Cantor-Verteilung

Wenn man vom gleichverteilten Maß auf der Menge ${\displaystyle \{0,1\}}$ ausgeht, erhält man auf der Menge ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$ ein Produktmaß. Dieses Maß ${\displaystyle \mu }$ lässt sich so interpretieren: Man betrachtet ein Experiment, in dem unendlich oft eine faire Münze geworfen wird; Elemente von ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$ lassen sich als Ausgänge des Experiments interpretieren (die Folge ${\displaystyle (0,1,0,1,\ldots )}$ bedeutet zum Beispiel, dass immer abwechselnd Kopf und Zahl aufgetreten sind). Das Maß ${\displaystyle \mu }$ weist einer Teilmenge von ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$ nun ihre Wahrscheinlichkeit zu. Zum Beispiel besagt das starke Gesetz der großen Zahlen, dass die Menge ${\displaystyle G}$ der „gleichverteilten“ Folgen Wahrscheinlichkeit 1 hat, wobei ${\displaystyle G}$ die folgenden Menge ist:

${\displaystyle G=\left\{(x_{0},x_{1},\ldots )\left|\ \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {|\{i<n:x_{i}=0\}|}{n}}={\frac {1}{2}}\right.\right\}.}$

Nun lässt sich die Cantormenge ${\displaystyle C}$ – wie im dortigen Artikel ausgeführt – bijektiv auf ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$ abbilden. Das oben genannte Maß ${\displaystyle \mu }$ lässt sich vermöge dieser Bijektion in ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \mu }$ auf der Cantormenge übertragen. (Eine alternative Beschreibung von ${\displaystyle \mu }$ ergibt sich als Hausdorffmaß zur Dimension ${\displaystyle \ln 2/\ln 3}$.)

Dieses Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \mu }$ ist die Cantor-Verteilung, ein Beispiel für ein Maß, dessen Verteilungsfunktion zwar stetig, aber nicht absolut-stetig ist. Die Verteilungsfunktion

${\displaystyle {\begin{aligned}F:[0,1]&\to [0,1]\\x&\mapsto \mu ([0,x]\cap C)\end{aligned}}}$

heißt Cantorfunktion (auch „cantorsche Treppenfunktion“). Auf jedem Intervall im Komplement der Cantormenge ist diese Funktion konstant; auf dem Intervall ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}}\right)}$ hat sie zum Beispiel den Wert 1/2, und auf dem Intervall ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{9}},{\tfrac {2}{9}}\right)}$ hat sie den Wert 1/4.

Bei dieser Konstruktion wird die Cantorfunktion ${\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow [0,1]}$ konstruiert, welche nach dem Korrespondenzsatz die Cantor-Verteilung ${\displaystyle \mu }$ eindeutig bestimmt.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ das System aller Teilmengen von ${\displaystyle [0,1]}$, welche als Vereinigung von endlich vielen disjunkten abgeschlossenen nichtleeren Intervallen dargestellt werden kann. Ferner sei ${\displaystyle \varphi$ :{\mathcal {G}}\rightarrow {\mathcal {G}}} gegeben durch (mit ${\displaystyle i,m\in \mathbb {N} ,a_{i},b_{i}\in [0,1],a_{i}\leq b_{i}}$)

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i\in \{1,\ldots ,m\}}[a_{i},b_{i}]\right):=\bigcup _{i\in \{1,\ldots ,m\}}\left(\left[a_{i},{\frac {2a_{i}+b_{i}}{3}}\right]\cup \left[{\frac {a_{i}+2b_{i}}{3}},b_{i}\right]\right)}$

(Dies entspricht der bereits angesprochen rekursiven Drittelung der Intervalle (Intervall-Länge: ${\displaystyle b_{i}-a_{i}}$), wobei nur das untere und das obere Drittel mitgenommen werden, während das mittlere Drittel „ausgewischt“ wird.)

Sei weiterhin mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle C_{n}:=\varphi ^{n}([0,1])\,.}$

Schließlich sei die Cantormenge ${\displaystyle C}$ definiert durch

${\displaystyle C=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }C_{n}\,.}$

Nun wird das Maß ${\displaystyle \mu _{n}:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\rightarrow [0,1]}$ folgendermaßen definiert:

${\displaystyle \mu _{n}:=\int \left({\frac {3}{2}}\right)^{n}\chi _{C_{n}}(x)\mathrm {d} \lambda (x)}$,

wobei ${\displaystyle \lambda }$ das eindimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet. ${\displaystyle \mu _{n}}$ ist offensichtlich ein Wahrscheinlichkeitsmaß, die dazugehörige Verteilungsfunktion sei ${\displaystyle F_{n}:\mathbb {R} \rightarrow [0,1]}$. Für ${\displaystyle F_{n}}$ gilt:

${\displaystyle F_{n}(x)=\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}\lambda (C_{n}\cap [0,x])}$

Für ${\displaystyle F_{n}}$ gilt insbesondere ${\displaystyle F_{n}(0)=0}$ und ${\displaystyle F_{n}(1)=1}$.

Da ${\displaystyle F_{n}|_{[0,1]}}$ gleichmäßig konvergent ist, ist die Cantorfunktion ${\displaystyle F}$ durch

${\displaystyle F(x):={\begin{cases}0&{\text{falls }}x\in (-\infty ,0]\\\lim \limits _{n\rightarrow \infty }F_{n}|_{[0,1]}(x)&{\text{falls }}x\in (0,1)\\1&{\text{falls }}x\in [1,\infty )\end{cases}}}$

eindeutig definiert. Die dazugehörige Verteilung im Sinne der Maßtheorie ist die Cantor-Verteilung.