Buch der Lemmata

Berührende Kreise, Punkte ${\displaystyle A}$,${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle F}$ liegen auf einer gemeinsamen Geraden

Gegeben seien ein Kreis ${\displaystyle k_{1}}$ mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ und ein Kreis ${\displaystyle k_{2}}$ mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle C}$, die sich im Punkt ${\displaystyle A}$ berühren. Der Durchmesser ${\displaystyle {\overline {EF}}}$ von ${\displaystyle k_{1}}$ und der Durchmesser ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ von ${\displaystyle k_{2}}$ seien parallel zueinander.

Dann liegen die Punkte ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle F}$ auf einer gemeinsamen Geraden.[13]

Der Beweis verwendet Seitenverhältnisse bei ähnlichen Dreiecken (siehe abgebildete Planfigur).

Die Strecke ${\displaystyle [DH]}$ sei parallel zu der Strecke ${\displaystyle [CM]}$. Somit ist das Viereck ${\displaystyle MHDC}$ ein Parallelogramm.

Da außerdem ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ und ${\displaystyle {\overline {FM}}}$ Radius von ${\displaystyle k_{1}}$ und ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ und ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ Radius von ${\displaystyle k_{2}}$ ist, gilt ${\displaystyle {\overline {AM}}={\overline {FM}}}$ und ${\displaystyle {\overline {MH}}={\overline {CD}}={\overline {AC}}}$.

Nach dem Strahlensatz gilt: ${\displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {FM}}}={\frac {\overline {DH}}{\overline {FH}}}}$. Also sind ${\displaystyle ACD}$ und ${\displaystyle DHF}$ ähnliche gleichschenklige Dreiecke.

Es seien ${\displaystyle \alpha }$, bzw. ${\displaystyle \beta }$, bzw. ${\displaystyle \gamma }$ die Winkelweiten von ${\displaystyle \angle ADC}$, bzw. ${\displaystyle \angle DFH}$, bzw. ${\displaystyle \angle CDF}$. Dann gilt: ${\displaystyle \alpha =\beta }$.

Durch Addition von ${\displaystyle \gamma }$ auf beiden Seiten dieser Gleichung erhält man: ${\displaystyle \beta +\gamma =\alpha +\gamma }$ = 180°.

Damit ist bewiesen, dass die Punkte ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle F}$ auf einer gemeinsamen Geraden liegen.[14]

Halbkreise, ${\displaystyle {\overline {DF}}={\overline {FE}}}$

Gegeben sei ein Punkt ${\displaystyle D}$ auf einem Halbkreis mit dem Durchmesser ${\displaystyle {\overline {AB}}}$, dessen Tangenten in den Punkten ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle D}$ sich im Punkt ${\displaystyle T}$ schneiden. ${\displaystyle E}$ sei der Fußpunkt des Lotes von ${\displaystyle D}$ auf ${\displaystyle AB}$ und ${\displaystyle F}$ der Schnittpunkt dieses Lotes mit der Strecke ${\displaystyle AT}$.

Dann ist ${\displaystyle F}$ der Mittelpunkt von ${\displaystyle DE}$.[15]

Der Schnittpunkt der Verlängerungen von ${\displaystyle AD}$ und ${\displaystyle BT}$ über ${\displaystyle D}$, bzw. ${\displaystyle T}$ hinaus sei ${\displaystyle H}$. Nach dem Satz des Thales sind die Winkel ${\displaystyle \angle ADB}$ und damit auch ${\displaystyle \angle BDH}$ jeweils rechte Winkel. Da somit ${\displaystyle D}$ auf dem Thaleskreis über ${\displaystyle BH}$ mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle T}$ liegt, gilt ${\displaystyle {\overline {BT}}={\overline {TD}}}$ und ${\displaystyle {\overline {BT}}={\overline {TH}}}$. Da wegen der Parallelität von ${\displaystyle DE}$ und ${\displaystyle BH}$ die Dreiecke ${\displaystyle AED}$ und ${\displaystyle ABH}$ ähnlich zueinander sind und ${\displaystyle T}$ der Mittelpunkt von ${\displaystyle BH}$ ist, gilt auch, dass ${\displaystyle F}$ der Mittelpunkt von ${\displaystyle DE}$ ist.[16]

Im Besonderen werden die beiden komplexeren, jeweils aus mehreren Halbkreisen bestehenden geometrischen Figuren Arbelos und Salinon eingeführt: Der Arbelos selbst in Satz 4,[17] die Zwillingskreise des Archimedes in Satz 5,[18] der Inkreis des Arbelos (der wiederum in Beziehung zur Pappos-Kette steht, wie Kliem in einer Fußnote anmerkt)[19] in Satz 6.[20]

• 
  Arbelos
• 
  Zwillingskreise
• 
  Pappos-Kette
• 
  Salinon

Quadrat mit Um- und Inkreis, ${\displaystyle A_{k_{u}}:A_{k_{i}}=A_{Q_{AB}}:A_{Q_{CD}}=2:1}$

Wird ein Kreis einem Quadrat umschrieben und ein anderer einbeschrieben, so ist der umschriebene Kreis das Doppelte des einbeschriebenen.[21][22]

Das Verhältnis des Umkreises (umschreibender Kreis) zum Inkreis (einbeschreibender Kreis) ist gleich dem Quadrat über der Diagonale ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ zu dem Quadrat mit der Seitenlänge ${\displaystyle {\overline {CD}}}$, d. h. deren Flächen verhalten sich wie ${\displaystyle 2:1.}$[21]

Beispiel

Sei ein Quadrat mit der Seitenlänge gleich ${\displaystyle 2}$, dann hat der Umkreis ${\displaystyle k_{u}}$ mit Radius gleich ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ den Flächeninhalt (Flächeneinheit ${\displaystyle =[FE]}$)

${\displaystyle A_{k_{u}}={\sqrt {2}}^{2}\cdot \pi =2\pi \;[FE]}$

und der Inkreis ${\displaystyle k_{i}}$ mit Radius gleich ${\displaystyle 1}$ den Flächeninhalt

${\displaystyle A_{k_{i}}=1^{2}\cdot \pi =\pi \;[FE].}$

Das Quadrat mit der Seitenlänge ${\displaystyle {\overline {CD}}=2}$ hat den Flächeninhalt

${\displaystyle A_{Q_{CD}}=2^{2}=4\;[FE]}$

Das Quadrat über seiner Diagonale ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ mit der Seitenlänge ${\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {2^{2}+2^{2}}}={\sqrt {8}}}$ hat den Flächeninhalt

${\displaystyle A_{Q_{AB}}={\sqrt {8}}^{2}=8\;[FE],}$

daraus folgt

${\displaystyle A_{k_{u}}:A_{k_{i}}=A_{Q_{AB}}:A_{Q_{CD}}=2:1.}$

Ist AB eine Sehne eines Kreises, dessen Mittelpunkt O ist, und wird AB bis C so verlängert, daß BC gleich dem Radius ist, trifft ferner CO den Kreis in D und verlängert zum zweitenmal in E, so ist der Bogen AE das Dreifache des Bogens BD.[23]

Zur Verdeutlichung wird noch die Parallele ${\displaystyle {\overline {EF}}}$ zur Sehne ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ gezogen und der Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ mit ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle B}$ verbunden. Wegen des sogenannten Z-Winkels sind die Winkel an den Scheiteln ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle E}$ gleich.

Da im gleichschenkligen Dreieck ${\displaystyle EFO}$ die Basiswinkel an den Scheiteln ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ gleich sind, hat der Winkel am Scheitel ${\displaystyle O}$ des Dreiecks ${\displaystyle FDO}$ – nach dem Kreiswinkelsatzes – die doppelte Winkelweite eines Basiswinkels.

Winkel am Scheitel ${\displaystyle O}$ des Dreiecks ${\displaystyle FDO}$ anhand der Winkelsumme ${\displaystyle 180^{\circ }:}$

${\displaystyle \angle {FOD}=180^{\circ }-[(90^{\circ }-\beta )+(90^{\circ }-\beta )]=2\beta ,}$

daraus und wegen ${\displaystyle {\overline {EF}}}$ parallel zu ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ folgt

${\displaystyle \angle {FOB}}$ und ${\displaystyle \angle {AOE}=3\beta .}$

Neusis-Konstruktion, Dreiteilung des Winkels mit Handhabung des markierten Lineals in Beweisskizze

Für die Dreiteilung eines beliebigen Winkels bedarf es einer Neusis-Konstruktion. Archimedes ließ die Vorgehensweise der sogenannten Einschiebung (Neusis) offen.[24][25]

Um die Einschiebung mithilfe eines markierten Lineals (Radius ${\displaystyle r}$, grün) in der Beweisskizze nach Archimedes zu verdeutlichen, wird der Winkelschenkel ${\displaystyle {\overline {FO}}}$ über die Kreislinie hinaus verlängert. Der Schnittpunkt mit der Kreislinie ist ${\displaystyle G}$. Mit der Annahme die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ wäre nicht vorhanden – somit nur ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ – legt man das Lineal auf die Zeichnung. Es folgt das Vorpositionieren des Lineals mit der Kante auf den Punkt ${\displaystyle B}$ und der Ecke auf die Verlängerung des Winkelschenkels ${\displaystyle {\overline {FO}}}$. Abschließend wird die Ecke bzw. Kante des Lineals soweit an der Verlängerung und am Punkt ${\displaystyle B}$ entlang geführt, bis die Markierung (grün) die Kreislinie in ${\displaystyle A}$ schneidet und die Länge der Strecke ${\displaystyle |{\overline {AH}}|}$ gleich ${\displaystyle r}$ ist.

Somit ist der Kreisbogen ${\displaystyle OAG}$ ein Drittel des Kreisbogens ${\displaystyle OFB}$ und der Winkel ${\displaystyle \beta }$ bei ${\displaystyle H}$ der gesuchte Drittelwinkel.

Einen vollständigen Überblick über die zentralen Themen der 15 Hilfssätze gibt die folgende Auflistung:

• Satz 1: Berührende Kreise und parallele Durchmesser
• Satz 2: Halbkreis, Durchmesser, Tangente, Sekante
• Satz 3: Halbkreis, Senkrechte zum Durchmesser, Sehnen
• Satz 4: Halbkreise, Senkrechte zum Durchmesser, Arbelos
• Satz 5: Arbelos, Zwillingskreise des Archimedes, Halbkreise, Kreise
• Satz 6: Arbelos, Halbkreise, Kreis
• Satz 7: Quadrat, umschreibender und einbeschreibender Kreis
• Satz 8: Dreiteilung des Winkels, Neusis-Konstruktion
• Satz 9: Senkrechte Sehnen, Bogensumme
• Satz 10: Tangenten an einen Kreis, Sekanten und Sehnen, Parallelen
• Satz 11: Senkrechte Sehnen und Radius
• Satz 12: Halbkreis, Durchmesser, Sehnen, Tangenten, Senkrechte
• Satz 13: Kreis, Durchmesser, Sehne, Senkrechte
• Satz 14: Salinon: Halbkreise, Senkrechte, Kreise, Flächen
• Satz 15: Kreis, Durchmesser, einbeschriebenes regelmäßiges Fünfeck, Bogen, Mittelpunkt, Senkrechte, Radius[26]

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:[30]

Für eine Kugel und einen Kreiszylinder, dessen Grundfläche einem größten Kugelkreis der Kugel und dessen Höhe dem Kugeldurchmesser entspricht, stehen die Flächeninhalte der Oberflächen ${\displaystyle O}$ und die Volumina ${\displaystyle V}$ beider Körper jeweils in demselben Verhältnis und dabei gilt:

${\displaystyle O_{\text{Kreiszylinder}}:O_{\text{Kugel}}=V_{\text{Kreiszylinder}}:V_{\text{Kugel}}=3:2}$

Archimedes stellt in Buch I von Über Kugel und Zylinder den obigen Satz als Korollar zu zwei Sätzen vor, welche er zuvor als Proposition 33 und 34 formuliert hat und die folgendes besagen:[31][32]

Satz 33:

Für eine Kugel ist der Flächeninhalt der Kugeloberfläche viermal so groß wie der Flächeninhalt eines größten Kugelkreises.

Satz 34:

Für eine Kugel ist das Volumen viermal so groß wie das Volumen eines Kreiskegels, dessen Grundfläche einem größten Kugelkreis und dessen Höhe dem Kugelradius entspricht.

Der folgende Satz wird manchmal auch als Satz des Archimedes bezeichnet:[33]

Das Volumen einer Halbkugel ist gleich der Differenz der Volumina des umgebenden Kreiszylinders und des darin enthaltenen Kreiskegels gleicher Höhe und gleicher Grundfläche.

Faksimiles der lateinischen (Liber Assumptorum), der englischen (Book of Lemmas) und der deutschen (Buch der Hilfssätze) Fassung sind als Digitalisate verfügbar, und zwar jeweils zum Online-Lesen und zum Download als PDF-Dokument.

• Borelli et al.: Apollonii Pergaei Conicorum ... (Liber Assumptorum ab Seite 379) bei der ETH Zürich
• Heath: The Works of Archimedes (Book of Lemmas ab Seite 301), im Internet Archive
• Kliem: Archimedes' Werke ... (Buch der Hilfssätze ab Seite 456), im Internet Archive

• Archimedes' Book of Lemmas. Geometry Step by Step from the Land of the Incas, abgerufen am 21. April 2012. – Diagramme
• Alexander Bogomolny: The Book of Lemmas. Cut The Knot, abgerufen am 21. April 2012. – interaktive Java-Applets