Bethe-Ansatz

Der Bethe-Ansatz ist eine analytische Methode zur exakten Berechnung von eindimensionalen quantenmechanischen Vielteilchenproblemen. 1931 präsentierte Hans Bethe[1] diese Methode zur Berechnung der exakten Eigenwerte (Eigenenergien) und Eigenvektoren des eindimensionalen Heisenbergmodells. Der eigentliche Bethe-Ansatz beschreibt dabei die Parameterisierung der Eigenvektoren als Ansatz für die Lösung des Eigenwertproblems (Schrödingergleichung).

Varianten des Bethe-Ansatzes führen zur exakten Lösung des Kondo-Modells, welche unabhängig 1980 von Paul Wiegmann[2] und Natan Andrei[3] gefunden wurde, und des Anderson model (P.B. Wiegmann[4] und N. Kawakami, A. Okiji[5], 1981).

Bethe-Ansatz für das 1D-Heisenberg Modell

Der Bethe-Ansatz wurde ursprünglich für das eindimensionale Heisenberg-Modell mit nächster Nachbarwechselwirkung und periodischen Randbedingungen entwickelt:

H=-J\sum _{n=1}^{N}{\vec {S}}_{n}\cdot {\vec {S}}_{n+1}=-J\sum _{n=1}^{N}\left[{\frac {1}{2}}(S_{n}^{+}S_{n+1}^{-}+S_{n}^{-}S_{n+1}^{+})+S_{n}^{z}S_{n+1}^{z}\right]

Abhängig vom Vorzeichen der Kopplungskonstante $J$ ist der Grundzustand ferromagnetisch oder anti-ferromagnetisch:

J{\begin{cases}>0&{\text{Ferromagnet}}\\<0&{\text{Anti-Ferromagnet}}\\\end{cases}}

Der ferromagnetische Grundzustand ist der Ausgangspunkt für den Bethe-Ansatz. Im ferromagnetischen Grundzustand sind alle Spins in eine Richtung ausgerichtet. Diese wird o.B.d.A in $z$ -Richtung angenommen. Damit kann der Grundzustand beschrieben werden als:

|F\rangle =|\uparrow \uparrow \uparrow ...\uparrow \rangle

Im Bethe-Ansatz werden die Zustände mittels der umgeklappten Zustände vom ferromagnetischen Grundzustand klassifiziert. Zum Beispiel wird der Zustand mit zwei umgeklappten Spins an den Gitterplätzen $n_{1}$ und $n_{2}$ angegeben als:

|n_{1}n_{2}\rangle =|\uparrow \uparrow \underbrace {\downarrow } _{n_{1}}\uparrow ..\uparrow \underbrace {\downarrow } _{n_{2}}\uparrow ...\uparrow \rangle

Die Eigenzustände des Hamilton-Operators des Heisenberg-Modells sind gegeben als Superpositionen dieser Zustände. Dabei sind nur Linearkombinationen von Zuständen mit der gleichen Anzahl r von umgeklappten Spins zulässig. Dieses ist begründet in der Tatsache, dass der $S_{z}$ -Operator mit dem Hamilton-Operator kommutiert und daher die Eigenvektoren aus Linearkombinationen von Spins mit gleicher $S_{z}$ -Quantenzahl bestehen müssen. Zur Berechnung dieser Zustände ging Bethe iterativ vor und betrachtete zunächst Zustände mit lediglich einem umgeklappten Spin. Dieser wird dann auf Superpositionen von Zuständen mit $r$ umgeklappten Spins ausgeweitet.

r=1

Die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zuständen mit lediglich einem umgeklappten Spin am Gitterplatz $n$ :

|\Psi \rangle =\sum _{n=1}^{N}a(n)|n\rangle

Die Eigenvektoren sind Lösungen der stationären Schrödingergleichung $H|\Psi \rangle =E|\Psi \rangle$ . Mittels Koeffizientenvergleich findet man $N$ linear unabhängige Gleichungen für die Koeffizienten $a(n)$ :

2[E-E_{0}]a(n)=J[2a(n)-a(n-1)-a(n+1)]

Lösungen dieser Gleichungen, die auch die Bedingung für periodische Randbedingungen $a(n+N)=a(n)$ erfüllen, sind ebene Wellen:

a(n)=\mathrm {e} ^{ikn},\qquad k={\frac {2\pi }{N}}m\qquad {\text{mit}}\quad m=0,1,...N-1

Damit sind die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zuständen mit lediglich einem umgeklappten Spin angegeben. Die Energie dieser Zustände folgt aus der Schrödingergleichung:

E-E_{0}=J(1-\cos(k))

Der nächste Schritt besteht darin, sich Superpositionen aus Zuständen mit zwei umgeklappten Spins anzuschauen.

r=2

Der Ansatz für die Eigenvektoren lautet:

|\Psi \rangle =\sum _{n1<n2}^{N}a(n_{1},n_{2})|n_{1},n_{2}\rangle

Bethes Ansatz für die Koeffizienten $a(n_{1},n_{2})$ sind wieder ebene Wellen mit noch unbekannten Amplituden $A_{1}$ und $A_{2}$ :

a(n_{1},n_{2})=A_{1}\mathrm {e} ^{i(k_{1}n_{1}+k_{2}n_{2})}+A_{2}\mathrm {e} ^{i(k_{1}n_{2}+k_{2}n_{1})}

Die Parameter $A_{1}$ und $A_{2}$ werden durch das Einsetzen in die Schrödingergleichung ermittelt. Dieses ergibt folgendes Amplitudenverhältnis:

{\frac {A_{1}}{A_{2}}}=\mathrm {e} ^{i\theta }=-{\frac {\mathrm {e} ^{i(k_{1}+k_{2})}+1-2\mathrm {e} ^{ik_{1}}}{\mathrm {e} ^{i(k_{1}+k_{2})}+1-2\mathrm {e} ^{ik_{2}}}}

welches man in den Ansatz für die Koeffizienten hinzufügt:

a(n_{1},n_{2})=\mathrm {e} ^{i(k_{1}n_{1}+k_{2}n_{2}+{\frac {1}{2}}\theta _{12})}+\mathrm {e} ^{i(k_{1}n_{2}+k_{2}n_{1}+{\frac {1}{2}}\theta _{21})}

Mit den periodischen Randbedingungen findet man insgesamt, dass die Wellenzahlen $k_{1},k_{2}$ und der Winkel $\theta =\theta _{12}=-\theta _{2,1}$ folgende Gleichungen erfüllen müssen:

2\cot {\frac {\theta }{2}}=\cot {\frac {k_{1}}{2}}-\cot {\frac {k_{2}}{2}}\qquad Nk_{1}=2\pi \lambda _{1}+\theta \qquad Nk_{2}=2\pi \lambda _{2}-\theta

wobei die ganzen Zahlen $\lambda _{i}={0,1...N}$ Bethe-Quantenzahlen genannt werden. Damit sind alle Eigenvektoren für $r=2$ bestimmt durch alle möglichen Paare, die die Gleichungen erfüllen. Die Energie ist dann geben mittels:

E-E_{0}=J\sum _{j=1,2}(1-\cos(k_{j}))

Der letzte Schritt ist die Verallgemeinerung für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit $r$ umgeklappten Spins bestehen.

r beliebig

Für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit $r$ umgeklappten Spins bestehen, lautet der Ansatz:

|\Psi \rangle =\sum _{n1<n2<..<n_{r}}^{N}a(n_{1},n_{2},..,n_{r})|n_{1},n_{2},..,n_{r}\rangle

mit den Koeffizienten:

a(n_{1},..n_{r})=\sum _{P\in S_{r}}\exp \left(i\sum _{j=1}^{r}k_{P_{j}}n_{j}+i\sum _{i<j}\theta _{P_{i}P_{j}}\right)

Die Summe läuft dabei über alle möglichen $r!$ Permutationen der Zahlen ${1,..,r}$ . Diese Wahl der Koeffizienten der ebenen Wellen wird als Bethe-Ansatz bezeichnet. Einsetzen in die Schrödingergleichung und die periodischen Randbedingungen führen zu den Bethe-Ansatz-Gleichungen:

{\begin{alignedat}{2}2\cot {\frac {\theta _{ij}}{2}}&=\cot {\frac {k_{i}}{2}}-\cot {\frac {k_{j}}{2}}&\qquad {\text{mit}}\quad &i,j=1..r\\Nk_{i}&=2\pi \lambda _{i}+\sum _{j\neq i}\theta _{ij}&&\lambda _{i}={1,..,N-1}\end{alignedat}}

Die Eigenvektoren sind gegeben mit allen Kombinationen der Bethe-Quantenzahlen $(\lambda _{1},..\lambda _{r})$ , die die Bethe-Ansatz-Gleichungen erfüllen. Eine Klassifikation der Eigenvektoren ist also über die Bethe-Quantenzahlen möglich. Die Bestimmung aller Eigenvektoren ist allerdings nicht trivial. Die Energie des zugehörigen Zustands kann dann allerdings leicht mittels

(E-E_{0})=J\sum _{j=1}^{r}(1-\cos k_{j})

angegeben werden.

Weblinks

Einführung zum Bethe-Ansatz (englisch)

Quellen

H Bethe: Zur Theorie der Metalle. In: Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei. Volume 71. Jahrgang, Nr. 3–4, 1931, S. 205–226, doi:10.1007/BF01341708.
P.B. Wiegmann, Soviet Phys. JETP Lett., 31, 392 (1980).
N. Andrei: Diagonalization of the Kondo Hamiltonian. In: Phys. Rev. Lett. 45. Jahrgang, Nr. 5, August 1980, S. 379–382, doi:10.1103/PhysRevLett.45.379.
P.B. Wiegmann: Towards an exact solution of the Anderson model. In: Physics Letters A. 80. Jahrgang, Nr. 2–3, September 1980, S. 163–167, doi:10.1016/0375-9601(80)90212-1.
Kawakami, Okiji: Exact expression of the ground-state energy for the symmetric anderson model. In: Physics Letters A. 86. Jahrgang, Nr. 9, 1981, S. 483–486, doi:10.1016/0375-9601(81)90663-0.

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[1] H Bethe: Zur Theorie der Metalle. In: Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei. Volume 71. Jahrgang, Nr. 3–4, 1931, S. 205–226, doi:10.1007/BF01341708.

[2] P.B. Wiegmann, Soviet Phys. JETP Lett., 31, 392 (1980).

[3] N. Andrei: Diagonalization of the Kondo Hamiltonian. In: Phys. Rev. Lett. 45. Jahrgang, Nr. 5, August 1980, S. 379–382, doi:10.1103/PhysRevLett.45.379.

[4] P.B. Wiegmann: Towards an exact solution of the Anderson model. In: Physics Letters A. 80. Jahrgang, Nr. 2–3, September 1980, S. 163–167, doi:10.1016/0375-9601(80)90212-1.

[5] Kawakami, Okiji: Exact expression of the ground-state energy for the symmetric anderson model. In: Physics Letters A. 86. Jahrgang, Nr. 9, 1981, S. 483–486, doi:10.1016/0375-9601(81)90663-0.