Bisektion

Im diskreten Fall, also wenn das zugrundeliegende Problem nur eine endliche Anzahl von zu testenden Lösungen besitzt, kann ein solches Problem immer als eine Suche aufgefasst werden: Aus einer endlichen Menge ${\displaystyle M}$ soll ein Element ${\displaystyle x}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle p(x)=0}$ gefunden werden. ${\displaystyle p}$ soll hierbei eine Funktion

${\displaystyle p\colon M\to \mathbb {R} }$

sein, wobei ${\displaystyle p(y)=0}$ genau dann gelten soll, wenn die gesuchte Eigenschaft erfüllt ist, also ${\displaystyle y=x}$. Um dieses Problem mittels Bisektion zu lösen, soll weiterhin gelten:

• ${\displaystyle p(y)<0}$ falls ${\displaystyle y<x}$
• ${\displaystyle p(y)>0}$ falls ${\displaystyle y>x}$

Die Funktion ${\displaystyle p}$ gibt also nicht nur den Treffer an (bei ${\displaystyle p(x)=0}$), sondern weist im anderen Fall auch die Richtung, in der weitergesucht werden muss. Dabei wird natürlich stillschweigend vorausgesetzt, dass ${\displaystyle M}$ durch eine Relation < geordnet wird.

${\displaystyle M}$ wird in zwei möglichst gleich große Hälften geteilt, indem zunächst ${\displaystyle p}$ für ein Element möglichst nah der Mitte von ${\displaystyle M}$ ausgewertet wird. Der Fall, dass sich ${\displaystyle M}$ aufgrund einer ungeraden Anzahl von Elementen lediglich in zwei nur ungefähr gleich große Teile teilen lässt, kann unterschlagen werden, er wirkt sich bei großen Elementzahlen so gut wie nicht aus. Nach jedem Schritt kann also eine Hälfte der zuletzt untersuchten Menge verworfen werden, die Menge halbiert sich mit jeder Auswertung von ${\displaystyle p}$. Das Verfahren endet spätestens, wenn die Menge nur noch ein Element enthält, dieses muss das gesuchte sein, sofern es überhaupt in der Ausgangsmenge enthalten war. Um also eine Menge der Größe ${\displaystyle m}$ durch fortgesetztes Halbieren auf 1 zu reduzieren, sind ${\displaystyle n}$ Schritte notwendig, mit:

${\displaystyle m<2^{n}\Rightarrow \log _{2}m<n}$

Das Verfahren hat also eine Laufzeit von O${\displaystyle (\log(m))}$.

Ablauf der Bisektion (Animation)

Im kontinuierlichen Fall ist als Lösung meist ein Intervall gesucht, das ein Teilintervall eines anderen gegebenen endlichen Intervalls ist. Eine wichtige Anwendung ist die Suche nach einem kleinen Intervall, das eine Nullstelle einer gegebenen Funktion enthält:

Gesucht ist die Nullstelle einer stetigen streng monoton steigenden Funktion ${\displaystyle f}$ im Intervall ${\displaystyle [a,b]}$. Diese soll mit einer Genauigkeit ${\displaystyle \varepsilon }$ angegeben werden; es wird also ein Teilintervall von ${\displaystyle [a,b]}$ gesucht, das die Nullstelle enthält und höchstens die Länge ${\displaystyle \varepsilon }$ hat. Da es unendlich viele derartige Intervalle gibt, können diese nicht einfach alle durchprobiert werden. Es gilt jedoch:

• Eine stetige streng monoton steigende Funktion ${\displaystyle f}$ hat in einem Intervall ${\displaystyle [l,r]}$ genau dann eine Nullstelle, wenn ${\displaystyle f(l)<0}$ und ${\displaystyle f(r)>0}$ ist.

Dies führt zu folgendem Algorithmus:

1. Setze ${\displaystyle l=a}$ und ${\displaystyle r=b}$.
2. Teste, ob ${\displaystyle [l,r]}$ eine Nullstelle enthält. Wenn nicht: Abbruch.
3. Teste, ob ${\displaystyle r-l<\varepsilon }$ ist. Wenn ja, ist das Lösungsintervall gefunden.
4. Sonst teile ${\displaystyle [l,r]}$ in der Mitte und setze das Verfahren mit beiden Teilintervallen rekursiv bei 2. fort.

Ähnlich wie im diskreten Fall endet der Algorithmus spätestens, wenn das Intervall die Länge ${\displaystyle \varepsilon }$ unterschreitet. Also:

${\displaystyle {\frac {b-a}{2^{n}}}<\varepsilon \Rightarrow \log _{2}{\frac {b-a}{\varepsilon }}<n}$

Es ergibt sich somit eine logarithmische Laufzeit in Abhängigkeit vom Verhältnis der Intervalllänge zur gewünschten Genauigkeit.

Die Monotonie der Funktion ist nicht zwingend erforderlich. Eine stetige Funktion hat im Intervall ${\displaystyle [l,r]}$ nach dem Zwischenwertsatz schon dann mindestens eine Nullstelle, wenn ${\displaystyle f(l)f(r)<0}$. Der Algorithmus ist dem obigen sehr ähnlich und sieht dann so aus:

1. Setze ${\displaystyle l=a}$ und ${\displaystyle r=b}$.
2. Teste, ob ${\displaystyle f(l)f(r)<0}$. Wenn nicht: Abbruch.
3. Setze ${\displaystyle c={\frac {l+r}{2}}}$.
4. Wenn ${\displaystyle f(l)f(c)<0}$ setze ${\displaystyle r=c}$ sonst setze ${\displaystyle l=c}$
5. Teste, ob ${\displaystyle r-l<\varepsilon }$ ist. Wenn ja, ist das Lösungsintervall gefunden.