Bieberbachsche Ungleichung

Die Bieberbachsche Ungleichung lässt sich wie folgt formulieren:[1][2]

Für einen nichtleeren kompakten konvexen Körper[3] ${\displaystyle A}$ des ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Raums gilt hinsichtlich seines ${\displaystyle n}$-dimensionalen Volumens ${\displaystyle V(A)}$[4] und seines Durchmessers ${\displaystyle \operatorname {diam} (A)}$ stets die Ungleichung

${\displaystyle V(A)\leq {\frac {V_{n}}{2^{n}}}\cdot (\operatorname {diam} (A))^{n}}$

wobei ${\displaystyle V_{n}}$ das Volumen der ${\displaystyle n}$-dimensionalen Einheitskugel bedeutet.

In dieser Ungleichung besteht Gleichheit dann und nur dann, wenn ${\displaystyle A}$ mit einer ${\displaystyle n}$-dimensionalen Kugel zusammenfällt.

Ludwig Bieberbach hat im Jahre 1915 die nach ihm benannte Ungleichung für die euklidische Ebene nachgewiesen.[5] Sie wurde dann von verschiedenen Autoren verallgemeinert und zunächst von Wilhelm Blaschke auf den dreidimensionalen Raum übertragen.[6] Daran schloss die weitere Verallgemeinerung der Ungleichung auf euklidische Räume höherer Dimension und dann sogar auf nichteuklidische Räume an. Größten Anteil an dieser Weiterentwicklung hatten vor allem Erhard Schmidt und einige russische Mathematiker wie Paul Urysohn. Wie sich zeigen lässt, ergibt sich die Bieberbachsche Ungleichung insbesondere als Folgerung einer allgemeinen Ungleichung über gemischte Volumina von Alexandroff-Fenchel.[7][8][9]

• Isoperimetrische Ungleichung

• Ludwig Bieberbach: Über eine Extremaleigenschaft des Kreises. In: Jber. dtsch. Math.-Ver. Band 24, 1915, S. 247–250 (uni-goettingen.de).
• Yu. D. Burago, V. A. Zalgaller: Geometric Inequalities (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 285). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1988, ISBN 3-540-13615-0 (MR0936419).
• Wilhelm Blaschke: Kreis und Kugel. Chelsea Publishing Company, New York (u. a.) 1949 (MR0076364 MR0077958 – Nachdruck der Ausgabe bei Veit [Leipzig 1916]).
• H. Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 93). Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1957 (MR0102775).
• Erhard Schmidt: Der Brunn-Minkowskische Satz und sein Spiegeltheorem sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in der euklidischen und hyperbolischen Geometrie. In: Math. Ann. Band 120, 1948, S. 307–422 (MR0028601 uni-goettingen.de).
• Erhard Schmidt: Die Brunn-Minkowskische Ungleichung und ihr Spiegelbild sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie I, II. In: Mathematische Nachrichten. Band 1, 2 (1948/1949), S. 81–157 (1948), 171–244 (1949) (MR0028600 MR0034044).
• Paul Urysohn: Mittlere Breite und Volumen der konvexen Körper im n-dimensionalen Raume. In: Matem. Sb. SSSR. Band 31, 1924, S. 477–486.

1. Burago-Zalgaller: S. 93.
2. Hadwiger, S. 173.
3. Hugo Hadwiger nennt einen derartigen Körper auch Eikörper; vgl. Hadwiger, S. 198.
4. Das n-dimensionale Volumen bzw. – im zweidimensionalen Fall – der Flächeninhalt eines Eikörpers stimmt mit seinem Lebesgue-Maß überein; vgl. Hadwiger, S. 157.
5. Bieberbach: Jber. dtsch. Math.-Ver. Nr. 24, S. 247 ff.
6. Blaschke, S. 122 ff.
7. Burago-Zalgaller: S. 93 ff, 143 ff.
8. Hadwiger, S. 178–179.
9. Schmidt: Math. Nachr. Nr. 1/2, S. 81 ff., 171 ff.