analogon zur kubischen Formel nach Cardano aufgestellt:

${\displaystyle x^{5}+x=w}$

${\displaystyle {\begin{array}{lll}x&=&{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl [}{\frac {5{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(1+2y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}\\&&-{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}{\frac {5y{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(2-y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}\end{array}}}$

Elliptischer Schlüssel:

${\displaystyle y={\frac {5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q{\bigl \{}{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}^{5}{\bigr \rangle }^{2}}{2\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q{\bigl \{}{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}{\bigr \rangle }^{2}}}-{\frac {1}{2}}}$

Wichtiger Rechenhinweis über die genannten hyperbolisch lemniskatischen Funktionen:

${\displaystyle {\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (s){\bigr ]}^{2}={\biggl (}2s^{2}+2+2{\sqrt {s^{4}+1}}{\biggr )}^{-1/2}{\biggl (}{\sqrt {{\sqrt {s^{4}+1}}+1}}+s{\biggr )}}$