Binomial-Prozess

Gegeben sei eine ganze Zahl ${\displaystyle n}$ und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle P}$ auf einem Messraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ sowie ${\displaystyle n}$ unabhängig, identisch und gemäß ${\displaystyle P}$ verteilte Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$. Es gilt also ${\displaystyle X_{i}\sim P}$ für alle ${\displaystyle i}$. Des Weiteren bezeichne ${\displaystyle \delta _{x}}$ das Dirac-Maß auf dem Punkt ${\displaystyle x}$, also

${\displaystyle \delta _{x}(A):={\begin{cases}1&{\text{ falls }}x\in A\ \\0&{\text{ sonst }}\end{cases}}}$

für ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$.

Dann heißt das durch

${\displaystyle \zeta$ :=\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}}}

definierte zufällige Maß ${\displaystyle \zeta }$ auf ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ein Binomial-Prozess.

Für jede messbare Menge ${\displaystyle A}$ gilt per Definition

${\displaystyle \zeta (A)=\#\{i\mid X_{i}\in A\}}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \#M}$ die Mächtigkeit der Menge ${\displaystyle M}$, also die Anzahl ihrer Elemente. Der Prozess zählt somit, wie viele der ${\displaystyle n}$ Zufallsvariablen Werte in der Menge ${\displaystyle A}$ annehmen. Somit ist für jede messbare Menge ${\displaystyle A}$ die Zufallsvariable ${\displaystyle \zeta (A)}$ immer binomialverteilt mit Parametern ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle P(A)}$, es gilt also

${\displaystyle \zeta (A)\sim \operatorname {Bin} _{n,P(A)}}$.

Eine Verallgemeinerung der Binomial-Prozesse sind gemischte Binomial-Prozesse. Dabei wird die bei Binomial-Prozessen deterministische Anzahl der Zufallsvariablen ${\displaystyle n}$ durch eine Zufallsvariable ersetzt.

• Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.