Borwein-Integral

Die einfachste Folge sind folgende Integrale, die für die ersten sieben Glieder exakt ${\displaystyle \pi /2}$, danach aber minimal kleinere Werte liefert.

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{1}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\\[10pt]&A_{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\\[10pt]&A_{3}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\end{aligned}}}$

Dieses Muster wiederholt sich bis

${\displaystyle A_{7}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,\mathrm {d} x=\pi /2}$

Das folgende Glied lautet aber:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{8}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}{\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,\mathrm {d} x\\[10pt]&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}\pi \\[10pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}\pi \\[10pt]&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2{,}310057\cdot 10^{-11}\ {\color {red}<}\ {\frac {\pi }{2}}\ .\end{aligned}}}$

Auch die folgenden Glieder ${\displaystyle A_{9},A_{10},\ldots }$ weichen immer weiter von ${\displaystyle \pi /2}$ ab. Der Grenzwert ${\displaystyle A_{\infty }}$ liegt bei etwa ${\displaystyle \,\pi /2-3{,}52\cdot 10^{-5}}$.

Hinweis

Man beachte ${\displaystyle 1/3+1/5+\ldots +1/13=0{,}9551\ldots \leq 1}$,  aber ${\displaystyle 1/3+1/5+\ldots +1/13+1/15=1{,}0218\ldots \not \leq 1}$.

Wem das noch nicht gereicht hat, die Folge behält dieses Verhalten wesentlich länger bei:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{1\;}=\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\\[10pt]&A_{2\;}=\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\\[10pt]&A_{3\;}=\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\end{aligned}}}$

Dieses Muster wiederholt sich hier bis

${\displaystyle A_{56}=\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,\mathrm {d} x=\pi /2,}$

aber nicht mehr bei diesem Glied

${\displaystyle A_{57}=\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,\mathrm {d} x\;\simeq {\frac {\pi }{2}}-2{,}332429\cdot 10^{-138}\ {\color {red}<}\ {\frac {\pi }{2}}\ .}$

Hinweis

Man beachte ${\displaystyle 1/1+1/3+\ldots +1/111=2{,}9944\ldots <3}$,  aber ${\displaystyle 1/1+1/3+\ldots +1/111+1/113=3{,}0032\ldots >3}$.

Diese Folge reißt erst nach 14419 Gliedern aus.

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{1}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\\[10pt]&A_{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/11)}{x/11}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\\[10pt]&A_{3}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/11)}{x/11}}{\frac {\sin(x/21)}{x/21}}\,\mathrm {d} x=\pi /2\end{aligned}}}$

Dieses Muster wiederholt sich bis

${\displaystyle A_{14418}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/11)}{x/11}}\cdots {\frac {\sin(x/144171)}{x/144171}}\,\mathrm {d} x=\pi /2}$

Das folgende Glied lautet aber:

${\displaystyle A_{14419}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/11)}{x/11}}\cdots {\frac {\sin(x/144171)}{x/144171}}{\frac {\sin(x/144181)}{x/144181}}\,\mathrm {d} x\ {\color {red}<}\ {\frac {\pi }{2}}\ .}$

Hinweis

Man beachte ${\displaystyle 1/11+1/21+\ldots +1/144171=0{,}999995990\ldots \leq 1}$,  aber ${\displaystyle 1/11+1/21+\ldots +1/144171+1/144173=1{,}000002925\ldots \not \leq 1}$.

Für eine Folge reeller Zahlen, ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }$ kann eine geschlossene Form von

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,\mathrm {d} x}$

gegeben werden.[1] Die geschlossene Form befasst sich mit Summen der ${\displaystyle a_{k}}$. Für ein n-Tupel ${\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}}$ sei ${\displaystyle b_{\gamma }:=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}}$. Ein solches ${\displaystyle b_{\gamma }}$ ist eine „alternierende Summe“ der ersten ${\displaystyle a_{k}}$. Setze ${\displaystyle \varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}=\pm 1}$. Dann ist

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}}$,

wobei

${\displaystyle C_{n}:={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })}$

Falls ${\displaystyle a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|}$ gilt ${\displaystyle C_{n}=1}$.

1. David Borwein, Jonathan M. Borwein: Some remarkable properties of sinc and related integrals. In: The Ramanujan Journal. Band 5, 2001, S. 73–89.

• David Borwein, Jonathan M. Borwein: Some Remarkable Properties of Sinc and Related Integrals
• 3Blue1Brown: Researchers thought this was a bug (Borwein integrals) auf YouTube, 4. November 2022.