Cahen-Konstante

Die Nenner der Stammbrüche leiten sich von den Folgengliedern der Sylvester-Folge ${\displaystyle S_{0},S_{1},S_{2},S_{3},...}$ ab, die rekursiv durch

${\displaystyle S_{0}=2,\qquad S_{n+1}=1+S_{0}\cdots S_{n}=1-S_{n}+S_{n}^{2}}$     für n = 0, 1, 2, 3, …

definiert ist (Folge A000058 in OEIS). Mit dieser Folge ist die Cahen-Konstante durch

${\displaystyle C=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{S_{k}-1}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-{\frac {1}{3263442}}+-\cdots }$

definiert, das heißt, die Sylvester-Folge ist die Pierce-Entwicklung von C. Mit dem Leibniz-Kriterium kann die Konvergenz der Reihe direkt gezeigt werden.

Nach Zusammenfassen von jeweils zwei Gliedern der Reihe erhält man eine Reihe, deren Glieder nur positive Stammbrüche sind:

${\displaystyle C=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{S_{2k}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots }$

Diese Darstellung liefert auch der Greedy-Algorithmus zur Stammbruchzerlegung von C (die Nenner bilden die Folge A123180 in OEIS). Die Reihe konvergiert wegen des doppelt exponentiellen Wachstums der Sylvester-Folge rasch, jeder hinzugenommene Summand vervierfacht die Anzahl gültiger Stellen.

Ein Näherungswert für die Cahen-Konstante ist

${\displaystyle C=0{,}64341{\text{ }}05462{\text{ }}88338{\text{ }}02618{\text{ }}22543{\text{ }}07757{\text{ }}56476{\text{ }}32865{\text{ }}87860{\text{ }}26823{\text{ }}...}$ (Folge A118227 in OEIS).

Eugène Cahen bewies 1891 auf elementare Weise, dass C irrational ist[1] (dies folgt schon daraus, dass die Pierce-Entwicklung nicht abbricht). J. Les Davison und Jeffrey Shallit zeigten 1991, dass C transzendent ist.[2] Ihr Beweis zeigt allgemeiner für alle Zahlen, deren Kettenbruchentwicklungen bestimmten einfachen rekursiven Bildungsgesetzen genügen, dass sie transzendent sind. Speziell für C ist die Kettenbruchentwicklung durch

${\displaystyle [0;1,q_{0}^{2},q_{1}^{2},q_{2}^{2},q_{3}^{2},...]=[0;1,1,1,4,9,...]}$     (Folge A006280 in OEIS)

gegeben, wobei die Folge ${\displaystyle q_{0},q_{1},q_{2},q_{3},...}$ rekursiv durch

${\displaystyle q_{0}=q_{1}=1,\qquad q_{n+2}=q_{n}^{2}q_{n+1}+q_{n}}$     für n = 0, 1, 2, 3, …

definiert ist (Folge A006279 in OEIS).

Zu Variationen der definierenden Reihe von C ist bekannt, dass

${\displaystyle C={\frac {1}{2}}{\biggl (}\!1+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{S_{k}}}{\biggr )},}$

während ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }1/S_{k}=1}$ und noch offen ist, was über ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }1/(S_{k}-1)=1{,}69103{\text{ }}02067{\text{ }}57253{\text{ }}97443{\text{ }}...}$ gesagt werden kann[3] (die Sylvester-Folge ist in diesem Fall die Engel-Entwicklung, also ist der Grenzwert jedenfalls irrational).

• Steven R. Finch: Cahen’s constant. In: Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, Kapitel 6.7, S. 434–436 (englisch)

• Eric W. Weisstein: Cahen’s Constant. In: MathWorld (englisch).
• The Cahen constant to 4000 digits (Memento vom 4. März 2012 im Internet Archive) bei Plouffe’s Inverter (englisch)

1. E. Cahen: Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues. Nouvelles Annales de Mathématiques 10, 1891, S. 508–514 (französisch)
2. J. Les Davison, J. O. Shallit: Continued fractions for some alternating series (17. Oktober 1990), Monatshefte für Mathematik 111, 1991, S. 119–126, doi:10.1007/BF01332350 (englisch)
3. Finch: Cahen’s constant, 2003, S. 436