Binomische Formeln

Als binomische Formeln werden (im Rahmen der Schulmathematik)[1][2] üblicherweise die folgenden drei Umformungen mit dem Exponenten 2 bezeichnet:[3]

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$	erste binomische Formel,
${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$	zweite binomische Formel,
${\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}$	dritte binomische Formel.

Es werden die Terme ${\displaystyle a^{2}}$ und ${\displaystyle b^{2}}$ als quadratische Glieder und ${\displaystyle \pm 2ab}$ als gemischtes Glied bezeichnet.[4] Zu beachten ist die übliche Kurzschreibweise ${\displaystyle 2ab}$ für das Produkt ${\displaystyle 2\cdot a\cdot b.}$ Das Wort „binomisch“ rührt vom Begriff Binom her und bedeutet, dass es sich um Berechnungen mit Termen mit zwei Gliedern (= Zahlen oder Unbekannte) handelt, wobei diese Glieder miteinander addiert oder subtrahiert werden.[5]

Die binomischen Formeln halten bestimmte Rechengesetze in größtmöglicher Allgemeinheit fest. Daher werden Zahlen hier (willkürlich) durch die Buchstaben ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ersetzt. Die Absicht dahinter ist, eine möglichst große Bandbreite an Anwendungen zu gewährleisten, denn mit unterschiedlichen Anwendungen können immer auch unterschiedliche Zahlen verbunden sein. Ein besseres Gefühl und Verständnis kann beim Üben an konkreten Zahlen erreicht werden. Eine Anwendung der zweiten binomischen Formel ist etwa

${\displaystyle (4-1)^{2}=4^{2}-2\cdot 4\cdot 1+1^{2}=16-8+1=9.}$

In der Tat gilt ${\displaystyle (4-1)^{2}=3^{2}=3\cdot 3=9,}$ da Klammerinhalte zuerst berechnet werden müssen.

Illustration des Distributivgesetzes mit Hilfe von Rechtecksflächen

Die Gültigkeit der Formeln ist durch Ausmultiplizieren einzusehen:

${\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2},}$

${\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2},}$

${\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}.}$

Sie sind damit nur Anwendungen des Distributivgesetzes für algebraische Summen. Jedes Glied der einen wird dabei mit jedem der anderen Summe multipliziert:

${\displaystyle (a+b)\,(c+d)=ac+ad+bc+bd}$

mit ${\displaystyle c=a,}$ ${\displaystyle d=b}$ und den entsprechenden Vorzeichenvarianten.

Obwohl die zweite binomische Formel als eigenständige Formel geführt wird, ergibt sie sich unmittelbar aus der ersten binomischen Formel „angewendet auf ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle -b}$“. Es gilt mit der ersten binomischen Formel

${\displaystyle (a-b)^{2}=(a+(-b))^{2}=a^{2}+2a(-b)+(-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.}$

Wegen des Kommutativgesetzes ist das Vertauschen von Faktoren in Produkten erlaubt. Daher spielt es für die dritte binomische Formel keine Rolle, wann die Terme ${\displaystyle a\pm b}$ auftauchen. Es gilt

${\displaystyle (a+b)\,(a-b)=(a-b)\,(a+b)=a^{2}-b^{2}.}$

Bei den binomischen Formeln handelt es sich nicht um Gleichungen im herkömmlichen Sinne, sondern um Identitäten; die Gleichheit beider Ausdrücke auf der linken und rechten Seite des Gleichheitszeichens ist also für jede Auswahl von Zahlen oder Unbekannten gegeben. Hingegen müssen spezielle Gleichungen oft aufgelöst werden, und nur eine eingeschränkte Menge an Zahlen werden diese lösen. Zur Betonung der universellen Gültigkeit kann daher auch das Symbol ${\displaystyle \equiv }$ genutzt werden, zum Beispiel

${\displaystyle (a+b)^{2}\equiv a^{2}+2ab+b^{2}.}$

Die Wahl der Buchstaben ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ist entsprechend willkürlich; es handelt sich nur um Platzhalter für Zahlen, deren genaue Benennung keinen Einfluss auf die Formeln hat. Die einzige Ausnahme hiervon ist, dass im Allgemeinen verschiedene Größen ungleich benannt werden sollten. So kann die erste binomische Formel auch durch ${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}$ ausgedrückt werden, aber theoretisch auch durch ${\displaystyle (b+Z)^{2}=b^{2}+2bZ+Z^{2}.}$ Ungünstig hingegen ist die Bezeichnung ${\displaystyle (a+a)^{2}=a^{2}+2aa+a^{2},}$ da dies nur ein Spezialfall der allgemeinen Formel ist.

Im Gegensatz zu Adjektiven wie abelsch leitet sich binomisch nicht vom Namen eines Mathematikers ab. Im Sinne des wissenschaftlichen Witzes wird die Bezeichnung binomisch scherzhaft auf einen fiktiven Mathematiker namens Alessandro (oder Francesco) Binomi zurückgeführt, der wahlweise auch in einigen Schul- und Lehrbüchern als deren Urheber auftaucht.[6][7]

Nach heutigem Forschungsstand waren die erste und dritte binomische Formel wesentliche Inhalte der Algebra in Mesopotamien im Zeitraum 1900 bis 1600 v. Chr.[16]

Im Zusammenhang mit Berechnungen von Flächen stießen die Babylonier auf quadratische Gleichungen. Um diese zu lösen, entwickelten sie bereits Verfahren, die den heutigen ähneln. Wie Texte aus der Zeit der Hammurapi-Dynastie um das Jahr 1700 v. Chr. belegen, verfügten sie über Algorithmen (also „mathematische Vorgehensweisen“), mit denen sie die Lösung gemäß der heute üblichen Formel berechnen konnten, wobei jedoch die Frage offen bleibt, wie sie diese genau fanden. Da sie jedoch über die dritte binomische Formel verfügten, wird angenommen, dass sie ähnlich vorgingen wie später Diophantos von Alexandria.[17]

Babylonische Tontafel YBC 7289 mit Beschriftungen. Die Diagonale zeigt eine Annäherung an die Quadratwurzel aus 2 in vier Sexagesimalziffern, ${\displaystyle 1\,\,24\,\,51\,\,10,}$ was auf etwa sechs Dezimalstellen genau ist: ${\displaystyle 1+{\tfrac {24}{60}}+{\tfrac {51}{60^{2}}}+{\tfrac {10}{60^{3}}}=1{,}41421296\ldots }$ Die Tafel enthält auch ein Beispiel, bei dem eine Seite des Quadrats ${\displaystyle 30}$ ist und die sich ergebende Diagonale ${\displaystyle 42\,\,25\,\,35}$ bzw. ${\displaystyle 42{,}4263888\ldots }$

Die Babylonier verwendeten die erste binomische Formel auch für die Annäherung von Quadratwurzeln (siehe auch Heron-Verfahren). Ist ${\displaystyle b}$ im Vergleich zu ${\displaystyle a}$ klein, so ist zu erwarten, dass

${\displaystyle {\sqrt {a+b}}={\sqrt {a}}+\delta }$

mit einem kleinen ${\displaystyle \delta }$ gilt. Quadriert man dies, ergibt sich mit der ersten binomischen Formel

${\displaystyle a+b=a+2{\sqrt {a}}\delta +\delta ^{2}.}$

Vernachlässigt man ${\displaystyle \delta ^{2},}$ ergibt sich daraus die Näherung ${\displaystyle \delta \approx {\tfrac {b}{2{\sqrt {a}}}},}$ also

${\displaystyle {\sqrt {a+b}}\approx {\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}},\qquad |b|\ll a.}$

Dies ist besonders dann praktisch, wenn ${\displaystyle a}$ eine Quadratzahl ist. Höchstwahrscheinlich auf diesen Gedanken aufbauend konnten die Babylonier die Quadratwurzel aus 2 durch ${\displaystyle 1,24,51,10}$ annähern, wobei die Kommas die Ziffern im Sechzigersystem trennen, mit dem die Babylonier rechneten, was in Dezimalschreibweise ungefähr ${\displaystyle 1{,}41421296296\ldots }$ entspricht. Dies belegen Steintafeln aus dem Jahr 1900 v. Chr.[18] Der exakte Wert von ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ beginnt mit ${\displaystyle 1{,}414213562373\ldots }$

Bewiesen wurde die binomische Formel ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ von Euklid von Alexandria (circa 3. Jahrhundert v. Chr.) in seinen Elementen. Euklids Beweismethode ist geometrisch, womit er die Formel ebenfalls in Buch II, Proposition 4 (Buch II: „Geometrische Algebra“) geometrisch interpretiert.[19] Die Bezeichnung „Binom“ geht ebenfalls auf Euklid zurück.[20]

Euklid beweist in Buch II, Proposition 5 auch die dritte binomische Formel, jedoch in der abgewandelten Form ${\displaystyle ab+\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)^{2}=\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)^{2}.}$[23] Erneut basiert der Beweis auf geometrischen Überlegungen.

Papyrusfragment der Elemente (Buch II, Proposition 5) aus Oxyrhynchos

In dieser Hinsicht ist die bereits im antiken Griechenland entdeckte Beziehung zwischen Algebra und Geometrie bemerkenswert. Laut Sonja Brentjes und Peter Schreiber sei „die einzig sinnvolle Antwort“ auf die Frage, wozu die Griechen überhaupt Algebra brauchten, die analytische Behandelbarkeit komplizierter geometrischer Sachverhalte. Sobald man von Geraden und Kreisen zu Kegelschnitten oder anderen „höheren Kurven“ übergehe, könnten diese in der Regel „nur durch Gleichungen zwischen bestimmten beteiligten Strecken“ definiert werden.[25] Zum Beispiel wird der Kreis mit Radius ${\displaystyle 1}$ und dem Ursprung als Mittelpunkt über die algebraische Gleichung ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ beschrieben. Euklid scheine dies schon erkannt zu haben, denn sein Beweis des Satzes des Pythagoras am Ende von Buch I seiner Elemente könne als eine „Motivation für das der geometrischen Algebra gewidmete Buch II“ gesehen werden, wo nun „ganz systematisch die algebraischen Grundeigenschaften der geometrisch interpretierten Addition und Multiplikation von Größen“ abgehandelt werden.[26]

Der Mathematikhistoriker Sabetai Unguru vertritt in seinem Artikel On the Need to Rewrite the History of Greek Mathematics die These, dass die Darstellung antiker Mathematik durch moderne Algebra problematisch sei. Unguru ist der Auffassung, dass es prinzipiell unangemessen sei, antike Erkenntnisse mit modernen Formeln darzustellen. Er bezeichnete die „geometrische Algebra“ als ein „Fantasiegespinst, ein monströses Zwittergeschöpf, das sich Mathematiker ausgedacht haben, denen jegliches Gefühl für Historie fehlt“.[27][28] Der Formel- und Begriffsapparat der modernen Mathematik beinhalte Konzepte und Abstraktionen, die „das Authentische am historischen Vorgehen möglicherweise verschleiern“. Als Beispiel könne die binomische Formel ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ angeführt werden.[29] In der modernen Mathematik gilt sie für alle abstrakten Elemente eines kommutativen Rings (einer Menge, in der Elemente addiert und multipliziert werden können); eine solche Begriffsbildung sei einem Euklid jedoch völlig fremd.[30] Bartel Leendert van der Waerden, Hans Freudenthal und André Weil traten Ungurus Thesen entgegen.[31][32][33]

Viele Beziehungen über Zahlenfolgen haben die Pythagoreer durch Legen von Rechen- bzw. Spielsteinen gewonnen. Darunter fielen auch Varianten der binomischen Formeln, wie etwa[34]

${\displaystyle (n-1)^{2}+4n=(n+1)^{2}.}$

Bereits Aristoteles spricht in seiner Metaphysik davon, dass „gewisse Leute Zahlen in die Gestalt von Dreiecken und Rechtecken bringen“.[35]

Quadratzahlen als Summen aufsteigender ungerader Zahlen, dargestellt mit farbigen Bällen

Eng verwandt ist die Beobachtung der Pythagoreer, dass sich die Quadratzahlen als aufsteigende Summen der ungeraden Zahlen ergeben:[36]

${\displaystyle 1^{2}=1=1}$

${\displaystyle 2^{2}=4=1+3}$

${\displaystyle 3^{2}=9=1+3+5}$

${\displaystyle 4^{2}=16=1+3+5+7}$

usw. Aus heutiger Perspektive werden solche Beobachtungen meist über vollständige Induktion rigoros bewiesen.[37] Ist etwa bereits bekannt, dass

${\displaystyle 1+3+5+\dotsb +(2n-1)=n^{2}}$

gilt, so folgt mit der ersten binomischen Formel

${\displaystyle (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1=1+3+5+\dotsb +(2n-1)+(2n+1),}$

und die Behauptung muss, da sie nach Annahme für ${\displaystyle n}$ stimmt, auch für ${\displaystyle n+1}$ stimmen. Da sie initial für ${\displaystyle n=1}$ richtig ist, muss sie folglich für alle natürlichen ${\displaystyle n}$ wahr sein.[38][39]

Die binomischen Formeln finden sich auch bei Nikomachos von Gerasa. Seine Einführung in die Arithmetik gilt als das älteste Buch der Antike, das speziell der Arithmetik gewidmet ist. Daneben existiert noch die Arithmetik des Diophantos, doch dieses Werk galt im Mittelalter als unbekannt. Nikomachos’ Werk hatte in den folgenden Jahrhunderten für die Arithmetik eine ähnliche Bedeutung wie Euklids Elemente für die Geometrie. Sie wurde von Boethius in seinem Werk De institutione arithmetica ins Lateinische übersetzt[40] und damit während des Mittelalters in Klosterschulen und Universitäten populär. Für ihn galt die dritte binomische Formel

${\displaystyle \left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}=ab+\left({\frac {a-b}{2}}\right)^{2}}$

als „wertvoll“, etwa zur schnellen Berechnung von Quadratzahlen:[41]

${\displaystyle 97^{2}=94\cdot 100+9=9409,}$

mit ${\displaystyle a=94}$ und ${\displaystyle b=100.}$

Auch Diophantos von Alexandria (zwischen 100 v. Chr. und 350) waren die binomischen Formeln geläufig. So hatte er unter anderem Kenntnis von den Identitäten[42]

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})\pm 2ab=(a\pm b)^{2},}$

${\displaystyle 2(a^{2}+b^{2})=(a+b)^{2}+(a-b)^{2},}$

${\displaystyle 4ab+(a-b)^{2}=(a+b)^{2}}$

und

${\displaystyle \left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a-b}{2}}\right)^{2}=ab.}$

Bereits zwischen 400 v. Chr. und dem 2. Jahrhundert soll Pingala den Aufbau des Pascalschen Dreiecks bestimmt haben. Dieses listet die Binomialkoeffizienten schematisch auf. Dass er allerdings auch um den Zusammenhang zum binomischen Lehrsatz wusste, gilt nicht als plausibel.[43]

Im 6. und 7. Jahrhundert gaben die indischen Mathematiker Aryabhata und Brahmagupta die Fälle ${\displaystyle (a+b)^{2}}$ und ${\displaystyle (a+b)^{3}}$ an.[44] Der Ausdruck

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$

wird auch als kubische binomische Formel bezeichnet.[45] Ferner zeigte Brahmagupta in seiner Brahmasphutasiddhanta die zu den binomischen Formeln verwandte Brahmagupta-Identität

${\displaystyle \left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2},}$

die in der elementaren Zahlentheorie, zum Beispiel im Umfeld des Zwei-Quadrate-Satzes, eine Rolle spielt. Diese Identität lässt sich allerdings bereits in der Arithmetica von Diophantos von Alexandria finden und wurde zuerst von Leonardo von Pisa bewiesen.[46]

Narayana Pandit (circa 1325–1400) beschäftigte sich im Kapitel XI seiner Ganita Kaumudi unter anderen mit Primfaktorzerlegungen. Neben dem ausschöpfenden Dividieren von Zahlen durch die Primzahlen 2, 3, 5 usw. (was schon lange bekannt war) formuliert er einige Regeln zur Bestimmung von Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ mit ${\displaystyle N+b^{2}=a^{2}}$ und der dazugehörigen Faktorisierung ${\displaystyle N=(a-b)\,(a+b)}$ im Falle eines Erfolgs, die sich aus der dritten binomischen Formel ergibt. Damit nahm er die Grundidee des heute als Faktorisierungsmethode von Fermat genannten Prinzips vorweg. Als Beispielrechnung gibt er an:[47]

${\displaystyle 1161=1225-64=35^{2}-8^{2}=(35-8)\cdot (35+8)=27\cdot 43=3\cdot 3\cdot 3\cdot 43.}$

Bereits al-Chwarizmi beschäftige sich um das Jahr 830 mit geometrischen Lösungsverfahren linearer und quadratischer Gleichungen und folgte dabei sowohl indischen als auch griechischen Vorbildern, wobei letztere überwiegen. Dabei fanden auch neue Figuren als jene bei Euklid Einzug in seine Betrachtungen. Etwa bezieht sich ${\displaystyle x^{2}+2x=15}$ auf ${\displaystyle y=1}$ in den Bildern 1 und 2, denn dann ist ${\displaystyle x^{2}+4\cdot {\tfrac {x}{2}}+4\cdot ({\tfrac {1}{2}})^{2}=15+1=(x+1)^{2}}$ (siehe Bild 1) bzw. ${\displaystyle x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}}$ (siehe Bild 2).[48]

• 
  Bild 1:
  ${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+4\cdot {\tfrac {y}{2}}x+4\cdot ({\tfrac {y}{2}})^{2}}$
• 
  Bild 2:
  ${\displaystyle (x+y)^{2}=y^{2}+xy+yx+y^{2}}$

Bei al-Karadschi und noch deutlicher bei as-Samaw’al (1130–1180) finden sich Überlegungen, die wesentliche Schritte zu einem Beweis für den binomischen Lehrsatz, der die erste und zweite binomische Formel umfasst, durch vollständige Induktion enthalten. Dies bereitete Schwierigkeiten, da die mathematischen Ausdrucksmöglichkeiten der damaligen Zeit nicht ausreichten, eine derart allgemeine Aussage auch nur zu formulieren. Für die Berechnung der Binomialkoeffizienten ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ verwendeten al-Karadschi und as-Samaw’al dabei – lange vor Blaise Pascal – das Pascalsche Dreieck.[49][50]

Der persische Mathematiker und Dichter Omar Chayyām (1048–1131) entwickelte eine Technik, um ${\displaystyle n}$-te Wurzeln zu ziehen. Obwohl sein Werk verloren ging, wird davon ausgegangen, dass er den Umgang mit den allgemeinen binomischen Formeln ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ beherrschte und auch die Binomialkoeffizienten in Form des Pascalschen Dreiecks kannte. Diese wurden in Europa erst 500 Jahre später durch Blaise Pascal wiederentdeckt.[51] Der Fall der Potenz 2 ist in Euklids Elementen explizit angegeben, und der Fall von höchstens Potenz 3 wurde von indischen Mathematikern aufgestellt. Chayyām erkannte somit als einer der ersten Mathematiker die Bedeutung eines allgemeinen binomischen Lehrsatzes. Er machte zudem die dreieckige Anordnung der Binomialkoeffizienten im Iran populär, sodass diese heute gelegentlich auch als Omar Chayyāms Dreieck bezeichnet wird.[52]

Schematische Darstellung des Pascalschen Dreiecks durch Blaise Pascal im Jahr 1654

Vollständige Induktion als Dominoeffekt mit unendlich vielen Steinen: Jeder Stein steht für eine Aussage. Gilt die initiale Aussage (= erster Stein fällt, Pascals „erstes Lemma“), und muss sich unter Annahme einer beliebigen Aussage stets auch die nächste ergeben (Pascals „zweites Lemma“), so fallen in einer Kettenreaktion alle Steine.

Mit diesen Worten eröffnete Blaise Pascal im Jahr 1654 einen der ersten niedergeschriebenen Induktionsbeweise. Ziel war es, den Term ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ zu expandieren. Die ersten Ergebnisse lauten dabei[54]

${\displaystyle (a+b)^{0}=1\qquad }$ (siehe leeres Produkt)

${\displaystyle (a+b)^{1}=a+b}$

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$

${\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}}$

${\displaystyle (a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}}$

usw. und Pascal erkannte ein Muster in den „Binomialkoeffizienten“:

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \color {red}1}$

${\displaystyle \color {red}2}$

${\displaystyle \color {red}1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 3}$

${\displaystyle 3}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 4}$

${\displaystyle 6}$

${\displaystyle 4}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \color {blue}5}$

${\displaystyle \color {blue}10}$

${\displaystyle 10}$

${\displaystyle 5}$

${\displaystyle 1}$

usw. Die erste binomische Formel ist in rot dargestellt. Über Bildung von benachbarten Quotienten erhielt Pascal das alternative Dreieck[55]

${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$

${\displaystyle {\tfrac {2}{1}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle {\tfrac {3}{1}}}$

${\displaystyle {\tfrac {2}{2}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\tfrac {4}{1}}}$

${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

${\displaystyle {\tfrac {5}{1}}}$

${\displaystyle \color {blue}{\tfrac {4}{2}}}$

${\displaystyle {\tfrac {3}{3}}}$

${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

usw. (exemplarisch in blau: es bezieht sich ${\displaystyle {\tfrac {4}{2}}={\tfrac {10}{5}}}$ auf ${\displaystyle 5}$ und ${\displaystyle 10}$ im oberen Dreieck), mit dessen Hilfe er induktiv auf eine geschlossene Formel für die Zahlen im oberen Dreieck schließen konnte:[56]

In der modernen Mathematik wird – ganz im Sinne Pascals – gewöhnlich kein separates Studium der „binomischen Formeln zweiten Grades“ vollzogen, sondern stets der allgemeine binomische Lehrsatz für Terme ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ genutzt. In manchen Lehrbüchern wird die durch den binomischen Lehrsatz gegebene allgemeine Formel für ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ sogar auch als „binomische Formel“ bezeichnet.[57] Der Ausdruck „erste binomische Formel“ für den Fall ${\displaystyle n=2}$ im binomischen Lehrsatz ist jedoch bis heute in der Schulmathematik etabliert.[1]

Einige Brüche können mit den binomischen Formeln vereinfacht werden. In erster Linie handelt es sich um Brüche, die Quadratwurzeln in ihren Nennern haben. Dies kann anhand eines Beispiels demonstriert werden:

${\displaystyle {\frac {2}{{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}}}{\overset {{\text{Erweitern mit}} \atop {\sqrt {5}}-{\sqrt {2}}}{=}}{\frac {2({\sqrt {5}}-{\sqrt {2}})}{({\sqrt {5}}+{\sqrt {2}})({\sqrt {5}}-{\sqrt {2}})}}{\overset {{\text{3. binomische}} \atop {\text{Formel}}}{=}}{\frac {2({\sqrt {5}}-{\sqrt {2}})}{({\sqrt {5}})^{2}-({\sqrt {2}})^{2}}}={\frac {2({\sqrt {5}}-{\sqrt {2}})}{5-2}}={\frac {2}{3}}({\sqrt {5}}-{\sqrt {2}})}$.

Es wurde also durch Erweitern mit dem Faktor ${\displaystyle {\sqrt {5}}-{\sqrt {2}}}$ und Anwenden der dritten binomischen Formel der Nenner vereinfacht, und die Quadratwurzeln in den Zähler „transportiert“. Dieses Prinzip ist ein Spezialfall der sogenannten Rationalisierung von Brüchen.[58]

Eine andere Anwendung betrifft die Vereinfachung von Bruchtermen. Dabei können die binomischen Formeln manchmal dabei helfen, Nenner und/oder Zähler des Bruchs zu faktorisieren, um anschließend ein Kürzen des Bruchs zu ermöglichen. Ein Beispiel unter Nutzung der dritten binomischen Formel ist[59]

${\displaystyle {\frac {49a-63b}{49a^{2}-81b^{2}}}={\frac {7(7a-9b)}{(7a-9b)(7a+9b)}}={\frac {7}{7a+9b}}.}$

Ein anderes Beispiel betrifft die zweite binomische Formel:

${\displaystyle {\frac {8x^{2}-12xy}{8x^{2}-24xy+18y^{2}}}={\frac {4x(2x-3y)}{2(2x-3y)^{2}}}={\frac {2x}{2x-3y}}}$.

Mit Hilfe der binomischen Formeln können manche eher komplizierten Ausdrücke schnell durch deutlich leichtere Terme geschätzt werden. So gilt für kleine Werte ${\displaystyle x}$[60]

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1:(1-x)\approx 1+x.}$

Anwendungsbeispiele sind

${\displaystyle {\frac {1}{1{,}1}}\approx 0{,}9\quad }$ (exakt gilt ${\displaystyle {\frac {1}{1{,}1}}=0{,}90909\ldots }$)

und

${\displaystyle {\frac {1}{0{,}95}}\approx 1{,}05\quad }$ (exakt gilt ${\displaystyle {\frac {1}{0{,}95}}=1{,}05263\ldots }$)

Die Begründung dieser Näherung ergibt sich aus der Näherung

${\displaystyle 1\approx 1-x^{2}=(1-x)\,(1+x)\qquad }$ (beachte: Ist ${\displaystyle x}$ klein, so erst recht ${\displaystyle x^{2};}$ z. B. ist der zehnte Teil eines Zehntels nur ein Hundertstel, also ${\displaystyle 0{,}1^{2}=0{,}01}$),

und anschließende Division durch ${\displaystyle 1-x.}$ Je kleiner ${\displaystyle x}$ hier ist, desto kleiner ist der relative Fehler. Auf ähnliche Weise erhält man über die erste binomische Formel für kleine Werte ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left(1+{\frac {x}{2}}\right)^{2}=1+x+{\frac {x^{2}}{4}}\approx 1+x,}$

also[61]

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}\approx 1+{\frac {x}{2}}.}$

Diese Näherungsformeln können mittels Taylor-Polynomen weiter verbessert werden.[62] Gleichzeitig ist die erste binomische Formel damit Ausgangspunkt[63] für das sogenannte Heron-Verfahren zur Annäherung von Quadratwurzeln, das die oberen Annäherungen iterativ benutzt.[64][65]

Es ist

${\displaystyle 3=3}$

ein Beispiel für eine wahre Gleichung: Beide Zahlen auf jeder Seite des Gleichheitszeichens sind identisch. Gleichungen können umgeformt werden. Dahinter steckt die Idee, dass, wenn zwei identische Größen auf identische Weise manipuliert werden, die Resultate wieder identisch sein müssen. Aus beidseitiger Addition von ${\displaystyle 3=3}$ mit ${\displaystyle 7}$ geht ${\displaystyle 10=10}$ hervor – wieder eine gültige Gleichung. Oft beinhalten Gleichungen eine Unbekannte, etwa ${\displaystyle 2\cdot x=4.}$ Beidseitige Division durch ${\displaystyle 2}$ formt dies zu ${\displaystyle x=2}$ um, womit die Unbekannte plötzlich „sichtbar“ wird. Im Nachhinein ist auch der einfache Zusammenhang ${\displaystyle 2\cdot 2=4}$ leicht zu prüfen, und es war ${\displaystyle x=2}$ der „einzige Kandidat“, der mit ${\displaystyle 2\cdot x=4}$ schon unausweichlich bestimmt war. In vielen Problemen der wissenschaftlichen Praxis entstehen aus bekannten Beziehungen zunächst unbekannter Größen Gleichungen, weshalb Techniken zu deren Auflösen große Bedeutung zukommt. Die innerhalb einer wissenschaftlichen Theorie erarbeiteten kausalen Zusammenhänge oder ökonomische Forderungen „zwingen“ die Größen in einen begrenzten Raum an Möglichkeiten, doch erst ein Auflösen der entstehenden Gleichungen macht diese wenigen Möglichkeiten „sichtbar“.

Ein Beispiel ist: Ein rechteckiges Zimmer ist zwei Meter länger als breit und hat den Flächeninhalt ${\displaystyle 24}$ Quadratmeter – wie lang und wie breit ist es? Die Frage führt zur Gleichung

${\displaystyle x\cdot (x+2)=24\qquad }$ (${\displaystyle x}$ = Breite des Zimmers in Metern),

also

${\displaystyle x^{2}+2x=24.}$

Dies ist Beispiel einer quadratischen Gleichung. Gerade im Umgang mit quadratischen Gleichungen erweisen sich die binomischen Formeln als nützlich. Die Grundidee ist, „umgekehrt“ zu denken: Schafft man es, irgendwo einen Term der Form ${\displaystyle x^{2}+2bx+b^{2}}$ zu erzeugen, kann eine Gleichung vereinfacht werden. Dies erfordert ein gewisses Geschick beim „Erkennen“ und zu Beginn meist etwas Übung. Im obigen Beispiel kann auf der linken Seite durch Hinzufügen eines nichtigen Terms ${\displaystyle 1-1=0}$ wie folgt eine binomische Formel „erzwungen“ werden:

${\displaystyle x^{2}+2x=24\iff x^{2}+2x\,\,+\underbrace {1-1} _{{\text{keine}} \atop {\text{Veränderung}}}=24\iff (x^{2}+2x+1)-1=24\iff (x+1)^{2}-1=24{\overset {|\,+1}{\iff }}(x+1)^{2}=25.}$

Nun muss nur noch auf beiden Seiten die Quadratwurzel in beiden Zweigen ${\displaystyle {\sqrt {25}}=\pm 5}$ gezogen werden (was letztlich der entscheidende Schritt zum „Auflösen“ der Gleichung ist), um aus

${\displaystyle x+1=\pm 5}$

die Lösungsmenge ${\displaystyle \{-6,4\}}$ zu erhalten. Damit hat das Zimmer die Breite ${\displaystyle x=4}$.[Anm. 2] Dies war schon seit Aufstellung der Bedingungen an das Zimmer „unausweichlich“, wurde aber erst nach Auflösung der quadratischen Gleichung für Geist und Auge „sichtbar“.

Eben dieses Prozedere der Erzeugung eines Terms passend zur ersten (oder auch zweiten) binomischen Formel nennt man auch quadratische Ergänzung.[66]

Tatsächlich kann genau dieses Verfahren zur Herleitung der allgemeinen „Mitternachtsformel“ genutzt werden, wobei die Idee durch das obige Beispiel bereits vollständig beschrieben ist und lediglich unter Verwendung allgemeiner „Platzhalter“ ${\displaystyle a\not =0,b,c}$ in ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ausgeführt werden muss.[67][68]

Der Satz des Pythagoras besagt, dass ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ gilt.

Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Sind also ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ die Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten, der Katheten, und ${\displaystyle c}$ die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der Hypotenuse, dann lautet der Satz als Gleichung ausgedrückt:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Mehr noch werden durch diesen Satz die rechtwinkligen Dreiecke charakterisiert. Ist das betrachtete Dreieck also nicht rechtwinklig, kann die Gleichung ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ nicht erfüllt sein.

Der Satz des Pythagoras kann mit Hilfe der ersten binomischen Formel bewiesen werden.[69][70] Hintergrund ist eine einfache geometrische Idee: In ein Quadrat mit der Seitenlänge ${\displaystyle a+b}$ werden vier kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist.

• 
  Graphik P: Der Satz des Pythagoras ergibt sich aus der Betrachtung derselben Fläche (hier in Weiß) aus unterschiedlichen Perspektiven: Einmal als ${\displaystyle c^{2}}$ und einmal als ${\displaystyle a^{2}+b^{2}.}$ Mit Hilfe der ersten binomischen Formel kann diese Idee rigoros gemacht werden.

Um diese geometrische Idee algebraisch rigoros zu machen, werden Termumformungen benötigt, bei denen die erste binomische Formel von Nutzen ist. Die Gesamtfläche des Quadrates ist einerseits wegen der ersten binomischen Formel

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.}$

Graphik R: Rechteck mit Länge ${\displaystyle a,}$ Breite ${\displaystyle b}$ und Fläche ${\displaystyle ab.}$ Die Diagonale ${\displaystyle d}$ zerteilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke mit Flächeninhalten ${\displaystyle {\tfrac {ab}{2}}.}$

Der Mittelterm ${\displaystyle 2ab}$ entspricht den Flächen der vier kongruenten Dreiecke in Graphik P; jedes einzelne mit Fläche ${\displaystyle {\tfrac {ab}{2}},}$ siehe Graphik R. Andererseits kann die Fläche des großen Quadrates als Summe der – in Graphik P weißen – Fläche ${\displaystyle c^{2}}$ und erneut der Fläche der vier Dreiecke dargestellt werden:

${\displaystyle c^{2}+4\cdot {\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab.}$

Dies entspricht dem oben erwähnten „Perspektivwechsel“: Der Term ${\displaystyle 2ab}$ ist in beiden Ausdrücken zu finden, da die vier Dreiecke im linken Bild von Graphik P bloß verschoben werden. Da es sich in beiden Fällen um die selbe Ausgangsfläche handelte, gilt folglich

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=c^{2}+2ab.}$

Zieht man nun auf beiden Seiten ${\displaystyle 2ab}$ ab, verbleibt ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$ was genau der Satz des Pythagoras ist.

Als Anwendung des Satzes des Pythagoras ergibt sich, wieder unter Anwendung der ersten binomischen Formel, ein Beweis des Höhensatzes von Euklid.[71]

Eine Anwendung der ersten binomischen Formel betrifft die Hardy-Weinberg-Formel. Von nahezu allen Genen gibt es unterschiedliche Varianten, die als Allele bezeichnet werden. So kann es etwa verschiedene Allele für die Farbe einer Linsensorte geben, für die Größe von Individuen, aber auch für bestimmte Proteine, die im Stoffwechsel eine tragende Rolle spielen.

Den Anteil, mit der ein solches Allel in einer Population vorkommt, nennt man Allelfrequenz. Im einfachsten Fall gibt es nur zwei Allele, also zwei Genvarianten, die zum Beispiel als ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ bezeichnet werden können. Für die entsprechenden Allelfrequenzen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ gilt dann ${\displaystyle a+b=1.}$ Nun trägt jedes Individuum von einem bestimmten Gen zwei Stück, eines vom Vater, eines von der Mutter. Eine Ausnahme von dieser Regel sind lediglich bestimmte geschlechtsgebundene Gene (siehe auch X-chromosomaler Erbgang). Man erhält dann, unter Annahme einer perfekten Durchmischung der betrachteten Population, die Hardy-Weinberg-Formel

${\displaystyle 1=1\cdot 1=\underbrace {(a+b)} _{\text{1. Gen}}\cdot \underbrace {(a+b)} _{\text{2. Gen}}=a^{2}+2ab+b^{2}.}$

Wird nun angenommen, das Allel A sei dominant, bedeutet dies, dass die Merkmale von Allel ${\displaystyle B}$ bei der Genkombination ${\displaystyle AB}$ nicht erkenntlich sind, sondern nur bei ${\displaystyle BB.}$ Die von ${\displaystyle B}$ getragenen Merkmale nennt man dann rezessiv. Sind beispielsweise vier Prozent einer Population Merkmalsträger von ${\displaystyle B,}$ so ist die Allelfrequenz von ${\displaystyle B}$ höher als gedacht: Die Hardy-Weinberg-Formel liefert ${\displaystyle b^{2}=0{,}04}$ und damit ${\displaystyle b=0{,}2.}$ Demzufolge ist ${\displaystyle a=1-b=0{,}8}$ und immerhin ${\displaystyle 2ab=0{,}32.}$ Ergo sind 32 Prozent der Bevölkerung Träger des Allels ${\displaystyle B,}$ ohne aber Merkmalsträger zu sein.[72]

Der Idealfall: Die Symmetrie einer Münze sowie die völlige Unberechenbarkeit ihres Wurfverlaufs zwingen dazu, beiden Ausgängen „Kopf“ und „Zahl“ die gleiche Plausibilität zuzugestehen. Da Dinge im Vergleich „mehr“ oder „weniger“ plausibel sein können, ist eine Quantifizierung möglich. Da irgendetwas passieren muss, und per definitionem ${\displaystyle 1}$ „alles“ ist, sind die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}$

In eine ähnliche Richtung wie die Hardy-Weinberg-Formel geht folgende probabilistische Interpretation der ersten binomischen Formel. Diese hängt mit der zweifachen Ausführung eines Zufallsexperiments mit unabhängigen Abläufen (zum Beispiel dem zweifachen Wurf einer Münze) zusammen. Stehen sich in einem Zufallsexperiment zwei mögliche Ausgänge gegenüber, etwa „Gewinnen“ und „Verlieren“, so folgt für deren Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ bereits ${\displaystyle a+b=1}$ (die Eins entspricht hier ${\displaystyle 100\%={\tfrac {100}{100}}}$), da bei angenommenem Ausschluss eines Unentschiedens eines dieser Ereignisse sicher eintritt. Zweifache Ausführung führt zu folgender neuen „Aufteilung der Eins“:

${\displaystyle 1=1\cdot 1=(a+b)\cdot (a+b)=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.}$

Dies bildet die möglichen – sich gegenseitig ausschließenden – Ereignisse

• „zweimal gewinnen“ (mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle a^{2}}$),
• „je einmal gewinnen und verlieren“ (mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle 2ab}$ – es wird bei diesem Ereignis nicht in der Reihenfolge, also zwischen ${\displaystyle ab}$ und ${\displaystyle ba,}$ unterschieden![Anm. 3]) und
• „zweimal verlieren“ (mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle b^{2}}$)

ab.[73] Auf diese Weise werden die Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle a^{2},}$ ${\displaystyle 2ab}$ und ${\displaystyle b^{2}}$ als „Teilvolumina der Eins“ sichtbar (siehe Bilder unten). Ist beim zweifachen Münzwurf zum Beispiel ${\displaystyle a=b={\tfrac {1}{2}},}$ so trifft Kopf-Kopf und Zahl-Zahl jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}}$ auf, und „je einmal Kopf und einmal Zahl“ mit der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle 2\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}.}$

• 
  K = „Kopf“, Z = „Zahl“. Darstellung des zweifachen Münzwurfs mittels eines Baumdiagramms. Eine einfache Regel besagt, dass sich bei unabhängigen Abläufen die Wahrscheinlichkeiten „entlang der Äste“ multiplizieren. In diesem Spezialfall ergibt sich dies aus der ersten binomischen Formel, siehe Bilder rechts.
• 
  Wahrscheinlichkeiten sind Konzepte der Maßtheorie und können damit als „Teilvolumina“ des „Ganzen mit Volumen Eins“ gesehen werden.[74] Sie messen Plausibilität. Um Zahl-Zahl zu werfen, muss „die Hälfte einer Hälfte“ getroffen werden, also ein Viertel. Analog: Triff an jeder Seite des Quadrats die „richtige Hälfte“ (für Zahl-Zahl hier „rechts“ und „unten“), was dann zur gezeigten Aufteilung in Flächen führt, und in diesem Fall alle vier Möglichkeiten gleich plausibel macht.
• 
  „Wahrscheinlichkeiten und Geometrie“: Analoge Situation für allgemeine Einzelwahrscheinlichkeiten ${\displaystyle a+b=1}$ (hier exemplarisch ${\displaystyle a={\tfrac {2}{3}}}$ und ${\displaystyle b={\tfrac {1}{3}}}$). Das ganze Quadrat hat „Volumen“ Eins. Die erste binomische Formel gibt exakt die Einzelwahrscheinlichkeiten nach zweifacher Ausführung des Experiments, geometrisch realisiert durch Teilflächen. In diesem Beispiel ist das Ereignis BB (mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle b^{2}={\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{3}}={\tfrac {1}{9}}}$) viermal weniger plausibel als AA (mit ${\displaystyle a^{2}={\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {2}{3}}={\tfrac {4}{9}}}$).

Diese Verfahren lassen sich ganz analog auf beliebig häufige Wiederholungen von zum Beispiel Münzwürfen ausweiten, wobei dann der binomische Lehrsatz zur Expansion von ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ für beliebige natürliche Zahlen ${\displaystyle n}$ eine wichtige Rolle spielt. Man spricht dann, hinsichtlich der auftretenden Wahrscheinlichkeiten, von der Binomialverteilung.[75]

Die zweite binomische Formel findet auch unmittelbare Anwendung in der Stochastik, nämlich bei der Berechnung der Varianz einer Zufallsvariablen. Diese misst ab, wie stark eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ um ihren Erwartungswert (= Mittelwert) ${\displaystyle \mathrm {E} [X]}$ gestreut ist. Um Ausreißer stärker zu „bestrafen“ und Vorzeichen zu ignorieren, wird dabei das Quadrat der Abweichung ${\displaystyle X-\mathrm {E} [X]}$ gemessen, also wiederum dessen Erwartungswert berechnet. Mit der zweiten binomischen Formel kann dies zusammen mit der Linearität des Erwartungswertes vereinfacht werden:[76]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}.\end{aligned}}}$

Die Varianz kann also als Differenz zwischen dem „erwarteten Quadrat“ und dem „Quadrat des Erwarteten“ gesehen werden. In dieser neuen Darstellung entpuppt sie sich als Fehlerterm in der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ${\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq ||x||^{2}\cdot ||y||^{2},}$ die in Hilberträumen mit Skalarprodukt ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ gültig ist, und sich für Erwartungswerte in ${\displaystyle \operatorname {E} \left[XY\right]^{2}\leq \operatorname {E} \left[X^{2}\right]\operatorname {E} \left[Y^{2}\right]}$ übersetzt. Damit erhält die Varianz eine geometrische Interpretation. Es wird über den Fehler in der Ungleichung ${\displaystyle \operatorname {E} \left[X\right]^{2}\leq \operatorname {E} \left[X^{2}\right]}$ gemessen, wie weit ${\displaystyle X}$ von einer konstanten Funktion ${\displaystyle Y=1}$ (also ohne jegliche Abweichung, ergo „Varianz Null“), entfernt ist.