Bivektor

In der Mathematik ist ein Bivektor eine Summe von Summanden der Form ${\displaystyle u_{i}\wedge v_{i}}$ mit Vektoren ${\displaystyle u_{i},v_{i}}$. Formal handelt es sich um Elemente der äußeren Algebra ${\displaystyle \Lambda ^{2}V}$ eines Vektorraums ${\displaystyle V}$.

Dabei ist

• ${\displaystyle u\wedge v=-v\wedge u}$ und insbesondere ${\displaystyle u\wedge u=0}$,
• ${\displaystyle (u\wedge v)\wedge w=u\wedge (v\wedge w)}$,
• ${\displaystyle u\wedge (av+bw)=au\wedge v+bu\wedge w}$ für Körperelemente ${\displaystyle a,b}$.

Aus ${\displaystyle u=ae_{1}+be_{2},v=ce_{1}+de_{2}}$ für Vektoren ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ und Körperelemente ${\displaystyle a,b,c,d}$ folgt

${\displaystyle u\wedge v=\mathrm {det} \left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)e_{1}\wedge e_{2}}$.

Falls ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ Vektoren der Standardbasis sind, ist der Vorfaktor der rechten Seite also der Flächeninhalt des von ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ aufgespannten Parallelogramms.

Für ${\displaystyle \mathrm {dim} \,V\leq 3}$ kann man jeden Bivektor als ${\displaystyle u\wedge v}$ mit ${\displaystyle u,v\in V}$ zerlegen. In höherdimensionalen Vektorräumen benötigt man im Allgemeinen mehrere Summanden.