Bethe-Weizsäcker-Formel

Wegen der konstant angenommenen Dichte ist das Volumen proportional zur Massenzahl. Die Volumenenergie resultiert aus der gegenseitigen Anziehung der Nukleonen aufgrund der starken Kernkraft. Da diese aber äußerst kurzreichweitig ist, trägt immer nur die Wechselwirkung mit den nächsten Nachbarn eines Nukleons zur Bindung bei. Die Bindungsenergie eines von allen Seiten mit anderen Nukleonen umgebenen Nukleons, wie es sie in größeren Kernen gibt, ist somit unabhängig von der Anwesenheit weiterer Nukleonen und damit von deren Gesamtzahl:

${\displaystyle a_{\mathrm {V} }\cdot A\qquad {\text{mit}}\qquad a_{\mathrm {V} }\approx 15{,}67~\mathrm {MeV} }$

Die Nukleonen an der Oberfläche sind von weniger Nachbarn umgeben als die Nukleonen im Inneren des Kerns. Dadurch sind sie schwächer gebunden und reduzieren die Bindungsenergie. Es wird daher ein destabilisierender Term angenommen, der proportional zur Oberfläche des Kerns ist (negatives Vorzeichen). Der Oberflächenterm beschreibt das Verhältnis von Oberfläche und Volumen. Die Oberfläche einer Kugel ist proportional zu ${\displaystyle R^{2}}$ und daher auch zu ${\displaystyle V^{\frac {2}{3}}}$. Wegen ${\displaystyle V\sim A}$ (siehe Volumenanteil) gilt ${\displaystyle R^{2}\sim A^{\frac {2}{3}}}$. Vor allem bei kleinen Kernen mit wenigen Nukleonen macht sich der Oberflächenanteil bemerkbar, verliert dann allerdings mit wachsender Nukleonenzahl an Bedeutung.

${\displaystyle -a_{\mathrm {O} }\cdot A^{\frac {2}{3}}\qquad {\text{mit}}\qquad a_{\mathrm {O} }\approx 17{,}23~\mathrm {MeV} }$

Ein weiterer destabilisierender Einfluss ist die coulombsche Abstoßung der gleichnamig positiv geladenen Protonen. Diese Energie ist nach dem coulombschen Gesetz proportional zum Quadrat der elektrischen Ladung, also der Ladungszahl ${\displaystyle Z}$, und umgekehrt proportional zum Radius. Da jedes der ${\displaystyle Z}$ Protonen nur von den anderen ${\displaystyle Z-1}$ Protonen abgestoßen wird, ist der Effekt eigentlich proportional zu ${\displaystyle Z(Z-1)}$ und nicht zu ${\displaystyle Z^{2}}$, was aber für große ${\displaystyle Z}$ vernachlässigt werden kann. Der Radius wiederum ist proportional zur Potenz ${\displaystyle V^{\frac {1}{3}}}$ und damit zu ${\displaystyle A^{\frac {1}{3}}}$. Je größer ein Kern wird, desto größer wird die gegenseitige Coulomb-Abstoßung der Protonen im Kern, sodass der Coulomb-Anteil für große Kernladungszahlen immer wichtiger wird. Dies ist auch der Grund dafür, dass Atome nur bis zu einer Ordnungszahl von 82 (Blei) dauerhaft bestehen können. Aufgrund der eben genannten Argumente kann der Coulomb-Anteil folgendermaßen genähert werden:

${\displaystyle -a_{\mathrm {C} }\cdot Z\cdot (Z-1)\cdot A^{-{\frac {1}{3}}}\qquad {\text{mit}}\qquad a_{\mathrm {C} }\approx 0{,}714~\mathrm {MeV} }$

Dieser Term ist quantenmechanischer Natur und sorgt für ein Gleichgewicht zwischen Neutronenzahl und Protonenzahl. Er verschwindet für ${\displaystyle N=Z}$ und schwächt die Bindung mit zunehmender Differenz zwischen Neutronen- und Protonenzahl. Ein Ungleichgewicht zwischen der Protonenzahl ${\displaystyle Z}$ und der Neutronenzahl ${\displaystyle N=A-Z}$ wirkt also destabilisierend auf einen Kern. Zur physikalischen Deutung betrachtet man Protonen und Neutronen als zwei getrennte Fermi-Gase, die in demselben Potentialtopf die Einteilchenniveaus bis zu ihrer jeweiligen Fermienergie füllen. Dann sind bei ${\displaystyle N=Z}$ beide Fermienergien gleich, und bei festgehaltener Gesamtzahl ${\displaystyle A}$ ist dies die energetisch günstigste Mischung (sozusagen der „niedrigste Füllstand“). Umwandlung eines Nukleons erhöht eine der beiden Fermienergien bis zum nächsten Einteilchenniveau und senkt die andere ab, kostet an Energie also die Differenz der Fermienergien. Da diese Differenz beim sukzessiven Umschichten bis zu einer bestimmten Differenz ${\displaystyle N-Z}$ jedes Mal anwächst, steigt der gesamte dafür benötigte Energieaufwand mit ${\displaystyle (N-Z)^{2}}$. Eine zusätzliche Division durch ${\displaystyle A}$ berücksichtigt, dass mit steigendem Volumen (das proportional zu ${\displaystyle A}$ ist) der Abstand der Einteilchenniveaus sinkt. Dies ergibt einen Term

${\displaystyle -a_{\mathrm {S} }\cdot {\frac {(N-Z)^{2}}{4A}}\qquad {\text{mit}}\qquad a_{\mathrm {S} }\approx 93{,}15~\mathrm {MeV} }$

Teilweise findet man in der Literatur einen Wert ${\displaystyle a_{\mathrm {S} }\approx 23~\mathrm {MeV} }$. Dort wurde der Faktor 4 aus dem Nenner mit in die Konstante eingerechnet und tritt dann in der Formel nicht mehr auf.

Die bisherigen Terme werden durch einen weiteren Term ergänzt, der auf der Beobachtung beruht, dass Kerne mit geraden Protonen- und Neutronenzahlen stabiler sind als solche mit ungeraden. Dies findet erst im Schalenmodell des Atomkerns eine Erklärung durch Bildung von Neutron-Neutron- und Proton-Proton-Paaren, jeweils mit Spin Null. Bei ungerader Protonen- und/oder Neutronenzahl bleibt jeweils ein ungepaartes Teilchen übrig, das deshalb lockerer gebunden ist.

Kerne mit gerader Protonenzahl ${\displaystyle Z}$ und gerader Neutronenzahl ${\displaystyle N}$ (gg-Kerne) sind daher besonders fest gebunden, solche mit ungeradem ${\displaystyle Z}$ und ${\displaystyle N}$ (uu-Kerne) besonders schwach gebunden, die restlichen (ug- und gu-Kerne) liegen dazwischen; gg-Kerne stellen die meisten stabilen Nuklide, während von den uu-Kernen nur die vier leichten Nuklide ²H, ⁶Li, ¹⁰B und ¹⁴N stabil sind. Der Paareffekt nimmt mit steigender Nukleonenzahl ab. Als geeigneten Term in der Formel verwendet man daher

${\displaystyle +{\begin{cases}+a_{\mathrm {P} }\cdot A^{-{\frac {1}{2}}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} {\text{ gg-Kerne}}\\0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} {\text{ ug- und gu-Kerne}}\\-a_{\mathrm {P} }\cdot A^{-{\frac {1}{2}}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} {\text{ uu-Kerne}}\end{cases}}}$

mit

${\displaystyle \qquad a_{\mathrm {P} }\approx 11{,}2~\mathrm {MeV} \,.}$