CES-Funktion

Dabei ist (aus noch zu erläuternden Gründen) ${\displaystyle \gamma }$ der Homogenitätsgrad. Fast immer setzt man ${\displaystyle \beta =1}$ und in der Regel auch ${\displaystyle \gamma =1}$.

Unterschiedliche Verwendungszwecke

Nutzt man die Funktion als Produktionsfunktion, bezeichnet man sie regelmäßig mit ${\displaystyle y}$ (statt ${\displaystyle z}$), um auszudrücken, dass sie die produzierte Menge eines Gutes anzeigt. Die ${\displaystyle x_{i}}$ stehen dann für die Menge des eingesetzten Inputfaktors ${\displaystyle i}$, wobei es eben ${\displaystyle n}$ Inputfaktoren gibt. Häufig verwendet wird so beispielsweise die Zwei-Faktoren-CES-Produktionsfunktion ${\displaystyle y=\left[\alpha _{1}K^{-\rho }+\alpha _{2}L^{-\rho }\right]^{-1/\rho }}$ (bisweilen auch mit der Vorgabe ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}=1}$[2]), wobei ${\displaystyle K}$ für den Kapital- und ${\displaystyle L}$ für den Arbeitseinsatz steht; in einer von Robert Solow im Feld der Wachstumstheorie eingeführten Version ist ${\displaystyle y=(\alpha K^{\rho }+L^{\rho })^{1/\rho }}$[3].

Bei der Verwendung als Nutzenfunktion (in der Regel ${\displaystyle u}$) bezeichnet ${\displaystyle x_{i}}$ die Menge des konsumierten Gutes ${\displaystyle i}$.

Es lässt sich zeigen, dass die CES-Funktion im definierten Sinne homogen vom Grade ${\displaystyle \gamma }$ ist.[4] Weiterhin ist sie für ${\displaystyle \rho \leq -1}$ quasikonvex[5], für ${\displaystyle \rho \geq -1}$ quasikonkav. Für ${\displaystyle 0<\gamma \leq 1}$ und zugleich ${\displaystyle \rho \geq -1}$ ist sie überdies konkav und für ${\displaystyle 0<\gamma <1}$, ${\displaystyle \rho >-1}$ sogar strikt konkav.

Es kann gezeigt werden, dass die CES-Funktion für ${\displaystyle \rho \rightarrow 0}$ in eine Funktion vom Cobb-Douglas-Typ (mit Substitutionselastizität ${\displaystyle \sigma =1}$) und für ${\displaystyle \rho \rightarrow \infty }$ in eine Leontief-Funktion (${\displaystyle \sigma =0}$) übergeht.[6]

Spezifische Parameterkonstellationen erlauben weitere Präzisierungen. So ist beispielsweise ${\displaystyle z=\left[\alpha _{1}x_{1}^{-\rho }+\dotsb +\alpha _{n}x_{n}^{-\rho }\right]^{-1/\rho }}$ mit ${\displaystyle \alpha _{1}+\dotsb +\alpha _{n}=1}$ vom CES-Typ mit Substitutionselastizität ${\displaystyle \sigma =1/(1+\rho )}$. Für ${\displaystyle \rho \rightarrow 0}$ konvergiert ${\displaystyle \sigma \rightarrow 1}$ und ${\displaystyle z}$ reduziert sich zur linear-homogenen Cobb-Douglas-Funktion ${\displaystyle z=x_{1}^{\alpha _{1}}\dotsm x_{n}^{\alpha _{n}}}$. Für ${\displaystyle \rho \rightarrow \infty }$ folgt wiederum ${\displaystyle \sigma \rightarrow 0}$ und es ergibt sich im Grenzwert die Leontief-Funktion ${\displaystyle z=\min\{x_{1},\dotsc ,x_{n}\}}$.[7]

• Kenneth Arrow, H. B. Chenery, B. S. Minhas und Robert Solow: Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency. In: Review of Economics and Statistics. 43, Nr. 3, 1961, S. 225–250.
• Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
• Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.
• Carl P. Simon und Lawrence Blume: Mathematics for Economists. W. W. Norton, New York und London 1994, ISBN 0-393-95733-0.
• Knut Sydsæter, Arne Strøm und Peter Berck: Economists’ mathematical manual. 4. Aufl. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 978-3-540-26088-2 (auch als E-Book: doi:10.1007/3-540-28518-0).
• Knut Sydsæter u. a.: Further mathematics for economic analysis. 2. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9.
• Hal Varian: Microeconomic Analysis. W. W. Norton, New York und London 1992, ISBN 0-393-95735-7.
• Susanne Wied-Nebbeling und Helmut Schott: Grundlagen der Mikroökonomik. Springer, Heidelberg u. a. 2007, ISBN 978-3-540-73868-8. [S. 127–131]

1. Die hiesige Definition folgt Sydsæter u. a. 2008, S. 72 und Simon/Blume 1994, S. 275. Bei ihr handelt es sich um eine generalisierte Form; vielfach werden auch bereits bestimmte Eigenschaften vorausgesetzt. So beschränkt sich der weit überwiegende Teil der Literatur auf den Fall mit ${\displaystyle \beta =1}$ (Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166; Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97) und üblicherweise ist auch ${\displaystyle \gamma =1}$ (Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97); bisweilen wird überdies nur der Fall mit ${\displaystyle \alpha _{i}=1}$ betrachtet (Jehle/Reny 2011, S. 130). Regelmäßig wird in der Funktion auch ${\displaystyle \rho }$ statt ${\displaystyle -\rho }$ verwendet (Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97; wie hier Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166 und Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128); daraus ergibt sich jedoch lediglich ein interpretatorischer Unterschied infolge abweichender Elastizitätsdefinitionen.
2. Vgl. beispielsweise Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128.
3. Robert M. Solow: A Contribution to the Theory of Economic Growth. In: The Quarterly Journal of Economics. 70, Nr. 1, 1956, S. 65–94 ( (PDF; 2,2 MB); JSTOR:1884513).
4. Zu dieser und den folgenden Eigenschaften vgl. Sydsæter u. a. 2008, S. 72 (dort auch mit Beweisen) und Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166.
5. Diese Eigenschaft ist freilich nicht von nennenswerter praktischer Relevanz; im Fall ${\displaystyle \rho <-1}$ würde die CES-Technologie dann nämlich konkave Isoquanten implizieren, was wenig plausibel erscheint.
6. Vgl. beispielsweise Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128 ff. für den Fall ${\displaystyle n=2}$ und ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}=1}$.
7. Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 131.