Bézierkurve

Numerisch einfache Kurven in der Ebene sind solche, die mit Hilfe einer Parameterdarstellung ${\displaystyle {\bf {x}}(t)=(x(t),y(t))^{T},\;t_{1}\leq t\leq t_{2},}$ beschrieben werden, wobei ${\displaystyle x(t)}$ und ${\displaystyle y(t)}$ Polynome in ${\displaystyle t}$ sind. Ist

${\displaystyle x(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}}$,

${\displaystyle y(t)=b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}+\cdots +b_{n}t^{n}}$

und setzt man ${\displaystyle {\bf {a}}_{i}=(a_{i},b_{i})^{T}}$, so lässt sich die Kurve übersichtlicher durch

${\displaystyle {\bf {x}}(t)={\bf {a}}_{0}+{\bf {a}}_{1}t+{\bf {a}}_{2}t^{2}+\cdots +{\bf {a}}_{n}t^{n}\ }$

beschreiben.

Im Allgemeinen lässt sich direkt aus den Koeffizienten-Punkten ${\displaystyle {\bf {a}}_{i}}$ nur wenig über den Kurvenverlauf aussagen. Lediglich ${\displaystyle {\bf {a}}_{0}}$ (Anfangspunkt der Kurve) und ${\displaystyle {\bf {a}}_{1}}$ (Tangentialvektor der Kurve an ${\displaystyle {\bf {a}}_{0}}$) haben konkrete geometrische Bedeutungen. Dies ändert sich, wenn man die Polynome ${\displaystyle x(t),y(t)}$ nicht in der Monom-Basis ${\displaystyle \{1,t,t^{2},\dotsc ,t^{n}\}}$, sondern in der folgenden Bernsteinbasis ${\displaystyle \{B_{0}^{n}(t),B_{1}^{n}(t),\dotsc ,B_{n}^{n}(t)\}}$ darstellt: ${\displaystyle \quad B_{i}^{n}(t):={n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i},\quad 0\leq i\leq n.}$

Es sei nun ${\displaystyle n>0}$ festgewählt und die Vektoren ${\displaystyle {\bf {b}}_{0},{\bf {b}}_{1},\dotsc ,{\bf {b}}_{n}}$ beschreiben ein ebenes oder räumliches Polygon. Dann heißt die Darstellung ${\displaystyle \quad {\begin{aligned}{\bf {x}}={\bf {b}}(t)\ &=\ \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}t^{i}(1-t)^{n-i}{\bf {b}}_{i}\\\ &=\ {\bf {b}}_{0}B_{0}^{n}(t)+{\bf {b}}_{1}B_{1}^{n}(t)+\cdots +{\bf {b}}_{n}B_{n}^{n}(t),\quad 0\leq t\leq 1,\end{aligned}}}$ eine Bézierkurve[1][2] vom (maximalen) Grad ${\displaystyle n}$. Die Punkte ${\displaystyle {\bf {b}}_{0},\dotsc ,{\bf {b}}_{n}}$ nennt man Kontrollpunkte der Bézierkurve.

Eigenschaften der Bernsteinpolynome:

Bernsteinpolynome

1. ${\displaystyle B_{0}^{n}(t)+B_{1}^{n}(t)+\cdots +B_{n}^{n}(t)=1,}$
2. ${\displaystyle B_{0}^{n}(0)=1,\;B_{i}^{n}(0)=0}$ für ${\displaystyle i>0,\quad B_{n}^{n}(1)=1,\;B_{i}^{n}(1)=0}$ für ${\displaystyle i<n.}$
3. Das Bernsteinpolynom ${\displaystyle B_{i}^{n}}$ hat genau ein Maximum und zwar an der Stelle ${\displaystyle t=i/n.}$ D. h. eine leichte Veränderung des Punktes ${\displaystyle {\bf {b}}_{i}}$ hat nur in der Umgebung von ${\displaystyle {\bf {x}}(i/n)}$ eine wesentliche Veränderung der Kurve zur Folge.

Eigenschaften einer Bézierkurve:

1. ${\displaystyle {\bf {b}}_{0}}$ ist der Anfangs-, ${\displaystyle {\bf {b}}_{n}}$ der Endpunkt
2. ${\displaystyle {\bf {b}}_{1}-{\bf {b}}_{0}}$ ist die Richtung der Tangente im Punkt ${\displaystyle {\bf {b}}_{0}={\bf {x}}(0),\;{\bf {b}}_{n-1}-{\bf {b}}_{n}}$ ist die Richtung der Tangente im Punkt ${\displaystyle {\bf {b}}_{n}={\bf {x}}(1).}$
3. Das Polygon ${\displaystyle {\bf {b}}_{0},{\bf {b}}_{1},\dotsc ,{\bf {b}}_{n}}$ gibt einen ungefähren Verlauf der Kurve an.

Für Untersuchungen von Bézierkurven sind die folgenden Eigenschaften[3] nützlich:

Beziehung zwischen der Bernstein- und der Monom-Basis

(MB)${\displaystyle \qquad t^{i}=\sum _{j=i}^{n}{\frac {j \choose i}{n \choose i}}B_{j}^{n}(t),\qquad B_{i}^{n}(t)=\sum _{j=i}^{n}(-1)^{j-i}{n \choose j}{j \choose i}t^{j},}$

Rekursion

(R) ${\displaystyle \qquad B_{i}^{n}(t)=(1-t)B_{i}^{n-1}(t)+tB_{i-1}^{n-1}(t),}$

Skalierung

(S) ${\displaystyle \qquad B_{i}^{n}(ct)=\sum _{j=0}^{n}B_{i}^{j}(c)B_{j}^{n}(t),}$

Ableitung

(A) ${\displaystyle \qquad {\frac {d}{dt}}B_{i}^{n}(t)=n\left(B_{i-1}^{n-1}(t)-B_{i}^{n-1}(t)\right),}$

(Man beachte, dass ${\displaystyle B_{-1}^{\cdots }(t)=0,B_{n}^{n-1}(t)=0}$ ist.)

Produkt

(P) ${\displaystyle \qquad B_{i}^{m}(t)B_{j}^{n}(t)={\frac {{m \choose i}{n \choose j}}{m+n \choose i+j}}B_{i+j}^{m+n}(t).}$

In der Literatur[4] werden noch weitere Eigenschaften einer Bézierkurve aufgelistet:

• Die Kurve liegt innerhalb der konvexen Hülle des Kontrollpolygons. Dies folgt daraus, dass die Bernsteinpolynome vom Grad ${\displaystyle n}$ eine Zerlegung der Eins sind:

${\displaystyle 1=\sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(t)\quad t\in [0,1]}$

• Die ersten Summanden des Taylorpolynoms bei ${\displaystyle t=0}$ bzw. bei ${\displaystyle t=1}$ lauten für ${\displaystyle n\geq 2}$:

${\displaystyle {\bf {b}}(t)={\bf {b}}_{0}+n({\bf {b}}_{1}-{\bf {b}}_{0})t+{\frac {n(n-1)}{2}}({\bf {b}}_{0}-2{\bf {b}}_{1}+{\bf {b}}_{2})t^{2}+{\mathcal {O}}(t^{3})}$

${\displaystyle {\bf {b}}(t)={\bf {b}}_{n}+n({\bf {b}}_{n-1}-{\bf {b}}_{n})(1-t)+{\frac {n(n-1)}{2}}({\bf {b}}_{n-2}-2{\bf {b}}_{n-1}+{\bf {b}}_{n})(1-t)^{2}+{\mathcal {O}}((1-t)^{3})}$

• Eine Gerade schneidet eine Bézierkurve höchstens so oft, wie sie ihr Kontrollpolygon schneidet (die Kurve ist variationsreduzierend, bzw. hat eine beschränkte Schwankung).
• Eine affine Transformation (Verschiebung, Skalierung, Rotation, Scherung) kann auf die Bézierkurve durch Transformation des Kontrollpolygons angewendet werden („affine Invarianz“).
• Liegen alle Kontrollpunkte auf einer Geraden, so wird die Bézierkurve zu einer Strecke (Vorteil gegenüber der Polynominterpolation).
• Der Einfluss eines Kontrollpunktes auf die Kurve ist global. Das heißt: Verschiebt man einen Punkt, verändert sich die gesamte Kurve. Daher verwendet man in der Praxis meist Splines, zusammengesetzte Kurven festen Grades, die stetig ineinander übergehen.
• Eine Bézierkurve kann immer in zwei Bézierkurven gleicher Ordnung geteilt werden, wobei sich die neuen Kontrollpunkte aus den alten mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus ergeben (s. Abschnitt Teilung einer Bézierkurve).

Höhere Potenzen von ${\displaystyle t}$ auszurechnen ist numerisch instabil. Der folgende Algorithmus führt deshalb die Berechnung eines Kurvenpunktes auf wiederholte lineare Interpolation zurück. In jedem Schritt wird mittels linearer Interpolation ein neues um 1 kürzeres Polygon berechnet (s. Bild). Bei der letzten Interpolation entsteht schließlich der Kurvenpunkt:

De-Casteljau-Algorithmus für eine Bézier-Kurve 3. Grades

Für das Polygon ${\displaystyle \;{\bf {b}}_{0},{\bf {b}}_{1},\dots ,{\bf {b}}_{n}\;}$ im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (oder ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) und einem ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ definiert man rekursiv für jedes ${\displaystyle r=1,\dots ,n}$ das Polygon

• ${\displaystyle \quad {\bf {b}}_{i}^{r}(t)=(1-t){\bf {b}}_{i}^{r-1}(t)+t{\bf {b}}_{i+1}^{r-1}(t),\quad i=0,\dots ,n-r\ }$ erzeugt. Dabei sei ${\displaystyle \ {\bf {b}}_{i}^{0}(t)={\bf {b}}_{i}\ }$.

Das Polygon der Stufe ${\displaystyle r=0}$ ist identisch mit dem Ausgangspolygon, das Polygon der Stufe ${\displaystyle r=n}$ ist ein Punkt, der Kurvenpunkt.

Aus der Rekursionseigenschaft (R) der Bernsteinpolynome folgt

${\displaystyle {\bf {b}}_{i}^{r}(t)=\sum _{j=0}^{r}{\bf {b}}_{i+j}B_{j}^{r}(t),\ }$

für ${\displaystyle r=0,\dots ,n,\ i=0,\dots ,n-r\ .}$

(Beweis mit Hilfe vollständiger Induktion über r.) Also ist

• ${\displaystyle \quad {\bf {b}}_{0}^{n}(t)=\sum _{j=0}^{n}{\bf {b}}_{j}B_{j}^{n}(t)}$

die Bézierkurve mit dem Kontrollpolygon ${\displaystyle {\bf {b}}_{0},{\bf {b}}_{1},\dots ,{\bf {b}}_{n}}$. Diese Methode, einen Punkt der Bézierkurve durch lineare Interpolationen zu bestimmen, heißt De-Casteljau-Algorithmus.

Wie für ein ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ mit Hilfe des Casteljau-Algorithmus aus dem Kontrollpolygon die Zwischenpolygone und schließlich der Punkt der Bézierkurve entsteht, zeigt die Abbildung für ${\displaystyle n=3}$. Die neuen Punkte teilen immer die alten Strecken, auf denen sie liegen, im gleichen Verhältnis ${\displaystyle (1-t):t}$.

lineare Bézierkurve

Lineare Bézierkurven ${\displaystyle (n=1)}$:

Zwei Kontrollpunkte ${\displaystyle P_{0}:{\bf {b}}_{0}}$ und ${\displaystyle P_{1}:{\bf {b}}_{1}}$ bestimmen eine gerade Strecke zwischen diesen beiden Punkten. Der Verlauf dieser linearen Bézier„kurve“ wird beschrieben durch

${\displaystyle {\bf {b}}(t)=\ (1-t){\bf {b_{0}}}+t{\bf {b}}_{1}{\mbox{ , }}\ t\in [0,1]}$

Quadratische Bézierkurven ${\displaystyle (n=2)}$:

quadratische Bézierkurve mit Casteljau-Algorithmus

Eine quadratische Bézierkurve ist der Pfad, der durch die Funktion ${\displaystyle {\bf {b}}(t)}$ für die Punkte ${\displaystyle P_{0}:{\bf {b}}_{0}}$, ${\displaystyle P_{1}:{\bf {b}}_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}:{\bf {b}}_{2}}$ beschrieben wird:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {b}}(t)\ &=\ \sum _{i=0}^{2}{\binom {2}{i}}t^{i}(1-t)^{2-i}{\bf {b}}_{i}\\\ &=\ (1-t)^{2}{\bf {b}}_{0}+2t(1-t){\bf {b}}_{1}+t^{2}{\bf {b}}_{2}\\\ &=\ ({\bf {b}}_{0}-2{\bf {b}}_{1}+{\bf {b}}_{2})t^{2}+(-2{\bf {b}}_{0}+2{\bf {b}}_{1})t+{\bf {b}}_{0}{\mbox{ , }}\ t\in [0,1]\ .\end{aligned}}}$

Die letzte Zeile zeigt: Eine quadratische Bézierkurve ist eine Parabel.

Mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus ausgedrückt: ${\displaystyle {\bf {b}}(t)={\bf {b}}_{0}^{2}(t)}$

${\displaystyle {\bf {b}}_{0}^{2}(t)=(1-t)\underbrace {{\Bigl [}(1-t)\overbrace {{\bf {b}}_{0}} ^{{\bf {b}}_{0}^{0}}+t\overbrace {{\bf {b}}_{1}} ^{{\bf {b}}_{1}^{0}}{\Bigr ]}} _{{\bf {b}}_{0}^{1}(t)}+t\underbrace {{\Bigl [}(1-t)\overbrace {{\bf {b}}_{1}} ^{{\bf {b}}_{1}^{0}}+t\overbrace {{\bf {b}}_{2}} ^{{\bf {b}}_{2}^{0}}{\Bigr ]}} _{{\bf {b}}_{1}^{1}(t)}}$

Kubische Bézierkurven ${\displaystyle (n=3)}$:

kubische Bézierkurve mit Casteljau-Algorithmus

Kubische Bézierkurven sind in der Praxis von großer Bedeutung, da sowohl B-Spline-Kurven als auch NURBS stückweise in kubische Bézierkurven umgewandelt werden, um dann effizient mit dem De-Casteljau-Algorithmus gezeichnet zu werden. Selbiges gilt für hermitesche Splines, die in ihrer kubischen Form vor allem in der Computeranimation zur Interpolation zwischen Keyframes verwendet werden.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {b}}(t)\ &=\ \sum _{i=0}^{3}{\binom {3}{i}}t^{i}(1-t)^{3-i}{\bf {b}}_{i}\\&=\ (1-t)^{3}{\bf {b}}_{0}+3t(1-t)^{2}{\bf {b}}_{1}+3t^{2}(1-t){\bf {b}}_{2}+t^{3}{\bf {b}}_{3}\\&=\ (-{\bf {b}}_{0}+3{\bf {b}}_{1}-3{\bf {b}}_{2}+{\bf {b}}_{3})t^{3}+(3{\bf {b}}_{0}-6{\bf {b}}_{1}+3{\bf {b}}_{2})t^{2}+(-3{\bf {b}}_{0}+3{\bf {b}}_{1})t+{\bf {b}}_{0}\ ,\ t\in [0,1]\ .\end{aligned}}}$

Mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus ausgedrückt: ${\displaystyle {\bf {b}}(t)={\bf {b}}_{0}^{3}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {b}}_{0}^{3}(t)=(1-t)&\underbrace {{\Bigl \{}(1-t)\overbrace {{\bigl [}(1-t){\bf {b}}_{0}+t{\bf {b}}_{1}{\bigr ]}} ^{{\bf {b}}_{0}^{1}(t)}+t\overbrace {{\bigl [}(1-t){\bf {b}}_{1}+t{\bf {b}}_{2}{\bigr ]}} ^{{\bf {b}}_{1}^{1}(t)}{\Bigr \}}} _{{\bf {b}}_{0}^{2}(t)}+\\t&\underbrace {{\Bigl \{}(1-t)\overbrace {{\bigl [}(1-t){\bf {b}}_{1}+t{\bf {b}}_{2}{\bigr ]}} ^{{\bf {b}}_{1}^{1}(t)}+t\overbrace {{\bigl [}(1-t){\bf {b}}_{2}+t{\bf {b}}_{3}{\bigr ]}} ^{{\bf {b}}_{2}^{1}(t)}{\Bigr \}}} _{{\bf {b}}_{1}^{2}(t)}\end{aligned}}}$

Vergleich zwischen Kurvendarstellungen

Polynomiale Kurven (d. h. die Koordinaten sind Polynome bzgl. ${\displaystyle t}$) lassen sich in der Monom-Basis, der Bernsteinbasis und mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus (fortgesetzte lineare Interpolation) beschreiben. Da die Koeffizientenpunkte der Monom-Basis nicht viel über den Kurvenverlauf aussagen, entstanden die Darstellungen mit der Bernstein-Basis (Bézier-Kurven) und mit dem De-Casteljau-Algorithmus. Die letzten beiden haben allerdings auch Vor- und Nachteile. Der De-Casteljau-Algorithmus hat gegenüber der Bézierdarstellung bei der Berechnung der Punkte (Numerik) Vorteile. Bézierkurven lassen sich dafür durch die vielen formalen Eigenschaften (s. o.) der Bernstein-Polynome leichter theoretisch (z. B. Krümmung) untersuchen. Der numerische Nachteil der Bézier-Kurven (Auswertung der Bernstein-Polynome) lässt sich durch eine dem Horner-Schema ähnlichen Methode ausgleichen:[5]

function bezier_comp(degree: integer; coeff: r_array; t: real): real;
{Berechnet eine Komponente einer Bezier-Kurve. (Aus FARIN: Curves and Surfaces...)}
var
  i, n_choose_i: integer;  fact, t1, aux: real;
begin
  t1 := 1 - t;  fact := 1;  n_choose_i := 1;
  aux := coeff[0] * t1;
  for i := 1 to degree - 1 do
  begin
    fact := fact * t;
    n_choose_i := n_choose_i * (degree - i + 1) div i;
    aux := (aux + fact * n_choose_i * coeff[i]) * t1;
  end;
  aux := aux + fact * t * coeff[degree];
  bezier_comp := aux;
end;  {bezier_comp}

Mit Hilfe der Ableitungen der Bernsteinpolynome ergibt sich für die 1. Ableitung der Bézierkurve ${\displaystyle \ {\bf {b}}(t)=\sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(t){\bf {b}}_{i}\ }$:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\bf {b}}(t)=n\sum _{i=0}^{n-1}B_{i}^{n-1}(t)({\bf {b}}_{i+1}-{\bf {b}}_{i})\ .}$

Lässt man die Tangentenvektoren alle im Nullpunkt des Koordinatensystems beginnen, so beschreiben sie eine weitere Bézierkurve mit den Kontrollpunkten ${\displaystyle \ \Delta {\bf {b}}_{i}:={\bf {b}}_{i+1}-{\bf {b}}_{i}\ }$.

Speziell gilt:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\bf {b}}(0)=n({\bf {b}}_{1}-{\bf {b}}_{0})\quad }$ und ${\displaystyle \quad {\frac {d}{dt}}{\bf {b}}(1)=n({\bf {b}}_{n}-{\bf {b}}_{n-1}).}$

Um höhere Ableitungen übersichtlich schreiben zu können, führt man folgenden Differenzenoperator ein:[6]

${\displaystyle \Delta ^{r}{\bf {b}}_{i}:=\Delta ^{r-1}{\bf {b}}_{i+1}-\Delta ^{r-1}{\bf {b}}_{i},}$

Es ist

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\Delta ^{0}{\bf {b}}_{i}&=&{\bf {b}}_{i}\\\Delta ^{1}{\bf {b}}_{i}&=&{\bf {b}}_{i+1}-{\bf {b}}_{i}\\\Delta ^{2}{\bf {b}}_{i}&=&{\bf {b}}_{i+2}-2{\bf {b}}_{i+1}+{\bf {b}}_{i}\\\Delta ^{3}{\bf {b}}_{i}&=&{\bf {b}}_{i+3}-3{\bf {b}}_{i+2}+3{\bf {b}}_{i+1}-{\bf {b}}_{i}\\&\vdots \\\Delta ^{r}{\bf {b}}_{i}&=&\sum _{j=0}^{r}{r \choose j}(-1)^{r-j}{\bf {b}}_{i+j}\end{array}}}$

Die ${\displaystyle r}$-te Ableitung der Bézierkurve ${\displaystyle \ {\bf {b}}(t)=\sum _{i=0}^{n}{\bf {b}}_{i}B_{i}^{n}(t)\ }$ lässt sich jetzt wie folgt schreiben:

${\displaystyle {\frac {d^{r}}{dt^{r}}}{\bf {b}}(t)={\frac {n!}{(n-r)!}}\cdot \sum _{i=0}^{n-r}\Delta ^{r}{\bf {b}}_{i}B_{i}^{n-r}(t)}$

Speziell für ${\displaystyle t=0}$ und ${\displaystyle t=1}$ erhält man

${\displaystyle {\frac {d^{r}}{dt^{r}}}{\bf {b}}(0)={\frac {n!}{(n-r)!}}\Delta ^{r}{\bf {b}}_{0}\quad }$ und ${\displaystyle \quad {\frac {d^{r}}{dt^{r}}}{\bf {b}}(1)={\frac {n!}{(n-r)!}}\Delta ^{r}{\bf {b}}_{n-r}}$

Eine wichtige Manipulation der Darstellung einer vorgegebenen Bézierkurve ist die sog. Graderhöhung. Sie ist vergleichbar mit dem Anfügen von Termen ${\displaystyle 0t^{n+1},0t^{n+2},\dots }$ an ein Polynom ${\displaystyle \ a_{0}+a_{1}t+\cdots a_{n}t^{n}\ }$. Dabei ändert sich das Polynom nicht und der (scheinbare) Grad wird erhöht. Analog stellt man eine fest vorgegebene Bézierkurve ${\displaystyle \ {\bf {b}}(t)=\sum _{i=0}^{n}{\bf {b}}_{i}B_{i}^{n}(t)\ }$ in der Form ${\displaystyle \ {\bf {b}}(t)=\sum _{i=0}^{n+1}{\bf {b}}_{i}^{(1)}B_{i}^{n+1}(t)\ }$ mit geeigneten neuen Kontrollpunkten ${\displaystyle \ {\bf {b}}_{0}^{(1)},\dots ,{\bf {b}}_{n+1}^{(1)}\ }$ dar. Um die neuen Kontrollpunkte zu bestimmen, multipliziert man die ursprüngliche Darstellung mit dem Faktor ${\displaystyle \ t+(1-t)\ }$:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\bf {b}}(t)&=&\sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(t)(t+(1-t)){\bf {b}}_{i}\\&=&\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i}(t+(1-t)){\bf {b}}_{i}\\&=&\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}t^{i+1}(1-t)^{n-i}{\bf {b}}_{i}+\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i+1}{\bf {b}}_{i}\\&=&\sum _{i=1}^{n+1}{n \choose i-1}t^{i}(1-t)^{n+1-i}{\bf {b}}_{i-1}+\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i+1}{\bf {b}}_{i}\\&=&\sum _{i=0}^{n+1}t^{i}(1-t)^{n+1-i}\cdot \left({n \choose i-1}{\bf {b}}_{i-1}+{n \choose i}{\bf {b}}_{i}\right)\\&=&\sum _{i=0}^{n+1}{n+1 \choose i}t^{i}(1-t)^{n+1-i}{\bf {b}}_{i}^{(1)}\\&=&\sum _{i=0}^{n+1}B_{i}^{n+1}(t){\bf {b}}_{i}^{(1)},\quad {\text{wobei}}\\{\bf {b}}_{i}^{(1)}&:=&{\frac {i}{n+1}}{\bf {b}}_{i-1}+\left(1-{\frac {i}{n+1}}\right){\bf {b}}_{i},\ i=0,\dots ,n+1\\&=&\left({\frac {i}{n+1}}\right){\bf {b}}_{i}^{1}\quad {\text{für }}1\leq i\leq n{\text{ (s. Casteljau-Algor.)}}\end{array}}}$

Die neuen Kontrollpunkte sind also:[7]

${\displaystyle {\bf {b}}_{0},\quad \left({\frac {1}{n+1}}\right){\bf {b}}_{1}^{1},\quad \left({\frac {2}{n+1}}\right){\bf {b}}_{2}^{1}\quad ,\ldots ,\quad \left({\frac {n}{n+1}}\right){\bf {b}}_{n}^{1},\quad {\bf {b}}_{n}.}$

Graderhöhungen einer Bézier-Kurve:
Kontrollpolygone bei ein-, zwei- und 10-maliger Graderhöhung}

Wesentliche Eigenschaften der Graderhöhung sind:

1. Wiederholte Graderhöhung führt zu einer Approximation der Bézierkurve durch das Kontrollpolygon.
2. Die größere Anzahl von Kontrollpunkten bietet mehr Freiheitsgrade, die Kurve zu verändern.
3. Mehrere Bézierkurven lassen sich auf einen einheitlichen Grad bringen. Dies ist wichtig bei Tensorprodukt-Bézierflächen.
4. Damit lassen sich auch dann quadratische Bézierkurven als kubische darstellen, falls ein Vektorzeichenprogramm (z. B. Inkscape) bzw. eine Grafikbibliothek (z. B. Cairo) nur kubische unterstützt.

Zerlegung einer Bézierkurve

Eine Bézierkurve ${\displaystyle \Gamma _{0}:{\bf {b}}(t)}$ ist normalerweise definiert für ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$. Sei nun ${\displaystyle c\in (0,1)}$. Dann ist ${\displaystyle \Gamma _{1}:{\bf {b}}(t)}$ mit ${\displaystyle 0\leq t\leq c}$ ein Teil der gegebenen Bézierkurve. Es soll nun die Teilkurve ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ als Bézierkurve ${\displaystyle {\bf {c}}(u)=\sum _{i=0}^{n}{\bf {c}}_{i}B_{i}^{n}(u)}$ mit ${\displaystyle u\in [0,1]}$ vom (selben) Grad ${\displaystyle n}$ mit geeigneten Kontrollpunkten ${\displaystyle {\bf {c}}_{0},{\bf {c}}_{1},\dots ,{\bf {c}}_{n}}$ dargestellt werden. Setzt man ${\displaystyle u:={\frac {t}{c}}}$, so muss die folgende Gleichung erfüllt sein:

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\bf {c}}_{r}B_{r}^{n}\left({\frac {t}{c}}\right)=\sum _{i=0}^{n}{\bf {b}}_{i}B_{i}^{n}(t),\quad }$ für ${\displaystyle \quad t\in [0,c]}$

Dies gilt für[8][9]

• ${\displaystyle \quad {\bf {c}}_{r}={\bf {b}}_{0}^{r}(c)\quad }$ (s. Casteljau-Alg. und Abbildung)

Denn

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\bf {c}}_{r}B_{r}^{n}\left({\frac {t}{c}}\right)=\sum _{r=0}^{n}\sum _{i=0}^{r}{\bf {b}}_{i}B_{i}^{r}(c)B_{r}^{n}\left({\frac {t}{c}}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{r=0}^{n}\sum _{i=0}^{n}{\bf {b}}_{i}B_{i}^{r}(c)B_{r}^{n}\left({\frac {t}{c}}\right)\quad }$ wegen ${\displaystyle \quad B_{i}^{r}(\cdots )=0\quad {\text{für}}\quad i>r}$

${\displaystyle =\sum _{i=0}^{n}{\bf {b}}_{i}\sum _{r=0}^{n}B_{i}^{r}(c)B_{r}^{n}\left({\frac {t}{c}}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{i=0}^{n}{\bf {b}}_{i}B_{i}^{n}(t)\quad }$ (s. Eigensch. (S) der Bernst.-Pol.)

Der restliche Bogen ist die Bézierkurve ${\displaystyle \Gamma _{2}:{\bf {d}}(v)}$ mit den Kontrollpunkten

• ${\displaystyle \quad {\bf {d}}_{r}={\bf {b}}_{r}^{n-r}(c)\quad }$ (s. Abbildung)