Borsuk-Vermutung

Im n-dimensionalen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ kann mittels der euklidischen Norm der Durchmesser einer Menge ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}$ als ${\displaystyle \sup\{\|x-y\|;\,x,y\in E\}}$ (maximaler Abstand zweier Punkte der Menge) definiert werden.

Man kann nun versuchen, die Menge ${\displaystyle E}$ so in Teilmengen ${\displaystyle E=E_{1}\cup \ldots \cup E_{k}}$ zu zerlegen, dass jeder Teil ${\displaystyle E_{i}}$ einen echt kleineren Durchmesser als ${\displaystyle E}$ hat. Es stellt sich die Frage, wie viele Teilmengen ${\displaystyle E_{i}}$ dazu erforderlich sind.

Wie das regelmäßige, n-dimensionale Simplex zeigt, sind im Allgemeinen mindestens ${\displaystyle n+1}$ Mengen erforderlich, denn die ${\displaystyle n+1}$ Ecken haben alle denselben Abstand, der gleich dem Durchmesser ist. Eine Teilmenge echt kleineren Durchmessers kann daher höchstens eine Ecke enthalten, das heißt, man benötigt mindestens so viele Teilmengen, wie es Ecken gibt, und davon hat man ${\displaystyle n+1}$. Wie nebenstehende Zeichnung für die Dimensionen 1,2 und 3 deutlich macht, kommt man beim Simplex tatsächlich mit ${\displaystyle n+1}$ Teilmengen aus. Karol Borsuk schloss seine Arbeit „Drei Sätze über die n-dimensionale Sphäre“, in der er sich mit der Zerlegung von Kugeln beschäftigte, wie folgt[1]:

Die folgende Frage bleibt offen: Lässt sich jede beschränkte Teilmenge E des Raumes ${\displaystyle R^{n}}$ in (n+1) Mengen zerlegen, von denen jede einen kleineren Durchmesser als E hat?

Die Vermutung, dass diese Frage zu bejahen sei, wurde als Borsuk-Vermutung bekannt und blieb 60 Jahre lang offen.

Im Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ hatte sich die Vermutung 1955 bestätigt.[2] Es mag daher überraschen, dass sich die Borsuk-Vermutung in höheren Dimensionen als falsch erweist. 1993 haben Jeff Kahn und G. Kalai gezeigt[3], dass man für genügend große Dimensionen ${\displaystyle n}$ mindestens ${\displaystyle (1,2)^{\sqrt {n}}}$ Teilmengen benötigt, womit die Borsuk-Vermutung widerlegt war, denn ${\displaystyle (1,2)^{\sqrt {n}}}$ wächst schneller als ${\displaystyle n+1}$. Ein konkretes Gegenbeispiel wurde von A. Nilli im 964-dimensionalen Raum gefunden[4], später ein weiteres von A. Hinrichs und C. Richter im 298-dimensionalen Raum.[5] Heute ist bekannt, dass die Borsuk-Vermutung für Dimensionen ab 64 falsch ist.[6] [7] Die Frage nach der kleinsten Dimension, ab der die Borsuk-Vermutung nicht mehr zutrifft, ist offen.

• M. Aigner, G.M. Ziegler: Das BUCH der Beweise Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42535-7 (3. Auflage: ISBN 978-3-642-02258-6), Kapitel 16

1. K. Borsuk: Drei Sätze über die n-dimensionale Sphäre (PDF; 1,1 MB), Fundamenta Mathematica (1933), Band 20, Seiten 177–190
2. H. G. Eggleston: Covering a three-dimensional set with sets of smaller diameter, J. London Math. Society (1955), Band 30, Seiten 11–24
3. Kahn, Kalai A Counterexample to Borsuks conjecture, Bulletin American Mathematical Society, Bd. 29, 1993, S. 60–62
4. A. Nilli: On Borsuk's problem, Jerusalem Combinatorics '93, Contemporary Mathematics 178, AMS 1994, Seiten 209–210
5. A. Hinrichs and C. Richter: New sets with large Borsuk numbers, Discrete Math. (2003), Band 270, Seiten 137–147
6. Andriy V. Bondarenko: On Borsuk's conjecture for two-distance sets
7. Thomas Jenrich: A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture