C*-dynamisches System

Unter einem C*-dynamischen System versteht man ein Tripel ${\displaystyle (A,G,\alpha )}$ bestehend aus einer C*-Algebra ${\displaystyle A}$, einer lokalkompakten Gruppe ${\displaystyle G}$ und einem Homomorphismus ${\displaystyle \alpha \colon G\rightarrow \mathrm {Aut} (A),s\mapsto \alpha _{s}}$ von ${\displaystyle G}$ in die Gruppe der *-Automorphismen von ${\displaystyle A}$, so dass alle Abbildungen ${\displaystyle G\rightarrow A,s\mapsto \alpha _{s}(a),\,a\in A}$ stetig sind.[1] (Unter Morphismen auf C*-Algebren versteht man stets solche, die auch die Involution erhalten; man schreibt nur ${\displaystyle \mathrm {Aut} (A)}$, es sind aber *-Automorphismen gemeint.)

Der einfachste und für viele Anwendungen wichtige Fall ist ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$. Da die Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ diskret ist, entfällt die Stetigkeitsbedingung. Ferner ist ${\displaystyle \alpha }$ bereits durch ${\displaystyle \alpha _{1}\in \mathrm {Aut} (A)}$ festgelegt. Ein C*-dynamisches System mit Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist also nichts weiter als eine C*-Algebra mit einem ausgezeichneten Automorphismus.

Bekanntlich kann man sowohl C*-Algebren als auch lokalkompakte Gruppen auf Hilberträumen darstellen. Ist ${\displaystyle (A,G,\alpha )}$ ein C*-dynamisches System und sind ${\displaystyle \pi \colon A\rightarrow B(H)}$ eine Hilbertraum-Darstellung von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle u\colon G\rightarrow B(H),s\mapsto u_{s}}$ eine unitäre Darstellung von ${\displaystyle G}$ auf demselben Hilbertraum, so nennt man das Paar ${\displaystyle (\pi ,u)}$ eine kovariante Darstellung, falls

${\displaystyle \pi (\alpha _{s}(a))=u_{s}\pi (a)u_{s}^{*}}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle s\in G}$.

Mittels einer kovarianten Darstellung wird also die durch ${\displaystyle \alpha }$ vermittelte Gruppenoperation von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle A}$ durch unitäre Operatoren dargestellt.[2]

Ist ${\displaystyle (A,G,\alpha )}$ ein C*-dynamisches System, so definiert man auf dem Raum ${\displaystyle K(A,G,\alpha )}$ der stetigen Funktionen ${\displaystyle G\rightarrow A}$ mit kompaktem Träger für ${\displaystyle x,y\in K(A,G,\alpha )}$ und ${\displaystyle \beta \in \mathbb {C} }$:

• ${\displaystyle (\beta x)(t):=\beta x(t)}$
• ${\displaystyle (x+y)(t):=x(t)+y(t)}$
• ${\displaystyle (x\star y)(t):=\int _{G}x(s)\alpha _{s}(y(s^{-1}t))\,\mathrm {d} \mu (s)}$
• ${\displaystyle (x^{*})(t):=\Delta (t)^{-1}\alpha _{t}(x(t^{-1})^{*})}$
• ${\displaystyle \|x\|_{1}:=\int _{G}\|x(s)\|\,\mathrm {d} \mu (s)}$

Dabei ist ${\displaystyle t\in G}$, ${\displaystyle \mu }$ ein links-Haarsches Maß auf ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle \Delta }$ die modulare Funktion von ${\displaystyle G}$. Man rechnet nach, dass ${\displaystyle K(A,G,\alpha )}$ durch diese Definitionen zu einer normierten Algebra mit isometrischer Involution wird. Das von ${\displaystyle \alpha }$ abhängige Produkt ${\displaystyle \star }$ nennt man Kreuzprodukt. Die Vervollständigung ist dann eine Banach-*-Algebra, die mit ${\displaystyle L^{1}(A,G,\alpha )}$ bezeichnet wird.[3]

Ist ${\displaystyle (\pi ,u)}$ eine kovariante Darstellung des C*-dynamischen Systems ${\displaystyle (A,G,\alpha )}$ auf einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$, so wird durch

${\displaystyle (\pi \times u)(x):=\int _{G}\pi (x(t))u_{t}\,\mathrm {d} \mu (t),\quad x\in L^{1}(A,G,\alpha )}$

eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung von ${\displaystyle L^{1}(A,G,\alpha )}$ definiert. Ist umgekehrt eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung von ${\displaystyle L^{1}(A,G,\alpha )}$ gegeben, so gibt es genau eine kovariante Darstellung des C*-dynamischen Systems, so dass sich die gegebene *-Darstellung gemäß obiger Formel ergibt. Die Kenntnis aller kovarianten Darstellungen des C*-dynamischen Systems entspricht daher der Kenntnis aller nicht-degenerierten *-Darstellungen der zugehörigen ${\displaystyle L^{1}}$-Algebra.[4]

Die einhüllende C*-Algebra von ${\displaystyle L^{1}(A,G,\alpha )}$ wird mit ${\displaystyle C^{*}(A,G,\alpha )}$ oder ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha }G}$ bezeichnet und heißt das Kreuzprodukt des C*-dynamischen Systems[5][6]. Die kovarianten Darstellungen eines C*-dynamischen Systems führen somit zu nicht-degenerierten Hilbertraum-Darstellungen von ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha }G}$ und umgekehrt.

Ist speziell ${\displaystyle A=\mathbb {C} }$, so operiert jede lokalkompakte Gruppe ${\displaystyle G}$ trivial auf ${\displaystyle \mathbb {C} }$, das heißt ${\displaystyle \alpha _{s}=\mathrm {id} _{\mathbb {C} }}$ für alle ${\displaystyle s\in G}$, und obige Konstruktion liefert die Gruppen-C*-Algebra ${\displaystyle C^{*}(G)}$. Die Konstruktion des Kreuzproduktes verallgemeinert daher die Konstruktion der Gruppen-C*-Algebra.

Wie im Falle der Gruppen-C*-Algebren betrachtet man auch für C*-dynamische Systeme ${\displaystyle (A,G,\alpha )}$ linksreguläre Darstellungen, allerdings erhält man hier für jede gegebene Hilbertraum-Darstellung von ${\displaystyle A}$ eine solche.

Ist ${\displaystyle \pi \colon A\rightarrow B(H)}$ eine Hilbertraum-Darstellung von ${\displaystyle A}$, so konstruiert man eine kovariante Darstellung ${\displaystyle ({\tilde {\pi }},\lambda )}$ auf dem Hilbertraum ${\displaystyle L^{2}(G,H)}$ aller messbaren Funktionen ${\displaystyle \xi \colon G\rightarrow H}$ mit ${\displaystyle \textstyle \int _{G}\|\xi (t)\|^{2}\,\mathrm {d} \mu (s)<\infty }$ durch folgende Formeln:

• ${\displaystyle ({\tilde {\pi }}(a)\xi )(t)=\pi (\alpha _{t^{-1}}(a))(\xi (t))}$
• ${\displaystyle (\lambda _{s}\xi )(t)=\xi (s^{-1}t)}$,

wobei ${\displaystyle a\in A}$, ${\displaystyle s,t\in G}$ und ${\displaystyle \xi \in L^{2}(G,H)}$. Man rechnet nach, dass hierdurch tatsächlich eine kovariante Darstellung definiert ist. Ist nun speziell ${\displaystyle \pi _{u}\colon A\rightarrow H_{u}}$ die universelle Darstellung von ${\displaystyle A}$, so heißt der Normabschluss von ${\displaystyle ({\tilde {\pi _{u}}}\times \lambda )(L^{1}(A,G,\alpha ))}$ in ${\displaystyle B(L^{2}(G,H_{u}))}$ das reduzierte Kreuzprodukt des C*-dynamischen Systems; dieses wird mit ${\displaystyle C_{r}^{*}(A,G,\alpha )}$ oder ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha r}G}$ bezeichnet.[7]

Betrachtet man wieder den Spezialfall ${\displaystyle A=\mathbb {C} }$ mit der trivialen Operation der Gruppe ${\displaystyle G}$, so liefert die Konstruktion des reduzierten Kreuzproduktes genau die reduzierte Gruppen-C*-Algebra.

Da die kovariante Darstellung ${\displaystyle ({\tilde {\pi }},\lambda )}$ zu einer *-Darstellung des Kreuzproduktes ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha }G}$ führt, erhält man einen surjektiven Homomorphismus ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha }G\rightarrow A\ltimes _{\alpha r}G}$, den man ebenfalls die linksreguläre Darstellung nennt. Wie im Falle von Gruppen-C*-Algebren gilt folgender Satz[8]:

Ist ${\displaystyle (A,G,\alpha )}$ ein C*-dynamisches System mit mittelbarer Gruppe ${\displaystyle G}$, so ist die linksreguläre Darstellung ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha }G\rightarrow A\ltimes _{\alpha r}G}$ ein Isomorphismus.

Speziell für kompakte und für abelsche Gruppen (wichtiger Spezialfall ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) muss man also nicht zwischen ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha }G}$ und ${\displaystyle A\ltimes _{\alpha r}G}$ unterscheiden, denn diese Gruppen sind mittelbar.

Klassische dynamische Systeme sind Operationen der Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ auf einem kompakten Hausdorffraum ${\displaystyle X}$. Genauer ist ein Homöomorphismus ${\displaystyle \sigma \colon X\rightarrow X}$ gegeben, und dieser definiert die Gruppenoperation ${\displaystyle \mathbb {Z} \times X\rightarrow X,(n,x)\mapsto \sigma ^{n}(x)}$. ${\displaystyle \sigma }$ definiert auch einen Automorphismus auf der C*-Algebra ${\displaystyle C(X)}$ der stetigen Funktionen ${\displaystyle X\rightarrow \mathbb {C} }$, der ${\displaystyle f\in C(X)}$ auf ${\displaystyle f\circ \sigma ^{-1}}$ abbildet. Damit liegt ein C*-dynamisches System ${\displaystyle (C(X),\mathbb {Z} ,\alpha )}$ vor, wobei ${\displaystyle \alpha _{n}(f)=f\circ \sigma ^{-n}}$. Es können dann Beziehungen zwischen dem klassischen dynamischen System ${\displaystyle (X,\sigma )}$ und der C*-Algebra ${\displaystyle C(X)\ltimes _{\alpha }\mathbb {Z} }$ aufgestellt werden.[9] Der Prototyp dieser Konstruktion ist die irrationale Rotationsalgebra.

• Takai-Dualität
• W*-dynamisches System

1. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 7.4.1
2. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 7.4.8
3. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 7.6.1
4. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 7.6.4
5. Thomas Skill: Toeplitz-Quantisierung symmetrischer Gebiete auf Grundlage der C*-Dualität, Teubner-Verlag (2011), ISBN 3-834-81541-1, Kap. 4.1: Gruppen-C*-Algebren und Kreuzprodukte von C*-Algebren
6. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 7.6.5
7. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 7.7.4
8. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 7.7.7
9. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Kapitel VIII.3