Biholomorphe Abbildung

${\displaystyle w=f(z)=mz+n}$ (mit ${\displaystyle m,n,w,z}$ als komplexen Zahlen) ergibt

• für ${\displaystyle m=1}$ und ${\displaystyle n\neq 0}$ eine Verschiebung (Translation)
• für ${\displaystyle m\neq 1}$ reell und positiv eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor ${\displaystyle m}$ und Streckzentrum ${\displaystyle {\tfrac {n}{1-m}}}$;

Abb. 1 Polarkoordinaten von z

• für ${\displaystyle |m|=1}$ und ${\displaystyle n=0}$ eine Drehung. Verwendet man nämlich Polarkoordinaten für die Zahl ${\displaystyle z}$, so kann der „Punkt“ ${\displaystyle z}$ durch ${\displaystyle (r,\phi )}$ gekennzeichnet werden (s. Abb. 1). Weil

${\displaystyle z=r_{z}(\cos(\phi )+i\sin(\phi ))}$

ist, erhält man mit der Eulerformel

${\displaystyle e^{i\phi }=\cos(\phi )+i\sin(\phi )}$

${\displaystyle w=mz=r_{m}e^{i\phi _{m}}\cdot r_{z}e^{i\phi _{z}}}$.

Wenn ${\displaystyle |m|=1}$ gesetzt wird, ist ${\displaystyle r_{m}=1}$ und somit

${\displaystyle w=r_{z}e^{i\phi _{m}+\phi _{u}}}$.

Der Punkt ${\displaystyle z}$ (mit dem Argument (Bogenmaß) φ_z und dem Betrag r = r_z) geht somit in den Punkt ${\displaystyle w}$ (mit φ_a+φ_z) und dem Betrag r_z über, das ist eine Drehung.

• für ${\displaystyle |m|\neq 1}$ und ${\displaystyle n=0}$ eine Drehstreckung.

Beispielsweise führt die Drehstreckung ${\displaystyle w=(1+i)z}$ den Punkt ${\displaystyle z=2+3i}$ in den Bildpunkt ${\displaystyle w=(1+i)(2+3i)=-1+5i}$ über. Die Bildpunkte zweier weiterer Punkte, die mit dem ersten ein Dreieck bilden können, lassen sich ebenso berechnen, so dass das Bilddreieck gezeichnet werden kann und damit diese Drehstreckung sich leicht veranschaulichen lässt.

• für ${\displaystyle |m|\neq 1}$ und ${\displaystyle n\neq 0}$ eine Drehstreckung mit Verschiebung.

Die Abbildung

${\displaystyle w=f(z)=1/z}$

heißt Inversion oder Kreisspiegelung. Bei ihr wird das Innere des Kreises mit Radius = 1 (sog. Einheitskreis) auf das Äußere, das Äußere in das Innere abgebildet, der Rand des Kreises geht in sich selber über. 1 und −1 werden auf 1 und −1 abgebildet, das sind die beiden Fixpunkte der Inversion.

Bei der Quadratfunktion

${\displaystyle w=f(z)=z^{2}}$

ist ${\displaystyle f'}$ nicht Null, wenn z nicht Null ist. Wählt man Definitions- und Zielbereich so, dass die Null nicht enthalten ist und die Einschränkung von ${\displaystyle f}$ bijektiv ist, erhält man folglich eine biholomorphe Abbildung. Man kann beispielsweise

${\displaystyle f\colon \{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} z>0\}\to \mathbb {C} \setminus \{z\in \mathbb {R} \mid z\leq 0\}}$

wählen, also als Definitionsbereich die rechte Halbebene und als Zielbereich die entlang der negativen reellen Achse geschlitzte Ebene.

Aus w = u + iv = (x + iy)² = x² - y² + (2xy)i ergibt der Vergleich der Koeffizienten bei Real- und Imaginärteil

u = x² - y² und v = 2xy.

Die zur x-Achse symmetrisch liegenden Hyperbeln (vgl. Abb. 2)

Abb. 2 Hyperbelschar und Parallelenschar

x² - y² = const gehen in vertikale Parallelen u = const über. Die zur ersten Winkelhalbierenden symmetrisch liegenden Hyperbeln 2xy = const gehen in waagrecht verlaufende Parallelen über.